1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |3Ax x或3x， |2xBy y，1x，则()( RA B ) A|23|xx B |2x x C|3|x x D |23|xx 2 （5 分）已知复数z满足(3)1izi ，则z的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 3 （5 分）已知函数 3 (1
2、) ,1 ( ) ,1 xx f x lnx x ，若f（a）f（b） ，则下列不等关系正确的是( ) A 22 11 11ab B 33 ab C 2 aab D 22 (1)(1)ln aln b 4（5分） 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019 年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数()PMI如下图所示 则下列结论中错误的是( ) A12 个月的PMI值不低于50%的频率为 1 3 B12 个月的PMI值的平均值低于50% C12 个月的PMI值的众数为49.4% D12 个月的PMI值的中位数为50.3% 5 （5 分）已知数列
3、n a满足 1 2 nn aa ，且 1 a， 3 a， 4 a成等比数列若 n a的前n项和 第 2 页（共 22 页） 为 n S，则 n S的最小值为( ) A10 B14 C18 D20 6 （5 分）已知 2 cos(2019) 3 ，则sin(2 )( 2 ) A 7 9 B 5 9 C 5 9 D 7 9 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的 直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为( ) A51 B2 C3 D5 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1
4、1，则图中的判断条件可以为( ) A1S ？ B0S ？ C1S ？ D0S ？ 9 （5 分） 已知各项都是正数的数列 n a满足 * 1 2 () nn aan nN ， 若当且仅当4n 时， n a n 取得最小值，则( ) A 1 012a B 1 1220a C 1 12a D 1 20a 10 （5 分）过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛 物线上的一动点，(1,2)Q若 111 |4ABCD ，则|PFPQ的最小值是( ) A1 B2 C3 D4 11 （5 分） 已知四棱锥EABCD，底面ABCD是边长为 1 的正方形，1ED ，
5、平面ECD 平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为( ) A 2 6 B 1 3 C 2 3 D1 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）已知不等式(4)0xlnxx klnk的解集中仅有 2 个整数，则实数k的取值范 围是( ) A 2 (0,2) 3 ln B 34 2 (,2) 43 3 lnln C 34 ,) 43 ln D 34 2 ,2) 43 3 lnln 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，|3b ，(2)2ab a，则|ab 14 （5 分）
6、5 (1)(1)axx的展开式中， 3 x的系数是 20，则a 15 （5 分）将底面直径为 4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的 最大值为 16 （5 分）2019 年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首 次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 11 14 ，从第二次看到广告起，若前一次不来此 景区，则这次来此景区的概率是 1 3 ；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 2 5 记观 众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为 n P，若当2n时， n PM恒成立，则M的最小 值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明
7、过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，45DCB，120ABD，10 3AD （）求ABD的面积的最大值； （）在ABD的面积取得最大值的条件下，若5 2BC ，求tan 2 的值 18（12 分） 如图， 在斜三棱柱 111 ABCABC中， 平面ABC 平面 11 A ACC， 1 2CC ，ABC， 第 4 页（共
8、22 页） 1 ACC，均为正三角形，E为AB的中点 （）证明： 1/ / AC平面 1 BCE； （）求直线 1 AC与平面 11 B BAA所成角的正弦值 19 （12 分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种 露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水 果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下： x 1 3 4 6 7 y 5 6.5 7 7.5 8 y与x可用回归方程 yblgxa（其中 a ， b为常数）进行模拟 （）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱的利润
9、是 多少元 （利润售价成本） （）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率 分布直方图如图，用这 16 天的情况来估计相应的概率一个运输户拟购置n辆小货车专门 运输该农户为甲地配送的该新奇水果， 一辆货车每天只能运营一趟， 每辆车每趟最多只能装 载 40 箱该新奇水果，满载发车，否则不发车若发车，则每辆车每趟可获利 500 元；若未 发车，则每辆车每天平均亏损 200 元试比较3n 和4n 时此项业务每天的利润平均值的 大小 参考数据与公式：设tlgx，则 t y 5 1 ()() ii i ttyy 5 2 1 () i i tt 0.54 6.8
10、1.53 0.45 线性回归直线 yblgxa中， 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 2FF ，M 是椭圆E上的一个动点，且 12 MFF的面积的最大值为3 （）求椭圆E的标准方程； （）若( ,0)A a，(0, )Bb，四边形ABCD内接于椭圆E，/ /ABCD，记直线AD，BC的 斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值 21 （12 分）已知直线1yx是曲线( )f
11、xalnx的切线 （）求函数( )f x的解析式； （）证明：方程sin(1)( )xf x有且仅有 2 个实数根 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴已知曲线 1 C的极坐标方程为4cos8sin，P是 1 C上一动点，2OPOQ，Q的轨迹为 2 C （）求曲线 2 C的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （）若点(0,1)M
12、，直线l的参数方程为 cos ( 1sin xt t yt 为参数） ，直线l与曲线 2 C的交点 为A，B，当|MAMB取最小值时，求直线l的普通方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知a，b，cR，xR ，不等式|1|2|xxabc恒成立 （）求证： 222 1 3 abc （）求证： 222222 2abbcca 第 6 页（共 22 页） 2020 年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60
13、 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |3Ax x或3x， |2xBy y，1x，则()( RA B ) A|23|xx B |2x x C|3|x x D |23|xx 【解答】解： |3Ax x或3x， |2By y， | 33 RA xx ， () |23 RA Bxx 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足(3)1izi ，则z的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 【解答】解(3)1izi ， 1 31 i zi i ， 2zi ， 复数z的虚部为1 故选：C 3 （5 分）已知函数 3
14、(1) ,1 ( ) ,1 xx f x lnx x ，若f（a）f（b） ，则下列不等关系正确的是( ) A 22 11 11ab B 33 ab C 2 aab D 22 (1)(1)ln aln b 【解答】解：易知( )f x在R上单调递增，故ab 因为a，b的符号无法判断，故 2 a与 2 b， 2 a与ab的大小不确定， 所以A，C，D不一定正确；B中 33 ab正确 故选：B 4（5分） 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019 年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数()PMI如下图所示 则下列结论中错误的是( 第 7 页（共
15、22 页） ) A12 个月的PMI值不低于50%的频率为 1 3 B12 个月的PMI值的平均值低于50% C12 个月的PMI值的众数为49.4% D12 个月的PMI值的中位数为50.3% 【解答】解：从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有 4 个， 所以 12 个月的PMI值不低于50%的频率为 41 123 ，所以A正确； 由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，所以B正确； 12 个月的PMI值的众数为49.4%，所以C正确； 12 个月的PMI值的中位数为49.6%，所以D错误 故选：D 5 （5 分）已知数列 n a满足 1 2 nn aa ，且 1 a， 3 a，
16、4 a成等比数列若 n a的前n项和 为 n S，则 n S的最小值为( ) A10 B14 C18 D20 【解答】解：根据题意，可知 n a为等差数列，公差2d 由 1 a， 3 a， 4 a成等比数列，可得 2 111 (4)(6)aa a，解得 1 8a 所以 2 (1)981 82() 224 n n n Snn 根据单调性，可知当4n 或 5 时， n S取到最小值，最小值为20 故选：D 第 8 页（共 22 页） 6 （5 分）已知 2 cos(2019) 3 ，则sin(2 )( 2 ) A 7 9 B 5 9 C 5 9 D 7 9 【解答】解：由 2 cos(2019)
17、3 ， 可得 2 cos() 3 ， 2 cos 3 ， 2 25 sin(2 )cos22cos121 299 故选：C 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的 直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为( ) A51 B2 C3 D5 【解答】解：双曲线 22 22 :1 xy C ab ，0a ，0b 的右顶点为( ,0)A a，右焦点为( ,0)A c， M所在直线为xa，不妨设( , )M a b， MF的中点坐标为( 2 ac ，) 2 b 代入方程可得 22 22 ()( )
18、 22 1 acb ab ， 2 2 ()5 44 ac a ， 2 240ee，51e （负值舍去） 故选：A 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为( ) 第 9 页（共 22 页） A1S ？ B0S ？ C1S ？ D0S ？ 【解答】解：1i ，1S 运行第一次， 1 1130 3 Slglg ，3i ，不成立； 运行第二次， 13 1150 35 Slglglg ，5i ，不成立； 运行第三次， 135 1170 357 Slglglglg ，7i ，不成立； 运行第四次， 1357 1190 3579 Slglglglglg ，9i ，
19、不成立； 运行第五次， 13579 11110 357911 Slglglglglglg ，11i ，成立， 输出i的值为 11，结束， 故选：B 9 （5 分） 已知各项都是正数的数列 n a满足 * 1 2 () nn aan nN ， 若当且仅当4n 时， n a n 取得最小值，则( ) A 1 012a B 1 1220a C 1 12a D 1 20a 【解答】解：由题意得当2n时，各项都是正数的数列 n a满足 1 2 nn aan ， 所以 1 22 nn aan ， 12 24 nn aan ， 21 2aa， 累加得 2 1n aann，故 2 1n anna， 当1n ，
20、该式也成立，则 1 1 n aa n nn 因为当且仅当4n 时， n a n 取得最小值， 当 1 0a ，所以由“对勾两数”的单调性可知 3544 , 4345 aaaa ， 即 11 413 1 43 aa ，且 11 4151 45 aa ， 解得 1 1220a 故选：B 10 （5 分）过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛 第 10 页（共 22 页） 物线上的一动点，(1,2)Q若 111 |4ABCD ，则|PFPQ的最小值是( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：显然直线AB的斜率存在且不为 0，设直线AB的斜率为k，则直线
21、AB的方程 为 2 p ykx， 联立方程 2 2 2 p ykx xpy ，消去y得： 22 20xpkxp， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 12 2xxpk， 2 1212 ()2yyk xxppkp， 由抛物线的性质可知： 2 12 |22AByyppkp， ABCD，直线CD的斜率为： 1 k ， 2 2 22 1222 | 2 ()22 pppk CDppp kkk ， 22 222 11111 |2222224 kk ABCDpkpppkppk ， 22 2244ppkk， 2p， 抛物线方程为： 2 4xy，准线方程为：1y ， 设点P到准线1y 的
22、距离为d，由抛物线的性质可知：|PFPQdPQ， 而当QP垂直于x轴时，|dPQ的值最小，最小值为213 ，如图所示： |PFPQ的最小值为 3， 故选：C 第 11 页（共 22 页） 11 （5 分） 已知四棱锥EABCD，底面ABCD是边长为 1 的正方形，1ED ，平面ECD 平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为( ) A 2 6 B 1 3 C 2 3 D1 【解答】解：如图所示， 由题意可得：ED 平面ABCD时，ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距 离最大 此时该四棱锥的体积 2 11 11 33 故选：B 12 （5 分）已知不等式(4)0
23、xlnxx klnk的解集中仅有 2 个整数，则实数k的取值范 围是( ) A 2 (0,2) 3 ln B 34 2 (,2) 43 3 lnln 第 12 页（共 22 页） C 34 ,) 43 ln D 34 2 ,2) 43 3 lnln 【解答】解：原不等式等价于，(1)4k xxlnxlnx， 设( )(1)g xk x，( )4f xlnxlnx 所以 4 ( )4(1)1f xlnlnxln x ， 令( )0fx，得 4 x e 当 4 0x x 时，( )0fx，( )f x单调递增， 当 4 x e 时，( )0fx，( )f x单调递减 又f（4）0，0x 时，( )
24、0f x ， 因此( )f x与( )g x的图象如下， 当0k时，显然不满足条件，当0k 时，只需满足 (2)(2) (3)(3) gf gf ， 32 42 2 43 43 3 klnln klnln 解可得， 342 2 433 lnkln 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，|3b ，(2)2ab a，则|ab 3 【解答】解：由题意可得 2 |2,(2)24aab aa baa b， 42a b ，解得2a b ， 22 |23abaa bb 故答案为：3 第 13 页（共
25、 22 页） 14 （5 分） 5 (1)(1)axx的展开式中， 3 x的系数是 20，则a 1 【解答】解：因为 5 (1)(1)axxax 55 (1)(1)xx， 而 5 (1)x 的展开式的通项公式为 5 15 ( 1) rrr r TCx ， 所以，原展开式中 3 x的系数为 3322 55 ( 1)( 1)20a CC， 1a ， 故答案为：1 15 （5 分）将底面直径为 4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的 最大值为 3 【解答】 解： 欲使圆柱侧面积最大， 需使圆柱内接于圆锥 设圆柱的高为h， 底面半径为r， 则 3 23 hr ，解得 3 3 2 hr
26、 故 2 32 223323 ()3 22 rr Srhrrrr 侧 当1r 时，S侧的最大值为3 故答案为：3 16 （5 分）2019 年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首 次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 11 14 ，从第二次看到广告起，若前一次不来此 景区，则这次来此景区的概率是 1 3 ；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 2 5 记观 众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为 n P，若当2n时， n PM恒成立，则M的最小 值为 137 210 【解答】解：根据题意， n P为观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率， 则 111 2313
27、 (1) 35155 nnnn PPPP ， 所以 1 919 () 141514 nn PP， 所以数列 9 14 n P 是首项为 1 9 14 P ，公比为 1 15 的等比数列， 第 14 页（共 22 页） 所以 11 1 99111 ()()() 141415715 nn n PP ， 1 911 () 14715 n n P ，显然数列 n P单调递减， 所以当2n时， 2 911137 14715210 n PP ， 所以 137 210 M，所以M的最小值为 137 210 故答案为： 137 210 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
28、骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，45DCB，120ABD，10 3AD （）求ABD的面积的最大值； （）在ABD的面积取得最大值的条件下，若5 2BC ，求tan 2 的值 【解答】解： （）在ABD中，由余弦定理可得 222 2cos120ADABBDAB BD， 所以 22 3003BABDBA BDBA BD， 所以10
29、0BA BD，当且仅当10BABD时，等号成立 所以 1 sin12025 3 2 ABD SBA BD ， 故ABD的面积的最大值为25 3 （）在BCD中，由题意可得45BCD，10DB 由正弦定理可得 sinsin BCBD CDBBCD ， 所以 2 5 2 1 2 sin 102 CDB 又BDBC，所以CDB为锐角， 第 15 页（共 22 页） 所以30CDB，所以105CBD，所以135， 所以tantan67.5 2 ， 因为 2 2tan67 5 tan1351 167 5tan ， 所以tantan67.512 2 （负值舍去） 18（12 分） 如图， 在斜三棱柱 11
30、1 ABCABC中， 平面ABC 平面 11 A ACC， 1 2CC ，ABC， 1 ACC，均为正三角形，E为AB的中点 （）证明： 1/ / AC平面 1 BCE； （）求直线 1 AC与平面 11 B BAA所成角的正弦值 【解答】解： （）如图，连接?BC，交 1 BC于点M，连接ME，则 1 / /MEAC， 因为 1 AC 平面?B CE，ME 平面 1 BCE，所以 1/ / AC平面 1 BCE， （）设O是AC的中点，连接 1 OC中，OB， 因为 1 ACC为正三角形，所以 1 OCAC， 又平面ABC 平面 11 A ACC，平面ABC平面 11 A ACCAC， 所以
31、 1 OC 平面ABC， 分别以射线OB，OA， 1 OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 第 16 页（共 22 页） 则有(0A，1，0)，( 3B，1，0)，( 3B，0，0)， 11 (0,0, 3),(0,2, 3)CA， 1 (0, 1, 3)AC ， 1 ( 3, 1,0)(0,1, 3)ABAA， 设平面 11 B BAA的一个法向量为( , , )mx y z，则 1 30 30 m ABxy m AAyz ， 令1x ，则(1, 3, 1)m ， 设直线?AC与平面 11 B BAA所成的角为，则 1 2 315 sin|cos,| 525 AC m， 故直线 1
32、AC与平面 11 B BAA所成角的正弦值为 15 5 19 （12 分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种 露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水 果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下： x 1 3 4 6 7 y 5 6.5 7 7.5 8 y与x可用回归方程 yblgxa（其中 a ， b为常数）进行模拟 （）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱的利润是 多少元 （利润售价成本） （）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果
33、的箱数的频率 分布直方图如图，用这 16 天的情况来估计相应的概率一个运输户拟购置n辆小货车专门 运输该农户为甲地配送的该新奇水果， 一辆货车每天只能运营一趟， 每辆车每趟最多只能装 载 40 箱该新奇水果，满载发车，否则不发车若发车，则每辆车每趟可获利 500 元；若未 发车，则每辆车每天平均亏损 200 元试比较3n 和4n 时此项业务每天的利润平均值的 大小 参考数据与公式：设tlgx，则 t y 5 1 ()() ii i ttyy 5 2 1 () i i tt 第 17 页（共 22 页） 0.54 6.8 1.53 0.45 线性回归直线 yblgxa中， 1 2 1 ()()
34、() n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 【解答】解： （）根据题意， 5 1 5 2 1 ()() 1.53 3.4 0.45 () ii i i i ttyy b tt ， 所以 6.83.40.544.964aybt， 所以3.44.964yt 又tlgx，所以3.44.964ylgx 所以10x 时，3.44.9648.364y （千元） ， 即该新奇水果 100 箱的成本为 8364 元，故该新奇水果 100 箱的利润1500083646636 （）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为： 箱数 40，80) 80，120)
35、 120，160) 160，200 P 1 8 1 4 1 2 1 8 设该运输户购 3 辆车和购 4 辆车时每天的利润分别为 1 Y， 2 Y元 则 1 Y的可能取值为 1500，800，100，其分布列为： 1 Y 1500 800 100 P 5 8 1 4 1 8 故 1 511 ( )15008001001150 848 E Y 2 Y的可能取值为 2000，1300，600，100，其分布列为： 第 18 页（共 22 页） 2 Y 2000 1300 600 100 P 1 8 1 2 1 4 1 8 故 2 1111 ()20001300600( 100)1037.5 8248
36、 E Y 故 E(Y_2)$，即购置 3 辆小货车的利润平均值大于购置 4 辆小货车的利润平均值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 2FF ，M 是椭圆E上的一个动点，且 12 MFF的面积的最大值为3 （）求椭圆E的标准方程； （）若( ,0)A a，(0, )Bb，四边形ABCD内接于椭圆E，/ /ABCD，记直线AD，BC的 斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值 【解答】解： （）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知， 当M为椭圆E的上顶点或下顶点时， 12 MFF的面积取得最大值3
37、所以 222 1 1 23 2 c cb abc ，所以2a ，3b ， 故椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy （）根据题意可知(2,0)A，(0, 3)B， 3 2 AB k 因为/ /ABCD，设直线CD的方程为 3 2 yxm ， 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y 由 22 1 43 3 2 xy yxm ，消去y可得 22 64 34120xmxm， 所以 12 2 3 3 m xx，即 12 2 3 3 m xx 直线AD的斜率 1 1 1 11 3 2 22 xm y k xx ， 直线BC的斜率 2 2 2 3 3 2 xm k x ， 第 19 页（共
38、 22 页） 所以 12 12 12 33 3 22 2 xmxm k k xx ， 12121 12 333 ()(3) 422 (2) x xm xxxm m xx ， 122 12 332 33 2 3 ()(3) 42323 (2) mm x xmxm m xx ， 122 12 33 3 42 (2)4 x xx xx 故 12 k k为定值 21 （12 分）已知直线1yx是曲线( )f xalnx的切线 （）求函数( )f x的解析式； （）证明：方程sin(1)( )xf x有且仅有 2 个实数根 【解答】解( )( ) a I fx x ， 设直线1yx与曲线( )f xal
39、nx相切的切点 0 (P x， 0) y， 由题意可得， 0 00 1 1 a x alnxx ， 解可得， 0 1xa，( )f xlnx， ()II设( )sin(1)( )g xxf x，0x ，则 1 ( )cos(1)g xx x ， 当(0x，1时，( )g x在(0，1上单调递增， 所以( )g xg（1）0，则( )g x在(0，1上单调递减，且g（1）0， 故1x 为( )g x在(0，1上唯一的零点， 当 1 (1,1 2 x时，设 1 ( )( )cos(1)h xg xx x ， 则 2 1 ( )sin(1)h xx x 在(1， 1 1 2 上单调递减， 因为h（1
40、）0， 2 14 (1)10 2(2) h ， 故存在 0 1 (1,1 2 x使得 0 ()0h x， 第 20 页（共 22 页） 当 0 (1,)xx时，( )0h x，函数( )h x单调递增，当 0 1 (,1) 2 xx时，( )0h x，函数( )h x单 调递减， 故( )g x在 0 (1,)x上单调递增，在 0 (x， 1 1) 2 上单调递减， 又g（1）0，故 0 ()0g x， 所以( )g x在 0 (1,)x上单调递增，此时( )g xg（1）0，不存在零点； 又 12 (1)0 22 g ， 故存在 10 1 (,1) 2 xx，使得 1 ( )0g x， 因为
41、在 0 (x， 1) x上( )0g x，( )g x单调递增，在 1 (x，)上，( )0g x，( )g x单调递减， 又因为 0 ()g xg（1）0， 12 (1)10 22 e glnln ， 故( )0g x 在 0 (x， 1 1) 2 上恒成立，此时不存在零点， 当 1 (1, 2 x时，sin(1)yx单调递减，ylnx 单调递减， 所以( )g x在 1 (1, 2 上单调递减且 1 (1)0 2 g，( )0g， 故( )g x存在唯一的零点， 当( ,)x时，sin(1) 1x ，1，1lnxln， 所以sin(1)0xlnx即( )g x在R上不存在零点 综上可得方程
42、sin(1)( )xf x有且仅有 2 个实数根 综上可得，思念(1)( )xf x有且仅有 2 个实数根 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴已知曲线 1 C的极坐标方程为4cos8sin，P是 1 C上一动点，2OPOQ，Q的轨迹为 2 C （）求曲线 2 C的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （）若点(0,1)M，直线l
43、的参数方程为 cos ( 1sin xt t yt 为参数） ，直线l与曲线 2 C的交点 为A，B，当|MAMB取最小值时，求直线l的普通方程 第 21 页（共 22 页） 【解答】解： （）根据题意，设点P，Q的极坐标分别为 0 (，)、( , ) ， 则有 0 1 2cos4sin 2 ，故曲线 2 C的极坐标方程为2cos4sin， 变形可得： 2 2 cos4 sin， 故 2 C的直角坐标方程为 22 24xyxy，即 22 (1)(2)5xy； （）设点A，B对应的参数分别为 1 t、 2 t，则 1 |MAt， 2 |MBt， 设直线l的参数方程 cos 1sin xt yt ，(t为参数） ， 代入 2 C的直角坐标方程 22 (1)(2)5xy中， 整理得 2 2(cossin)30tt 由根与系数的关系得 12 2(cossin)tt， 1 2 3t t ， 则 22 1212121 2 |
