2020年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科).docx

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1、 第 1 页(共 18 页) 2020 年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科)年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 |04Mxx剟, |3Nx yx,yM,则(MN ) A0,3 B0,4 C 1,4 D 1,3 2 (5 分)设复数z满足 2 (1) 1 i i z ,则(z ) A1i B1i C1i D1i 3 (5 分)人体的体质指数()BMI的计算公式:B

2、MI 体重身高 2(体重单位为kg ,身高 单位为)m其判定标准如表: BMI 18.5 以下 18.5 23.9 24 29.9 30 以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为1.5m,在一次体检时,医生告诉他属于超标类,则此学生的体重可能是( ) A47kg B51kg C66kg D70kg 4 (5 分)若x,y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ,则43zxy的最小值为( ) A9 B6.5 C4 D3 5 (5 分)已知数列 n a是等差数列,且 9 3a ,则 4812 2(aaa ) A12 B9 C6 D3 6 (5 分)某种微生物的繁殖速度y与生长

3、环境中的营养物质浓度x相关,在一定条件下可 用回归模型2ylgx进行拟合在这个条件下,要使y增加 2 个单位,则应该( ) A使x增加 1 个单位 B使x增加 2 个单位 C使x增加到原来的 2 倍 D使x增加到原来的 10 倍 7 (5 分)已知O是ABC的重心,且20OAOBBC,则实数( ) A3 B2 C1 D 1 2 8 (5 分)某三棱柱的平面展开图如图,网格中的小正方形的边长均为 1,K是线段DI上 的点,则在原三棱柱中,AKCK的最小值为( ) 第 2 页(共 18 页) A65 B73 C4 5 D89 9 (5 分)已知函数( )f x的定义域为R,且(1)f x是偶函数,

4、(1)f x是奇函数,则下列 说法正确的个数为( ) f(7)0; ( )f x的一个周期为 8; ( )f x图象的一个对称中心为(3,0); ( )f x图象的一条对称轴为2019x A1 B2 C3 D4 10 (5 分)将函数( )sin() 3 f xx 图象上所有的点按照向量( ,0)(0)maa平移得到函数 ( )g x的图象,若 33 ()() 55 fg ,则|a的最小值为( ) A 4 15 B13 30 C13 15 D17 15 11 (5 分)如图所示,直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的两条渐近线分别交于A, B两点,若4OA OB ,

5、且AOB的面积为4 2,则E的离心率为( ) A2 B3 C2 D5 12 (5 分)已知函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 若f(a)f(b)()ab,则ab的最小 第 3 页(共 18 页) 值为( ) A 2 2 B 1 2 C 2 4 D 5 3 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分) 6 1 (2 ) 2 xy的展开式中 24 x y项的系数为 14 (5 分)曲线 2 (2) x yex在点(0,2)处的切线方程为 15 (5 分)已知圆 22 :()(2)4

6、Cxay,直线:10l xay 与圆C交于A,B两点, 且ABC为等腰直角三角形,则实数a 16(5 分) 已知数列 n a是各项均为正数的等比教列, 其前n项和为 n S, 且 1 1a , 3 7S 若 关于n的不等式 22 log nn Ska 的解集中有 6 个正整数,则实数k的取值范围是 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共

7、(一)必考题:共 60 分分. 17ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 tan tan aA bB ()证明:ABC是等腰三角形; ()若: :1: :a b cx y,且ABC的面积为 5 6 ab,求y的值 18某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子,以保证当天及时供应,每卖出一笼包子的利 润为 40 元,当天未卖出的包子作废料处理,每笼亏损 20 元该包子店记录了 60 天包子的 日需求量n(单位:笼,)nN,整理得到如图所示的条形图,以这 60 天各需求量的频率 代替相应的概率 ()设X为一天的包子需求量,求X的数学期望 ()若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应,

8、则每天至少要做多少笼包子? ()为了减少浪费,该包子店一天只做 18 笼包子,设Y为当天的利润(单位:元) ,求Y 的分布列和数学期望 第 4 页(共 18 页) 19 如图, 已知四棱锥SABCD, 平面SAD 平面ABCD, 四边形ABCD是菱形,SASD ()若120BAD,证明:SCBC; ()若368BDACSA,求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值 20设椭圆 2 2 2 :1(1) x Cya a 的左顶点为A,右焦点为F,已知| 23AF ()求椭圆C的方程; ()抛物线 2 2(0)ypx p与直线2x 交于P,Q两点,直线AP与椭圆C交于点B(异 于点)A,若直线B

9、Q与AP垂直,求p的值 21已知函数 2 ( )(0)f xax lnx a ()讨论函数( )f x的单调性; ()若存在(0,)a,对任意的(0,)x,不等式 4 2 ( ) 2 x f xbx恒成立,求实数b的 取值范围 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 3 8 2 ( 2 xt t t y 为参数) ,曲线C的参数方 程为 2 3 ( 2 3

10、xs s ys 为参数) ()求直线l和曲线C的普通方程; 第 5 页(共 18 页) ()设P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知a,b,c为正数,且1abc ,证明: ()(21)(21)(21) 27abc ; () 222 1113 ()()()4a bcb acc ab 第 6 页(共 18 页) 2020 年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科)年河南省焦作市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共

11、60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 |04Mxx剟, |3Nx yx,yM,则(MN ) A0,3 B0,4 C 1,4 D 1,3 【解答】解:依题意得0 34x剟,解得13x 剟, 即 | 13Nxx 剟, 所以 |03MNxx剟 故选:A 2 (5 分)设复数z满足 2 (1) 1 i i z ,则(z ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解:复数z满足 2 (1) 1 i i z ,则 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii 故选:C 3 (5 分)人体的体

12、质指数()BMI的计算公式:BMI 体重身高 2(体重单位为kg ,身高 单位为)m其判定标准如表: BMI 18.5 以下 18.5 23.9 24 29.9 30 以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为1.5m,在一次体检时,医生告诉他属于超标类,则此学生的体重可能是( ) A47kg B51kg C66kg D70kg 【解答】解:由题意得,体重BMI身高 2 ,因为此人属于超标,所以24BMI ,29.9, 所以此学生的体重范围为 2 24 1.5, 2 29.9 1.5 54,67.275, 故选:C 第 7 页(共 18 页) 4 (5 分)若x,y满足约束条件

13、1 1 33 xy xy xy ,则43zxy的最小值为( ) A9 B6.5 C4 D3 【解答】解:x,y满足约束条件 1 1 33 xy xy xy 所表示的可行域为下图中的ABC, 当目标函数对应的直线43zxy经过点(0,1)B时,z取得最小值 3 故选:D 5 (5 分)已知数列 n a是等差数列,且 9 3a ,则 4812 2(aaa ) A12 B9 C6 D3 【解答】解:因为 n a是等差数列,所以 48126129 222412aaaaaa 故选:A 6 (5 分)某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关,在一定条件下可 用回归模型2ylgx进行拟合在这个

14、条件下,要使y增加 2 个单位,则应该( ) A使x增加 1 个单位 B使x增加 2 个单位 C使x增加到原来的 2 倍 D使x增加到原来的 10 倍 【解答】解:由2ylgx,则2222(1)2 10ylgxlgxlgx, 所以应该使x增加到原来的 10 倍, 故选:D 7 (5 分)已知O是ABC的重心,且20OAOBBC,则实数( ) A3 B2 C1 D 1 2 【解答】解:22()(2)0OAOBBCOAOBOCOBOAOBOC, O是ABC的重心, 第 8 页(共 18 页) 0OAOBOC, (2)OBOCOBOC, 1 故选:C 8 (5 分)某三棱柱的平面展开图如图,网格中的

15、小正方形的边长均为 1,K是线段DI上 的点,则在原三棱柱中,AKCK的最小值为( ) A65 B73 C4 5 D89 【解答】解:将展开图折成立体图形,如图, 然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题,如图所示 因为8AJ ,3CJ ,所以 22 3873AC ,即AKCK的最小值为73 故选:B 9 (5 分)已知函数( )f x的定义域为R,且(1)f x是偶函数,(1)f x是奇函数,则下列 说法正确的个数为( ) f(7)0; ( )f x的一个周期为 8; ( )f x图象的一个对称中心为(3,0); ( )f x图象的一条对称轴为2019x 第 9 页(共 18

16、页) A1 B2 C3 D4 【解答】解:由(1)f x是偶函数,得(1)(1)fxfx,即1x 是( )f x的对称轴, 又(1)f x是奇函数,得(1)(1)fxf x ,可知( 1,0)是( )f x的对称中心, 由(1)(1)fxfx,取1xx,得(2)( )fxf x, 由(1)(1)fxf x ,取1xx ,得( )( 2)f xfx , 则(2)( 2)fxfx ,得(2)( 2)fxfx ,有(4)( )fxf x , 则(8) (4)( )( )fxfxf xf x 则( )f x是周期函数,且 8 为函数( )f x的一个周期,故正确; f(7)( 1)0f,故正确; 每隔

17、半个周期出现一个对称中心,(3,0)是函数( )f x的对称中心,故正确; 201982523x ,2019x不是函数( )f x的图象的对称轴,故错误 正确命题的个数有 3 个 故选:C 10 (5 分)将函数( )sin() 3 f xx 图象上所有的点按照向量( ,0)(0)maa平移得到函数 ( )g x的图象,若 33 ()() 55 fg ,则|a的最小值为( ) A 4 15 B13 30 C13 15 D17 15 【解答】解:对于函数( )sin() 3 f xx ,令 32 xk , 求得 6 xk ,可得( )f x图象的对称轴为() 6 xkkZ , 其中距离 3 5

18、x 最近的对称轴为 6 x 设点 33 (,() 55 Pf 关于直线 6 x 对称的点为 43 (,() 155 Pf 要使|a最小,则 3413 51515 a , 故选:C 11 (5 分)如图所示,直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的两条渐近线分别交于A, B两点,若4OA OB ,且AOB的面积为4 2,则E的离心率为( ) 第 10 页(共 18 页) A2 B3 C2 D5 【 解 答 】 解 : 设(0) 2 AOx , 由 题 意 可 得| |cos24OAOB , 1 |sin24 2 2 OA OB, 所以 sin2 tan22 2 cos2

19、 ,即 2 2tan 2 2 1tan ,可得tan2(负值舍去) , 又因为tan b a ,所以 2 2 2 11tan3 cb e aa , 故选:B 12 (5 分)已知函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 若f(a)f(b)()ab,则ab的最小 值为( ) A 2 2 B 1 2 C 2 4 D 5 3 【解答】解:画出函数 1 2 1 2,1 8( ) 2 ,12 x log xx f x x 剟 的图象,如图所示; 由f(a)f(b) ,且ab, 设 1 2 2log2bak,则24k ; 所以 2 1 ( ) 2 k a , 2 l

20、ogbk; 当4k 时, 2 2 111 ( ) log 42 242 ab ; 考虑 223 22 1111 ( )log( )(log2) 2222 kkk abkk , 在同一坐标系中画出函数 2 logyx和 3 2xy 的图象,其中(2x,4,如图所示; 第 11 页(共 18 页) 则函数 2 logyx的图象总在 3 2xy 的图象上方, 所以 1 0 2 ab ,即ab的最小值为 1 2 故选:B 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分) 6 1 (2 ) 2 xy的展开式中 24 x y项的系数为 6

21、0 【解答】解:因为展开式的通项为 6266 166 1 ()(2 )2 2 rrrrrrr r TCxyC xy 4r ,得 24 5 60Tx y 故答案为:60 14 (5 分)曲线 2 (2) x yex在点(0,2)处的切线方程为 22yx 【解答】解: 2 ( )(22) x fxexx,(0)2 f , 又(0)2f, 所求切线方程为22yx,即22yx 故答案为:22yx 15 (5 分)已知圆 22 :()(2)4Cxay,直线:10l xay 与圆C交于A,B两点, 第 12 页(共 18 页) 且ABC为等腰直角三角形,则实数a 1 或 1 7 【解答】解:由题意得( ,

22、2)C a,圆C的半径为 2, 因为ABC为等腰直角三角形, 所以圆心C到直线l的距离 2 |21| 2 1 aa d a , 解得1a 或 1 7 a 故答案为:1 或 1 7 16(5 分) 已知数列 n a是各项均为正数的等比教列, 其前n项和为 n S, 且 1 1a , 3 7S 若 关于n的不等式 22 log nn Ska 的解集中有 6 个正整数, 则实数k的取值范围是 127 (9, 8 【解答】 解: 由题意可知0q 且 2 17qq, 解得2q , 所以 1 2n n a , 21 21 21 n n n S 由 22 log nn Ska ,得21(1) n k n 结

23、合函数21 x y ,(1)yk x的图象可知, 若原不等式的解集中有 6 个正整数,则 6 7 21(61) 21(71) k k ,解得 9 127 8 k k , 所以实数k的取值范围为 127 (9, 8 故答案为: 127 (9, 8 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17ABC的内角A,B

24、,C的对边分别为a,b,c,已知 tan tan aA bB ()证明:ABC是等腰三角形; 第 13 页(共 18 页) ()若: :1: :a b cx y,且ABC的面积为 5 6 ab,求y的值 【解答】解: ()由正弦定理及 tan tan aA bB ,得 sin sin cos sin sin cos A A A B B B ,即coscosAB 因为A,(0, )B,所以AB, 所以ABC是等腰三角形 ()由()知ab,所以1x 因为 15 sin 26 ABC SabCab , 所以 5 sin 3 C 又(0, )C,所以 2 52 cos1() 33 C 若 2 cos

25、3 C ,则 222 2 23 abc ab ,即 2 22 23 y ,解得 6 3 y ; 若 2 cos 3 C ,则 222 2 23 abc ab ,即 2 22 23 y ,解得 30 3 y 所以 6 3 y 或 30 3 y 18某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子,以保证当天及时供应,每卖出一笼包子的利 润为 40 元,当天未卖出的包子作废料处理,每笼亏损 20 元该包子店记录了 60 天包子的 日需求量n(单位:笼,)nN,整理得到如图所示的条形图,以这 60 天各需求量的频率 代替相应的概率 ()设X为一天的包子需求量,求X的数学期望 ()若该包子店想保证80%以上的天数

26、能够足量供应,则每天至少要做多少笼包子? ()为了减少浪费,该包子店一天只做 18 笼包子,设Y为当天的利润(单位:元) ,求Y 的分布列和数学期望 【解答】解: ()由题意得,X的数学期望为 第 14 页(共 18 页) 101520105 ()161718192017.75 6060606060 E X ()因为 3 (18)0.8 4 P n, 11 (19)0.8 12 P n, 所以包子店每天至少要做 19 笼包子 ()当16n 时,1640220600Y ; 当17n 时,174020660Y ; 当18n时,1840720Y 所以Y的可能取值为 600,660,720, 1 (6

27、00) 6 P Y , 1 (660) 4 P Y , 117 (720)1 6412 P Y 所以Y的分布列为 Y 600 660 720 P 1 6 1 4 7 12 所以Y的数学期望为 117 ( )600660720685 6412 E Y 19 如图, 已知四棱锥SABCD, 平面SAD 平面ABCD, 四边形ABCD是菱形,SASD ()若120BAD,证明:SCBC; ()若368BDACSA,求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值 【解答】解: ()证明:取AD的中点H,连接CH,SH, SASD,SHAD 四边形ABCD是菱形,且120BAD, ACCD,CHAD SH

28、CHH,AD平面SCH, 又SC 平面SCH,ADSC 又在菱形ABCD中,/ /BCAD, SCBC; 第 15 页(共 18 页) ()设AC与BD交于点O,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 不妨设2OAOC,则4OBOD,3SA , 22 2 5ADOAOD,2SH , 由()知SHAD,平面SAD 平面ABCD,SH平面ABCD, 则(0A,2,0),(4B, 0,0),( 4D , 0,0),( 2S ,1,2),(2, 1, 2)SA ,( 2,1, 2)SD , (4,2,0)ABDC, 设平面SAB的法向量为 111 ( ,)nx y z, 0 0 n SA n AB ,

29、 111 11 220 420 xyz xy , 取 1 2y ,得( 1,2, 2)n , 设平面SCD的法向量为 222 (,)mxyz, 0 0 m SD m DC , 222 22 220 420 xyz xy , 取 2 2y ,得( 1,2,2)m , 设平面SAB与平面SCD所成锐二面角为, 则 1 cos| |9 m n m n , 故平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为 1 9 20设椭圆 2 2 2 :1(1) x Cya a 的左顶点为A,右焦点为F,已知| 23AF ()求椭圆C的方程; ()抛物线 2 2(0)ypx p与直线2x 交于P,Q两点,直线AP与椭

30、圆C交于点B(异 于点)A,若直线BQ与AP垂直,求p的值 【解答】解析: ()设椭圆的半焦距为c,则|23AFac 又因为 22 1ac,所以 22 23 ac ac ac 第 16 页(共 18 页) 解得2a ,3c 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y ()将2x 代入 2 2ypx得2yp ,不妨取(2,2)Pp,(2, 2)Qp, 由()可知( 2,0)A ,从而直线AP的方程为(2) 2 p yx 联立方程组 2 2 (2) 2 1 4 p yx x y 消去y得 2 1 10 4 p xpxp 设( B B x,) B y,因为点B异于点A,由根与系数的关系得 4(1)

31、2 1 B p x p , 所以 22 1 B p x p , 2 (2) 21 BB pp yx p 所以 2(2)4 (,) 11 ppp BQ pp ,(4,2)APp 因为BQAP,所以 164 (2) 0 11 ppp AP BQ pp , 解得2p 21已知函数 2 ( )(0)f xax lnx a ()讨论函数( )f x的单调性; ()若存在(0,)a,对任意的(0,)x,不等式 4 2 ( ) 2 x f xbx恒成立,求实数b的 取值范围 【解答】解: ()( )(2)(21)fxaxlnxxaxlnx 令( )0fx,则 1 x e , 当0a 时,在 1 (0,) e

32、 上,( )0fx,在 1 (,) e 上,( )0fx, ( )f x的单调递减区间为 1 (0,) e ,单调递增区间为 1 (,) e 当0a 时,在 1 (0,) e 上,( )0fx,在 1 (,) e 上,( )0fx, ( )f x的单调递增区间为 1 (0,) e ,单调递减区间为 1 (,) e ()由 4 2 ( ) 2 x f xbx,得 2 2 x alnxb,即 2 0 2 x alnxb 第 17 页(共 18 页) 设 2 ( ) 2 x g xalnxb,则( ) 0g x 恒成立,即 2 ( )0.( ) max aax g xg xx xx ,因为0a ,

33、则在(0,)a上,( )0g x,在(,)a 上,( )0g x, ( )g x在(0,)a上单调递增,在(,)a 上单调递减 ( )()(1) 22 max aa g xgaaln ablnab 存在(0,)a,使得(1)0 2 a lnab 成立,则(1) 2 min a blna 令( )(1) 2 x h xlnx, 11 ( )(1) 222 lnx h xlnx, 在(0,1)上,( )0h x,在(1,)上,( )0h x, ( )h x在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增 1 ( )(1) 2 min h xh b的取值范围为 1 ,) 2 (二)选考题:共(二)选考题

34、:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 3 8 2 ( 2 xt t t y 为参数) ,曲线C的参数方 程为 2 3 ( 2 3 xs s ys 为参数) ()求直线l和曲线C的普通方程; ()设P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标 【解答】解: ()直线l的参数方程为 3 8 2 ( 2 xt t t y 为参数) ,整理得直线l的普通方程 为380xy

35、在曲线C的参数方程为 2 3 ( 2 3 xs s ys 为参数) ,整理得 22 124ysx, 所以曲线C的普通方程为 2 4yx ()设点 2 (3,2 3 )Pss 第 18 页(共 18 页) 点P到直线l的距离 22 |368|3(1)5 22 sss d 当1s 时, 5 2 min d,所以点P到直线l的距离的最小值为 5 2 此时点P的坐标为(3,2 3) 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知a,b,c为正数,且1abc ,证明: ()(21)(21)(21) 27abc ; () 222 1113 ()()()4a bcb acc ab 【解答】证明: () 32 211 3aaaa , 同理 32 21 3bb , 32 21 3cc , 3222 (21)(21)(21) 2727abca b c () 222 ()24abaabbab, 2 1 ()4 ab ab 同理 2 1 ()4 ac ac , 2 1 ()4 bc bc 222222 111 ()()()()()() abcabcabc a bcb acc aba bcb acc ab 222 1113 ()()()4444 bcacab bcacab

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