1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）年江西省九江市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | 15Mxx， | 2Nxx，则(MN ) A | 12xx B | 25xx C | 15xx D |02xx 2 （5 分）设复数z满足(1)2zi，则z在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5
2、分）已知非零向量a，b满足| |ab，则“|2 | |2|abab”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 20 22 0 xy xy xy ，则3zxy的最大值为( ) A4 B2 C 14 5 D0 5 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 313 1352aS，则 9 (S ) A9 B18 C27 D36 6 （5 分） 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 当0x时，( ) x f xex， 则 3 2 ( 2 )af， 2 (log 9)bf，( 5)cf的大小关系
3、为( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 7 （5 分）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成其中有一 种起卦方法称为“金钱起卦法” ，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下 使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻若三 枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻若每一枚钱币正面向上的概率为 1 2 ， 则一卦中恰有两个变爻的概率为( ) A 1 4 B 15 64 C 240 729 D 1215 4096 第 2 页（共 21 页） 8 （5 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如
4、图所示， 且()()0f axf ax，则|a的最小值为( ) A 12 B 6 C 3 D 5 12 9 （5 分） 过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F且斜率大于 0 的直线l交抛物线于点A，B（点 A位于第一象限） ，交其准线于点C，若| 3|BCBF，且| 3AF ，则直线AB的方程为( ) A2 22 20xy B22 20xy C2 220xy D220xy 10 （5 分）半正多面体()semiregularsolid亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正 多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方 体切截而成的，它由八个正三角形和
5、六个正方形为面的半正多面体如图所示，图中网格是 边长为 1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为( ) A 8 3 B4 C 16 3 D 20 3 11 （5 分）定义 , , aa b ab bab ，已知函数 2 1 ( ) 2sin f x x ， 2 1 ( ) 2cos g x x ，则函数 ( )( )( )F xf xg x的最小值为( ) 第 3 页（共 21 页） A 2 3 B1 C 4 3 D2 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知 n A， n B是圆 222 xyn上两个动点，且满足 2 * () 2 nn n OA OBnN ，
6、设 n A， n B到直线3(1)0xyn n的距离之和的最大值为 n a， 若数列 1 n a 的前n项和 n Sm恒成立，则实数m的取值范围是( ) A 3 ( ,) 4 B 3 ,) 4 C 3 ( ,) 2 D 3 ,) 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 2 (2) x yex在点(0,2)处的切线方程为 14 （5 分） 4 1 (2)x x 的展开式中 2 x的系数为 15 （5 分）在三棱锥ABCD中，已知226BCCDBDABAD，且平面ABD 平面BCD，则三棱锥ABCD外接球的表
7、面积为 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点， 点M为双曲线右支上一点，若 12 | 2|FFOM， 21 tan2MF F，则双曲线C的离心率的取 值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 是a，b，c， 已 知 (3 ) s i ns i ns i nabAbBcC （）求角C的值； （）若 13 sinsi
8、n 4 AB ，2c ，求ABC的面积 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，已知四边形 11 AAC C为矩形， 1 6AA ， 4ABAC， 1 60BACBAA ， 1 A AC的角平分线AD交 1 CC于D （）求证：平面BAD 平面 11 AAC C； （）求二面角 111 ABCA的余弦值 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点为E，左焦点为F，离心率为 2 2 ， 直线EF与圆 22 1 2 xy相切 （）求椭圆C的标准方程； （）设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段A
9、，B的垂直平分 线交x轴于点P，试判断 | | PF AB 是否为定值？并说明理由 20 （12 分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来 越强现某大型企业为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测 费用预算定为 1200 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若至少有 2 套系统监测出排 放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有 1 套系统监测出排放超标，则立即同时启 动另外 2 套系统进行 1 小时的监测， 且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1 套系统监测出排 放超标，也立即检查污染源处理系统设每个时间段（以 1 小时为计
10、量单位）被每套系统监 测出排放超标的概率均为(01)pp，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独 立 （）当 1 2 p 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （）若每套环境监测系统运行成本为 300 元/小时（不启动则不产生运行费用） ，除运行 费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100 万元现以此方案实施，问该 企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按 9000 小时计算）？并说明理由 21 （12 分）已知函数( )()f xalnxx aR （）讨论( )f x的单调性； （）若对(0,)x ，( )0 x f xeax恒成立，求a的取值范围 请考生在第
11、请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分分选修选修 4-4：坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 第 5 页（共 21 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1cos 1cos ( 2sin 1cos x y 为参数） 以O为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 00 (0, ) ，将曲线 1 C向左平移 2 个单位长度得到曲线C （）求曲线C的普通方程和极坐标方程； （）设直线l与曲线C交于A，B两点，求 11 |OAOB 的取值范围 选修选修 4-5：不等
12、式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( )1f xxx，且m，nR （）若22mn，求( )2 ( )f mf n的最小值，并求此时m，n的值； （）若| 1mn，求证：|( )( )| 2(| 1)f mf nm 第 6 页（共 21 页） 2020 年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）年江西省九江市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集
13、合 | 15Mxx， | 2Nxx，则(MN ) A | 12xx B | 25xx C | 15xx D |02xx 【解答】解：集合 | 15Mxx， | 2 | 22Nx xxx | 12MNxx 故选：A 2 （5 分）设复数z满足(1)2zi，则z在复平面内所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由(1)2zi， 得 2 1 1 zi i ， z在复平面内所对应的点的坐标为(1, 1)，位于第四象限 故选：D 3 （5 分）已知非零向量a，b满足| |ab，则“|2 | |2|abab”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件
14、C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 222222 |2 | |2|2 |2|4444ababababaa bbaa bb， | | 0ab， |2 | |2|0ababa bab， 故选：C 4 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 20 22 0 xy xy xy ，则3zxy的最大值为( ) 第 7 页（共 21 页） A4 B2 C14 5 D0 【解答】解：如图，作出可行域，当直线:30l xy， 平移至经过点 2 4 ( , ) 5 5 A时， 3zxy取得最大值 14 5 故选：C 5 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 313 1352aS，则
15、9 (S ) A9 B18 C27 D36 【解答】解：根据题意，等差数列 n a中， 31337 13131352aSaa， 变形可得 37 4aa， 则有 37 5 2 2 aa a ， 故 95 99218Sa， 故选：B 6 （5 分） 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 当0x时，( ) x f xex， 则 3 2 ( 2 )af， 2 (log 9)bf，( 5)cf的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解：依题意得 33 22 ( 2 )(2 )aff； 3 2 2 522 23log 9； 当0x时，( )f x在0，)上单调递增； 3
16、2 2 (log 9)(2 )( 5)fff； 即bac； 第 8 页（共 21 页） 故选：C 7 （5 分）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成其中有一 种起卦方法称为“金钱起卦法” ，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下 使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻若三 枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻若每一枚钱币正面向上的概率为 1 2 ， 则一卦中恰有两个变爻的概率为( ) A 1 4 B 15 64 C 240 729 D 1215 4096 【解答】解：由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率 3 11
17、 2( ) 24 p 得到六爻实际为六次独立重复试验， 一卦中恰有两个变爻的概率为： 224 6 131215 (2)( )( ) 444096 P xC 故选：D 8 （5 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如图所示， 且()()0f axf ax，则|a的最小值为( ) A 12 B 6 C 3 D 5 12 【解答】解由图象易知，2A， 4 11 () 3 126 T ， 2，又22 62 k ， 2() 6 kkZ ， | 2 ， 6 ， ( )2sin(2) 6 f xx ， 第 9 页（共 21 页） ()()0f axf ax， ( )f x
18、关于点( ,0)a对称， 即有2, 6 akkZ ， , 212 k akZ ， |a的最小值为 12 ， 故选：A 9 （5 分） 过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F且斜率大于 0 的直线l交抛物线于点A，B（点 A位于第一象限） ，交其准线于点C，若| 3|BCBF，且| 3AF ，则直线AB的方程为( ) A2 22 20xy B22 20xy C2 220xy D220xy 【解答】解：作 1 AA 准线于 1 A， 1 BB 准线于 1 B， 11 FFAA于 1 F 在 1 Rt BCB中， 1 1 |1 cos |3 BBBF CBB BCBC ， 所以 1 tan2 2C
19、BB， 所以直线l的斜率为2 2， 又 11 BCBAFF，所以 1 1 | 1 3 AFAF， 11 | 2pAF， 所以直线AB的方程为2 2(1)yx，即2 22 20xy， 故选：A 第 10 页（共 21 页） 10 （5 分）半正多面体()semiregularsolid亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正 多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方 体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体如图所示，图中网格是 边长为 1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为( ) A 8 3 B4 C 16
20、 3 D 20 3 【解答】解：如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图； 由三视图可知，该几何体的棱长为2， 它是由棱长为 2 的正方体沿各棱中点截去 8 个三棱锥所得到的， 所以该几何体的体积为： 1120 22281 1 1 323 V 故选：D 第 11 页（共 21 页） 11 （5 分）定义 , , aa b ab bab ，已知函数 2 1 ( ) 2sin f x x ， 2 1 ( ) 2cos g x x ，则函数 ( )( )( )F xf xg x的最小值为( ) A 2 3 B1 C 4 3 D2 【解答】解：依题意得( )( )F xf x，( )( )F
21、xg x，则2 ( )( )( )F xf xg x， 22 2222 11111 ( )( )()(2sin)(2cos) 2sin2cos3 2sin2cos f xg xxx xxxx 2222 2222 12cos2sin12cos2sin4 (2)(22) 32sin2cos32sin2cos3 xxxx xxxx （当且仅当 22 22 2cos2sin 2sin2cos xx xx ， 即 22 1 sincos 2 xx时 “” 成立 此时， 2 ( )( ) 3 f xg x， 4 2 ( ) 3 F x ，( )F x的最小值为 2 3 ， 故选：A 12 （5 分）在平面
22、直角坐标系xOy中，已知 n A， n B是圆 222 xyn上两个动点，且满足 2 * () 2 nn n OA OBnN ，设 n A， n B到直线3(1)0xyn n的距离之和的最大值为 n a， 若数列 1 n a 的前n项和 n Sm恒成立，则实数m的取值范围是( ) A 3 ( ,) 4 B 3 ,) 4 C 3 ( ,) 2 D 3 ,) 2 【解答】解：由 2 2 nn n OA OB ， 可得120 nn A OB，设线段 nn A B的中点为 n C， 则 n C在圆 2 22 4 n xy上， n A， n B到直线3(1)0xyn n的距离之和等于点 n C到该直 线
23、的距离的两倍 点 n C到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， 第 12 页（共 21 页） 2 (1) 22 22 n n nn ann ， 2 111 11 () 222 n annnn ， 11113 (1) 22124 n S nn ， 3 4 m， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 2 (2) x yex在点(0,2)处的切线方程为 22yx 【解答】解： 2 ( )(22) x fxexx，(0)2 f ， 又(0)2f， 所求切线方程为22yx，即22yx 故答案为
24、：22yx 14 （5 分） 4 1 (2)x x 的展开式中 2 x的系数为 28 【解答】解： 248 4 44 1(21)(1) (2) xxx x xxx ， 8 (1)x 中 6 x的系数为 2 8 28 展开式中 2 x的系数为 2 8 28C 故答案为：28 15 （5 分）在三棱锥ABCD中，已知226BCCDBDABAD，且平面ABD 平面BCD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为 48 【解答】解：在等边三角形BCD中，取BD的中点F，设等边三角形BCD的中心为O， 连接AF，CF，OA由6BC ，得 2 2 3 3 BOCODOCF，3OF ， 由已知可得ABD是以BD为斜
25、边的等腰直角三角形，AFBD， 又 由 已 知 可 得 平 面ABD 平 面B C D，AF平 面B C D，AFOF， 22 2 3OAOFAF，O为三棱锥ABCD外接球的球心，外接球 半径2 3ROC，三棱锥ABCD外接球的表面积为 2 4(2 3)48 故答案为：48 第 13 页（共 21 页） 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点， 点M为双曲线右支上一点，若 12 | 2|FFOM， 21 tan2MF F，则双曲线C的离心率的取 值范围为 (1，5 【解答】解：法一： 12 | 2|FFOM，
26、 12 2 FMF ， 222 12 4|cMFMF， 1 21 2 | tan | MF MF F MF ， 12 | 2MFMFa， 22 12 2222 2122 2222 112212 2 2 | |4 |2|4(|) | MFMF MFMFMFc e MFMFMFMFaMFMF MF ， 设 1 2 | 2 | MF t MF ，则 2 2 2 12 1 1 21 2 t e tt t t ， 115 2 22 t t ， 2 15e ，15e 法二： 12 | 2|FFOM， 12 2 FMF ，令 11 |MFr， 22 |MFr， 21 MF F，tan2， 1 2 sinrc
27、， 2 2 cosrc， 12 22 (sincos )arrc， 1 sincos e ， 2 2 2 111 5 2tan (sincos )1sin2 1 1tan e ， 15e 故答案为：(1，5 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 是a，b，c， 已 知 第 14 页（共 21 页） (3 )sinsinsinabAbBcC （）求角C的值； （）若 13 sinsin 4 AB ，2c ，
28、求ABC的面积 【解答】解： （）由(3 )sinsinsinabAbBcC及正弦定理得 22 (3 )ab abc， 即 222 3abcab 由余弦定理得 222 3 cos 22 abc C ab 0C， 6 C （） ：设ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得 2 24 sin sin 6 c R C 2 sin4sinaRAA，2 sin4sinbRBB， 16sinsin4(13)abAB 111 sin4(13)13 222 ABC SabC 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，已知四边形 11 AAC C为矩形， 1 6AA ， 4ABAC， 1 60BA
29、CBAA ， 1 A AC的角平分线AD交 1 CC于D （）求证：平面BAD 平面 11 AAC C； （）求二面角 111 ABCA的余弦值 【解答】解： （）如图，过点D作/ /DEAC交 1 AA于E，连接CE，BE， 设ADCEO，连接BO， 1 ACAA，DEAE， 又AD为 1 A AC的角平分线，四边形AEDC为正方形，CEAD， 又ACAE，BACBAE ，BABA，BACBAE ，BCBE， 第 15 页（共 21 页） 又O为CE的中点，CEBO， 又AD，BO 平面BAD，ADBOO，CE平面BAD 又CE 平面 11 AAC C，平面BAD 平面 11 AAC C （
30、）在ABC中，4ABAC，60BAC，4BC， 在Rt BOC中， 1 2 2 2 COCE，2 2BO ， 又4AB ， 1 2 2 2 AOAD， 222 BOAOAB，BOAD， 又BOCE，ADCEO，AD，CE 平面 11 AAC C，BO平面 11 AAC C， 故建立如图空间直角坐标系Oxyz， 则(2A，2，0)， 1(2 A，4，0)， 1( 2 C ，4，0)， 1(0,6,2 2) B， 11 (2,2,2 2)C B ， 1 ( 4,6,0)AC ， 11 (4,0,0)C A ， 设平面 11 ABC的一个法向量为 111 ( ,)mx y z， 则 11 1 mC
31、B mAC ， 11 111 460 222 20 xy xyz ， 令 1 6x ，得(6,4, 5 2)m ， 设平面 111 ABC的一个法向量为 222 (,)nxy z， 则 11 11 nC B nC A ， 2 222 40 222 20 x xyz ，令 2 2y ，得(0, 2, 1)n ， 9 23 17 cos, | |171023 m n m n mn ，故二面角 111 ABCA的余弦值为 3 17 17 19 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的上顶点为E，左焦点为F，离心率为 2 2 ， 第 16 页（共 21 页） 直线EF与圆
32、 22 1 2 xy相切 （）求椭圆C的标准方程； （）设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段A，B的垂直平分 线交x轴于点P，试判断 | | PF AB 是否为定值？并说明理由 【解答】解： （）如图， 2 2 c e a ，2ac，bc， 直线EF的方程为0xyc，直线EF与圆 22 1 2 xy相切， 2 22 c ，1,2,1cab， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y； （）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (P x，0)， 设直线:(1)l yk x，联立 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，消去y得 2222 (21
33、)4220kxk xk， 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 22 21 k x x k ， 222 2222 1212 222 4222 2(1) |1()41()4 212121 kkk ABkxxx xk kkk ， 法一：P在线段AB的垂直平分线上，| |PAPB， 2222 101202 ()()xxyxxy A，B在椭圆C上， 2 21 1 1 2 x y ， 2 22 2 1 2 x y ， 代入得 22 2212 1020 ()1()1 22 xx xxxx ，化简得 012 1 () 4 xxx， 22 012 22 1141 | |1| |()1| |1
34、| 44 2121 kk PFxxx kk 法 二 ： 线 段AB的 中 点 为 2 22 2 (,) 21 21 kk kk ，线 段AB的 垂 直 平 分 线 为 2 22 2 () 2121 kk k yx kk ， 令0y ，得 2 0 2 21 k x k ， 22 0 22 1 | |1| |1| 2121 kk PFx kk ， 第 17 页（共 21 页） 2 2 2 2 1 |2 21 |42 2(1) 21 k PF k ABk k ，故 | | PF AB 为定值 2 4 20 （12 分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来 越强现某大型
35、企业为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测 费用预算定为 1200 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若至少有 2 套系统监测出排 放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有 1 套系统监测出排放超标，则立即同时启 动另外 2 套系统进行 1 小时的监测， 且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1 套系统监测出排 放超标，也立即检查污染源处理系统设每个时间段（以 1 小时为计量单位）被每套系统监 测出排放超标的概率均为(01)pp，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独 立 （）当 1 2 p 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （）若每
36、套环境监测系统运行成本为 300 元/小时（不启动则不产生运行费用） ，除运行 费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100 万元现以此方案实施，问该 企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按 9000 小时计算）？并说明理由 【解答】解： （）某个时间段在开启 3 套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率 为 2333 33 111 ( )( ) 222 CC， 某个时间段在需要开启另外 2 套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为 132 3 119 ( ) 1( ) 2232 C， 某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 1925 23232 ； （）设某个时间段环
37、境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为 900，1500， 12 3 (1500)(1)P XC pp， 12 3 (900)1(1)P XC pp ， 12122 33 ()900 1(1) 1500(1)9001800 (1)E XC ppC pppp， 第 18 页（共 21 页） 令 2 ( )(1)g ppp，(0,1)p，则 2 ( )(1)2 (1)(31)(1)g pppppp， 当 1 (0, ) 3 p时，( )0g p，( )g p在 1 (0, ) 3 上单调递增； 当 1 ( ,1) 3 p时，( )0g p，( )g p在上 1 ( ,1) 3 单调递减， (
38、 )g p的最大值为 14 ( ) 327 g， 实施此方案，最高费用为 4 4 1009000(9001800) 101150 27 （万元） ， 11501200，故不会超过预算 21 （12 分）已知函数( )()f xalnxx aR （）讨论( )f x的单调性； （）若对(0,)x ，( )0 x f xeax恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （）( )1 axa fx xx ， 当0a 时，由( )0fx得xa ，( )0fx得0xa ， ( )f x在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增； 当0a时，( )0fx恒成立， ( )f x在(0,)上单调递增； （）由(
39、)0 x f xeax得() x a xlnxxe， 令( )(0) x s xxex，则( )10 x s xe ， ( )s x在(0,)上单调递减， ( )(0)1s xs ， ( )0s x，即0 x xe， 同理可得0xlnx， (*) x xe a xlnx ， 当0a时，0 x xe xlnx ， (*)式恒成立，即( )0 x f xeax恒成立，满足题意 综上所述，a的取值范围是0，) 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系：坐标系 第 19 页（共 21 页）
40、 与参数方程与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1cos 1cos ( 2sin 1cos x y 为参数） 以O为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 00 (0, ) ，将曲线 1 C向左平移 2 个单位长度得到曲线C （）求曲线C的普通方程和极坐标方程； （）设直线l与曲线C交于A，B两点，求 11 |OAOB 的取值范围 【解答】 解：（） 22 22 2coscos 1cos 22 1cos 2sinsin 22 x ， 2 4sincos2cos 2sin 222 1cos 2sinsin 22 y ， 2 2 2
41、4cos 2 4 sin 2 yx ，即曲线 1 C的普通方程为 2 4yx 依题意得曲线C的普通方程为 2 4(2)yx 令cosx，siny得曲线C的极坐标方程为 22 sin4 cos80 （）法一：将 0 代入曲线C的极坐标方程得 22 00 sin4 cos80，则 0 12 2 0 4cos sin ， 12 2 0 8 sin ， 12 0 ， 1 ， 2 异号 2 0 222 0012122 12 0 121212 2 0 4cos32 () sinsin()4| 11111 1sin 8 |2 sin OAOB 0 (0, )， 0 sin(0，1， 1112 ( , |22
42、OAOB 法二：设直线l的参数方程为 cos ( sin xt t yt 为参数） ，代入曲线C的普通方程得 第 20 页（共 21 页） 22 sin4 cos80tt， 则 12 2 4cos sin tt ， 1 2 2 8 sin t t ， 1 2 0t t ， 1 t， 2 t异号 2 222 121 22 12 121 21 2 2 4cos32 () ()4sinsin|11111 1sin 8 |2 sin ttt ttt OAOBttt tt t (0, )，sin(0，1， 1112 ( , |22OAOB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 2 ( )1f xxx，且m，nR （）若22mn，求( )2 ( )f mf n的最小值，并求此时m，n的值； （）若| 1mn，求证：|( )( )| 2(| 1)f mf nm 【解答】解： （） 2222 ( )2 ( )(2)(2 )321f mf nmnmnmn， 法一：22mn， 22mn， 2222
