1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |04Mxx剟， |3Nx yx，yM，则(MN ) A0，3 B0，4 C 1，4 D 1，3 2 （5 分）设复数z满足 2 (1) 1 i i z ，则(z ) A1i B1i C1i D1i 3 （5 分）人体的体质指数()BMI的计算公式：B
2、MI 体重身高 2（体重单位为kg ，身高 单位为)m其判定标准如表： BMI 18.5 以下 18.5 23.9 24 29.9 30 以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为1.5m，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( ) A47kg B51kg C66kg D70kg 4 （5 分）若x，y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ，则43zxy的最小值为( ) A9 B6.5 C4 D3 5 （5 分）已知数列 n a是等差数列，且 9 3a ，则 4812 2(aaa ) A12 B9 C6 D3 6 （5 分）某种微生物的繁殖速度y与生长
3、环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可 用回归模型2ylgx进行拟合在这个条件下，要使y增加 2 个单位，则应该( ) A使x增加 1 个单位 B使x增加 2 个单位 C使x增加到原来的 2 倍 D使x增加到原来的 10 倍 7 （5 分）已知O是ABC的重心，且20OAOBBC，则实数( ) A3 B2 C1 D 1 2 8 （5 分）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为 1，K是线段DI上 的点，则在原三棱柱中，AKCK的最小值为( ) 第 2 页（共 18 页） A65 B73 C4 5 D89 9 （5 分）已知函数( )f x的定义域为R，且(1)f x是偶函数，
4、(1)f x是奇函数，则下列 说法正确的个数为( ) f（7）0； ( )f x的一个周期为 8； ( )f x图象的一个对称中心为(3,0)； ( )f x图象的一条对称轴为2019x A1 B2 C3 D4 10 （5 分）将函数( )sin() 3 f xx 图象上所有的点按照向量( ,0)(0)maa平移得到函数 ( )g x的图象，若 33 ()() 55 fg ，则|a的最小值为( ) A 4 15 B13 30 C13 15 D17 15 11 （5 分）如图所示，直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的两条渐近线分别交于A， B两点，若4OA OB ，
5、且AOB的面积为4 2，则E的离心率为( ) A2 B3 C2 D5 12 （5 分）已知函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 若f（a）f（b）()ab，则ab的最小 第 3 页（共 18 页） 值为( ) A 2 2 B 1 2 C 2 4 D 5 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 6 1 (2 ) 2 xy的展开式中 24 x y项的系数为 14 （5 分）曲线 2 (2) x yex在点(0,2)处的切线方程为 15 （5 分）已知圆 22 :()(2)4
6、Cxay，直线:10l xay 与圆C交于A，B两点， 且ABC为等腰直角三角形，则实数a 16（5 分） 已知数列 n a是各项均为正数的等比教列， 其前n项和为 n S， 且 1 1a ， 3 7S 若 关于n的不等式 22 log nn Ska 的解集中有 6 个正整数，则实数k的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共
7、（一）必考题：共 60 分分. 17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 tan tan aA bB （）证明：ABC是等腰三角形； （）若: :1: :a b cx y，且ABC的面积为 5 6 ab，求y的值 18某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为 40 元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损 20 元该包子店记录了 60 天包子的 日需求量n（单位：笼，)nN，整理得到如图所示的条形图，以这 60 天各需求量的频率 代替相应的概率 （）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望 （）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，
8、则每天至少要做多少笼包子？ （）为了减少浪费，该包子店一天只做 18 笼包子，设Y为当天的利润（单位：元） ，求Y 的分布列和数学期望 第 4 页（共 18 页） 19 如图， 已知四棱锥SABCD， 平面SAD 平面ABCD， 四边形ABCD是菱形，SASD （）若120BAD，证明：SCBC； （）若368BDACSA，求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值 20设椭圆 2 2 2 :1(1) x Cya a 的左顶点为A，右焦点为F，已知| 23AF （）求椭圆C的方程； （）抛物线 2 2(0)ypx p与直线2x 交于P，Q两点，直线AP与椭圆C交于点B（异 于点)A，若直线B
9、Q与AP垂直，求p的值 21已知函数 2 ( )(0)f xax lnx a （）讨论函数( )f x的单调性； （）若存在(0,)a，对任意的(0,)x，不等式 4 2 ( ) 2 x f xbx恒成立，求实数b的 取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 8 2 ( 2 xt t t y 为参数） ，曲线C的参数方 程为 2 3 ( 2 3
10、xs s ys 为参数） （）求直线l和曲线C的普通方程； 第 5 页（共 18 页） （）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且1abc ，证明： （）(21)(21)(21) 27abc ； （） 222 1113 ()()()4a bcb acc ab 第 6 页（共 18 页） 2020 年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
11、60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |04Mxx剟， |3Nx yx，yM，则(MN ) A0，3 B0，4 C 1，4 D 1，3 【解答】解：依题意得0 34x剟，解得13x 剟， 即 | 13Nxx 剟， 所以 |03MNxx剟 故选：A 2 （5 分）设复数z满足 2 (1) 1 i i z ，则(z ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：复数z满足 2 (1) 1 i i z ，则 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii 故选：C 3 （5 分）人体的体
12、质指数()BMI的计算公式：BMI 体重身高 2（体重单位为kg ，身高 单位为)m其判定标准如表： BMI 18.5 以下 18.5 23.9 24 29.9 30 以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为1.5m，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( ) A47kg B51kg C66kg D70kg 【解答】解：由题意得，体重BMI身高 2 ，因为此人属于超标，所以24BMI ，29.9， 所以此学生的体重范围为 2 24 1.5， 2 29.9 1.5 54，67.275， 故选：C 第 7 页（共 18 页） 4 （5 分）若x，y满足约束条件
13、1 1 33 xy xy xy ，则43zxy的最小值为( ) A9 B6.5 C4 D3 【解答】解：x，y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy 所表示的可行域为下图中的ABC， 当目标函数对应的直线43zxy经过点(0,1)B时，z取得最小值 3 故选：D 5 （5 分）已知数列 n a是等差数列，且 9 3a ，则 4812 2(aaa ) A12 B9 C6 D3 【解答】解：因为 n a是等差数列，所以 48126129 222412aaaaaa 故选：A 6 （5 分）某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可 用回归模型2ylgx进行拟合在这个
14、条件下，要使y增加 2 个单位，则应该( ) A使x增加 1 个单位 B使x增加 2 个单位 C使x增加到原来的 2 倍 D使x增加到原来的 10 倍 【解答】解：由2ylgx，则2222(1)2 10ylgxlgxlgx， 所以应该使x增加到原来的 10 倍， 故选：D 7 （5 分）已知O是ABC的重心，且20OAOBBC，则实数( ) A3 B2 C1 D 1 2 【解答】解：22()(2)0OAOBBCOAOBOCOBOAOBOC， O是ABC的重心， 第 8 页（共 18 页） 0OAOBOC， (2)OBOCOBOC， 1 故选：C 8 （5 分）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的
15、小正方形的边长均为 1，K是线段DI上 的点，则在原三棱柱中，AKCK的最小值为( ) A65 B73 C4 5 D89 【解答】解：将展开图折成立体图形，如图， 然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图所示 因为8AJ ，3CJ ，所以 22 3873AC ，即AKCK的最小值为73 故选：B 9 （5 分）已知函数( )f x的定义域为R，且(1)f x是偶函数，(1)f x是奇函数，则下列 说法正确的个数为( ) f（7）0； ( )f x的一个周期为 8； ( )f x图象的一个对称中心为(3,0)； ( )f x图象的一条对称轴为2019x 第 9 页（共 18
16、页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由(1)f x是偶函数，得(1)(1)fxfx，即1x 是( )f x的对称轴， 又(1)f x是奇函数，得(1)(1)fxf x ，可知( 1,0)是( )f x的对称中心， 由(1)(1)fxfx，取1xx，得(2)( )fxf x， 由(1)(1)fxf x ，取1xx ，得( )( 2)f xfx ， 则(2)( 2)fxfx ，得(2)( 2)fxfx ，有(4)( )fxf x ， 则(8) (4)( )( )fxfxf xf x 则( )f x是周期函数，且 8 为函数( )f x的一个周期，故正确； f（7）( 1)0f，故正确； 每隔
17、半个周期出现一个对称中心，(3,0)是函数( )f x的对称中心，故正确； 201982523x ，2019x不是函数( )f x的图象的对称轴，故错误 正确命题的个数有 3 个 故选：C 10 （5 分）将函数( )sin() 3 f xx 图象上所有的点按照向量( ,0)(0)maa平移得到函数 ( )g x的图象，若 33 ()() 55 fg ，则|a的最小值为( ) A 4 15 B13 30 C13 15 D17 15 【解答】解：对于函数( )sin() 3 f xx ，令 32 xk ， 求得 6 xk ，可得( )f x图象的对称轴为() 6 xkkZ ， 其中距离 3 5
18、x 最近的对称轴为 6 x 设点 33 (,() 55 Pf 关于直线 6 x 对称的点为 43 (,() 155 Pf 要使|a最小，则 3413 51515 a ， 故选：C 11 （5 分）如图所示，直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的两条渐近线分别交于A， B两点，若4OA OB ，且AOB的面积为4 2，则E的离心率为( ) 第 10 页（共 18 页） A2 B3 C2 D5 【 解 答 】 解 ： 设(0) 2 AOx ， 由 题 意 可 得| |cos24OAOB ， 1 |sin24 2 2 OA OB， 所以 sin2 tan22 2 cos2
19、 ，即 2 2tan 2 2 1tan ，可得tan2（负值舍去） ， 又因为tan b a ，所以 2 2 2 11tan3 cb e aa ， 故选：B 12 （5 分）已知函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 若f（a）f（b）()ab，则ab的最小 值为( ) A 2 2 B 1 2 C 2 4 D 5 3 【解答】解：画出函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 的图象，如图所示； 由f（a）f（b） ，且ab， 设 1 2 2log2bak，则24k ； 所以 2 1 ( ) 2 k a ， 2 l
20、ogbk； 当4k 时， 2 2 111 ( ) log 42 242 ab ； 考虑 223 22 1111 ( )log( )(log2) 2222 kkk abkk ， 在同一坐标系中画出函数 2 logyx和 3 2xy 的图象，其中(2x，4，如图所示； 第 11 页（共 18 页） 则函数 2 logyx的图象总在 3 2xy 的图象上方， 所以 1 0 2 ab ，即ab的最小值为 1 2 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 6 1 (2 ) 2 xy的展开式中 24 x y项的系数为 6
21、0 【解答】解：因为展开式的通项为 6266 166 1 ()(2 )2 2 rrrrrrr r TCxyC xy 4r ，得 24 5 60Tx y 故答案为：60 14 （5 分）曲线 2 (2) x yex在点(0,2)处的切线方程为 22yx 【解答】解： 2 ( )(22) x fxexx，(0)2 f ， 又(0)2f， 所求切线方程为22yx，即22yx 故答案为：22yx 15 （5 分）已知圆 22 :()(2)4Cxay，直线:10l xay 与圆C交于A，B两点， 第 12 页（共 18 页） 且ABC为等腰直角三角形，则实数a 1 或 1 7 【解答】解：由题意得( ,
22、2)C a，圆C的半径为 2， 因为ABC为等腰直角三角形， 所以圆心C到直线l的距离 2 |21| 2 1 aa d a ， 解得1a 或 1 7 a 故答案为：1 或 1 7 16（5 分） 已知数列 n a是各项均为正数的等比教列， 其前n项和为 n S， 且 1 1a ， 3 7S 若 关于n的不等式 22 log nn Ska 的解集中有 6 个正整数， 则实数k的取值范围是 127 (9, 8 【解答】 解： 由题意可知0q 且 2 17qq， 解得2q ， 所以 1 2n n a ， 21 21 21 n n n S 由 22 log nn Ska ，得21(1) n k n 结
23、合函数21 x y ，(1)yk x的图象可知， 若原不等式的解集中有 6 个正整数，则 6 7 21(61) 21(71) k k ，解得 9 127 8 k k ， 所以实数k的取值范围为 127 (9, 8 故答案为： 127 (9, 8 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17ABC的内角A，B
24、，C的对边分别为a，b，c，已知 tan tan aA bB （）证明：ABC是等腰三角形； 第 13 页（共 18 页） （）若: :1: :a b cx y，且ABC的面积为 5 6 ab，求y的值 【解答】解： （）由正弦定理及 tan tan aA bB ，得 sin sin cos sin sin cos A A A B B B ，即coscosAB 因为A，(0, )B，所以AB， 所以ABC是等腰三角形 （）由（）知ab，所以1x 因为 15 sin 26 ABC SabCab ， 所以 5 sin 3 C 又(0, )C，所以 2 52 cos1() 33 C 若 2 cos
25、3 C ，则 222 2 23 abc ab ，即 2 22 23 y ，解得 6 3 y ； 若 2 cos 3 C ，则 222 2 23 abc ab ，即 2 22 23 y ，解得 30 3 y 所以 6 3 y 或 30 3 y 18某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为 40 元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损 20 元该包子店记录了 60 天包子的 日需求量n（单位：笼，)nN，整理得到如图所示的条形图，以这 60 天各需求量的频率 代替相应的概率 （）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望 （）若该包子店想保证80%以上的天数
26、能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （）为了减少浪费，该包子店一天只做 18 笼包子，设Y为当天的利润（单位：元） ，求Y 的分布列和数学期望 【解答】解： （）由题意得，X的数学期望为 第 14 页（共 18 页） 101520105 ()161718192017.75 6060606060 E X （）因为 3 (18)0.8 4 P n， 11 (19)0.8 12 P n， 所以包子店每天至少要做 19 笼包子 （）当16n 时，1640220600Y ； 当17n 时，174020660Y ； 当18n时，1840720Y 所以Y的可能取值为 600，660，720， 1 (6
27、00) 6 P Y ， 1 (660) 4 P Y ， 117 (720)1 6412 P Y 所以Y的分布列为 Y 600 660 720 P 1 6 1 4 7 12 所以Y的数学期望为 117 ( )600660720685 6412 E Y 19 如图， 已知四棱锥SABCD， 平面SAD 平面ABCD， 四边形ABCD是菱形，SASD （）若120BAD，证明：SCBC； （）若368BDACSA，求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （）证明：取AD的中点H，连接CH，SH， SASD，SHAD 四边形ABCD是菱形，且120BAD， ACCD，CHAD SH
28、CHH，AD平面SCH， 又SC 平面SCH，ADSC 又在菱形ABCD中，/ /BCAD， SCBC； 第 15 页（共 18 页） （）设AC与BD交于点O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 不妨设2OAOC，则4OBOD，3SA ， 22 2 5ADOAOD，2SH ， 由（）知SHAD，平面SAD 平面ABCD，SH平面ABCD， 则(0A，2，0)，(4B， 0，0)，( 4D ， 0，0)，( 2S ，1，2)，(2, 1, 2)SA ，( 2,1, 2)SD ， (4,2,0)ABDC， 设平面SAB的法向量为 111 ( ,)nx y z， 0 0 n SA n AB ，
29、 111 11 220 420 xyz xy ， 取 1 2y ，得( 1,2, 2)n ， 设平面SCD的法向量为 222 (,)mxyz， 0 0 m SD m DC ， 222 22 220 420 xyz xy ， 取 2 2y ，得( 1,2,2)m ， 设平面SAB与平面SCD所成锐二面角为， 则 1 cos| |9 m n m n ， 故平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为 1 9 20设椭圆 2 2 2 :1(1) x Cya a 的左顶点为A，右焦点为F，已知| 23AF （）求椭圆C的方程； （）抛物线 2 2(0)ypx p与直线2x 交于P，Q两点，直线AP与椭
30、圆C交于点B（异 于点)A，若直线BQ与AP垂直，求p的值 【解答】解析： （）设椭圆的半焦距为c，则|23AFac 又因为 22 1ac，所以 22 23 ac ac ac 第 16 页（共 18 页） 解得2a ，3c 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）将2x 代入 2 2ypx得2yp ，不妨取(2,2)Pp，(2, 2)Qp， 由（）可知( 2,0)A ，从而直线AP的方程为(2) 2 p yx 联立方程组 2 2 (2) 2 1 4 p yx x y 消去y得 2 1 10 4 p xpxp 设( B B x，) B y，因为点B异于点A，由根与系数的关系得 4(1)
31、2 1 B p x p ， 所以 22 1 B p x p ， 2 (2) 21 BB pp yx p 所以 2(2)4 (,) 11 ppp BQ pp ，(4,2)APp 因为BQAP，所以 164 (2) 0 11 ppp AP BQ pp ， 解得2p 21已知函数 2 ( )(0)f xax lnx a （）讨论函数( )f x的单调性； （）若存在(0,)a，对任意的(0,)x，不等式 4 2 ( ) 2 x f xbx恒成立，求实数b的 取值范围 【解答】解： （）( )(2)(21)fxaxlnxxaxlnx 令( )0fx，则 1 x e ， 当0a 时，在 1 (0,) e
32、 上，( )0fx，在 1 (,) e 上，( )0fx， ( )f x的单调递减区间为 1 (0,) e ，单调递增区间为 1 (,) e 当0a 时，在 1 (0,) e 上，( )0fx，在 1 (,) e 上，( )0fx， ( )f x的单调递增区间为 1 (0,) e ，单调递减区间为 1 (,) e （）由 4 2 ( ) 2 x f xbx，得 2 2 x alnxb，即 2 0 2 x alnxb 第 17 页（共 18 页） 设 2 ( ) 2 x g xalnxb，则( ) 0g x 恒成立，即 2 ( )0.( ) max aax g xg xx xx ，因为0a ，
33、则在(0,)a上，( )0g x，在(,)a 上，( )0g x， ( )g x在(0,)a上单调递增，在(,)a 上单调递减 ( )()(1) 22 max aa g xgaaln ablnab 存在(0,)a，使得(1)0 2 a lnab 成立，则(1) 2 min a blna 令( )(1) 2 x h xlnx， 11 ( )(1) 222 lnx h xlnx， 在(0,1)上，( )0h x，在(1,)上，( )0h x， ( )h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 1 ( )(1) 2 min h xh b的取值范围为 1 ,) 2 （二）选考题：共（二）选考题
34、：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 8 2 ( 2 xt t t y 为参数） ，曲线C的参数方 程为 2 3 ( 2 3 xs s ys 为参数） （）求直线l和曲线C的普通方程； （）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标 【解答】解： （）直线l的参数方程为 3 8 2 ( 2 xt t t y 为参数） ，整理得直线l的普通方程 为380xy
35、在曲线C的参数方程为 2 3 ( 2 3 xs s ys 为参数） ，整理得 22 124ysx， 所以曲线C的普通方程为 2 4yx （）设点 2 (3,2 3 )Pss 第 18 页（共 18 页） 点P到直线l的距离 22 |368|3(1)5 22 sss d 当1s 时， 5 2 min d，所以点P到直线l的距离的最小值为 5 2 此时点P的坐标为(3,2 3) 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且1abc ，证明： （）(21)(21)(21) 27abc ； （） 222 1113 ()()()4a bcb acc ab 【解答】证明： （） 32 211 3aaaa ， 同理 32 21 3bb ， 32 21 3cc ， 3222 (21)(21)(21) 2727abca b c （） 222 ()24abaabbab， 2 1 ()4 ab ab 同理 2 1 ()4 ac ac ， 2 1 ()4 bc bc 222222 111 ()()()()()() abcabcabc a bcb acc aba bcb acc ab 222 1113 ()()()4444 bcacab bcacab
