1、 第 1 页（共 24 页） 2020 年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科） （年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科） （3 月月 份）份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 题，每题题，每题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *|2+14+， = *| = 4 2+，则 AB（ ） A （1，0 B （0，1） C （1，2 D0，2 2 （5 分）已知函数 f（x）= 1 () ( ) ，则(1 ) =（ ） A1 Be C1 D1 3 （5 分）已知 aR，命题 p：复数 a+（2a）i 在复平面内对应的点在第一象限内，命题 q
2、： | + ( 4)| 10， 其中 i 是虚数单位， 若 pq 是真命题， 则 a 的取值范围是 （ ） A （0，2） B1，3 C1，2） D （0，3） 4 （5 分）已知抛物线 x24y 的准线为 1，过点 P（0，2）的直线交抛物线于点 A，B，且 满足 = 2 ，则线段 AB 的中点到准线 1 的距离为（ ） A7 2 B3 C5 2 D2 5 （5 分）已知函数() = ( + )(0，0，| 2)的部分图象如图所示，则 ( 6) =（ ） A 1 2 B1 C1 2 D 3 2 6 （5 分）如图，四边形 ABCD 中，ABBC，AB= 3，BC2CD2，点 E 是 BC 的
3、中点， BCD120，则 的值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A1 2 B1 C3 2 D1 7 （5 分）为计算 = 1 1 2 + 1 3 1 4 + + 1 99 1 100设计了如图所示的程序框图，则在空白 框中应填（ ） Ai100 Bi101 Ci99 Di101 8 （5 分） 已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的各条棱中最长棱的长度为 （ ） A4 B5 C13 D26 第 3 页（共 24 页） 9 （5 分）某公园内有一个半径为 60 米的圆形池塘，池塘内有美丽的荷花与锦鲤，为了方 便游客观赏，公园负责人打算在池塘上搭建一个“工”字形的木桥（如图） ，其中 A
4、B CD， E， F 分别为 AB， CD 的中点， 圆心 O 为 EF 的中点， 则木桥的长度最长可以为 （ ） A1202米 B2405米 C1205米 D2402米 10 （5 分）设函数() = + 1 (2+1)，则使得 f（2x+1）f（x2）成立的 x 的 取值范围是（ ） A(3， 1 2) ( 1 2， 1 3- B(4， 1 4) C(3， 1 2) ( 1 2， 1 3) D(3， 1 3) 11 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PBC平面 ABC，ABC90，AB2，BC1，PB 22，PBC45，则三棱锥 PABC 外接球的表面积是（ ） A16 B14 C2
5、0 D22 12 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2直线 1 过 左焦点 F1且与双曲线的左支交于 A，B 两点，若|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）袋子里装有 5 个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球（大小、形状、质量完 全相同） ，某人从袋子中一次性取出 2 个小球，则取出的 2 个小球中含有红色小球的概率 为 14 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组
6、0， ， + 0， 且目标函数 z3x2y 的最大值 为 180，则实数 m 的值为 第 4 页（共 24 页） 15 （5 分）若( + 1 2 4 )展开式中前三项的系数成等差数列，且含 x 的项为 f（x） ，则 1 |()| = 16 （5 分）若函数 f（x）ex（1a）xa（x+1）ln（x+1）在定义域内单调，则实数 a 的取值集合为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分） （一）必考题（共分） （一）必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，Snn2+n+a+1（aR） （1）若 a2，求数列an的通项公式； （2）若数列a
7、n是等差数列，bn= +1 +1，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分） 如图， 在四棱锥 POABC 中， 四边形 OABC 为直角梯形， ABOC， AOOC， 2AB2AOOCPO4，D 为 OC 的中点，E 为线段 PO 上的动点（不与端点重合） （1）问：E 在什么位置时，PB平面 ADE？ （2）若 PO平面 OABC，当 E 到平面 PBC 的距离为3时，求锐二面角 EBCP 的余 弦值 19 （12 分）清华大学中学生标准学术能力诊断性测试于 2018 年 11 月 2 日 3 日分线上和线 下同时进行，清华大学为了解 2019 届考生的学业水平，从线下考生中随机抽
8、取 100 名考 生，对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，按成绩分组，得到频率分布表如表： 组号 1 2 3 4 5 分组 560，580） 580，600） 600，620） 620，640） 640，660 频数 20 频率 0.10 0.25 0.05 （1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图（用 第 5 页（共 24 页） 阴影表示） ； （2） 学校校招办决定从第4， 5组中用分层抽样的方法抽取10名考生进行自主招生面试， 从这 10 名考生中随机抽取 3 名考生接受考官 M 的面试，这 3 名考生中来自第 5 组的人 数记为 X，试求 X 的分布列和
9、数学期望 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过点（1，3 2） ， 且它的右焦点为 F（1，0） ，直线 1：ykx+1 与椭圆 C 有两个不同的交点 A，B （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M 在 y 轴上（M 不在 1 上） ，且满足1 2 = | |，其中 S1，S2 分别为OAM， OBM 的面积，求点 M 的坐标 21 （12 分）已知函数 f（x）xe2xa（2x+lnx） ，aR，e 为自然对数的底数 （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 ye2，求 a 的值； （2）若 x0为函数 f（x）
10、的极值点，且 f（x0）0，求证：(0)0 40 3 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 y 中，曲线 C1的参数方程为 = 2 + 2 = 2 （ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 4sin （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程 （2）已知曲线 C3是过坐标原点且倾斜角为 的直线，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的交点，且点 A，B 均异于坐标原点 O，| = 42，求 a 的值 23已知函数 f（x）|2x1|+|2x2|x3 （1
11、）在平面直角坐标系中作出函数 f（x）的图象 第 6 页（共 24 页） （2）设函数 f（x）的最小值为 m，若 a0，b0，c0，且 1 2 + 1 3 + 1 4 = | 3 ，求证： 2a+3b+4c9 第 7 页（共 24 页） 2020 年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科） （年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科） （3 月月 份）份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 题，每题题，每题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *|2+14+， = *| = 4 2+，则 AB（ ） A （
12、1，0 B （0，1） C （1，2 D0，2 【解答】解：集合 = *|2+14+， = *| = 4 2+， Ax|x1，By|0x2， ABx|1x2（1，2 故选：C 2 （5 分）已知函数 f（x）= 1 () ( ) ，则(1 ) =（ ） A1 Be C1 D1 【解答】解：根据题意，函数 f（x）= 1 () ( ) ，则有 f（1 ）= 1 1 =e， 则(1 ) =f（e）lne1； 故选：A 3 （5 分）已知 aR，命题 p：复数 a+（2a）i 在复平面内对应的点在第一象限内，命题 q： | + ( 4)| 10， 其中 i 是虚数单位， 若 pq 是真命题， 则 a
13、 的取值范围是 （ ） A （0，2） B1，3 C1，2） D （0，3） 【解答】解：命题 p：复数 a+（2a）i 在复平面内对应的点在第一象限内， 所以 0 2 0 ，整理得 0a2 命题 q：| + ( 4)| 10， 所以：2+ ( 4)2 10， 整理得 a24a+30，解得 1a3， 由于 pq 是真命题， 所以 02 1 3 ，整理得 1a2 第 8 页（共 24 页） 故选：C 4 （5 分）已知抛物线 x24y 的准线为 1，过点 P（0，2）的直线交抛物线于点 A，B，且 满足 = 2 ，则线段 AB 的中点到准线 1 的距离为（ ） A7 2 B3 C5 2 D2 【
14、解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，不妨 x1x2， 由题意直线经过（0，2） ，直线方程设为 ykx+2，与抛物线方程联立，消去 y 可得：x2 4kx80， x1+x24k，x1x28，过点 P（0，2）的直线交抛物线于点 A，B，且满足 = 2 ， 可得 x12x2，所以 A（4，4）B（2，1） ，AB 的中点的纵坐标 y= 5 2， 抛物线的直线方程：y1， 线段 AB 的中点到准线 1 的距离为：7 2 故选：A 5 （5 分）已知函数() = ( + )(0，0，| 2)的部分图象如图所示，则 ( 6) =（ ） A 1 2 B1 C1 2 D 3 2 【解答】
15、解：根据图象得到：A2，3 4 = 11 12 6 = 3 4 ， T， 2 =， 2， f（x）2sin（2x+） ， 第 9 页（共 24 页） 将点（ 6，2）代入，得到 2sin（ 3 +）2，又| 2， = 6， f（x）2sin（2x+ 6） ( 6) =2sin2（ 6）+ 61 故选：B 6 （5 分）如图，四边形 ABCD 中，ABBC，AB= 3，BC2CD2，点 E 是 BC 的中点， BCD120，则 的值为（ ） A1 2 B1 C3 2 D1 【解答】解：由图可得 = + = + 1 2 ， = + ， 所以 =（ + 1 2 ） （ + ）= + + 1 2 2+
16、1 2 ， 因为 ABBC， 所以 =0， 且由条件可得 与 夹角为 150， 与 夹角为 60， 则 = + 1 2 2+1 2 = 3 1cos150+ 1 2 22+ 1 2 21cos60 = 3 2 +2+ 1 2 =1， 故选：B 7 （5 分）为计算 = 1 1 2 + 1 3 1 4 + + 1 99 1 100设计了如图所示的程序框图，则在空白 框中应填（ ） 第 10 页（共 24 页） Ai100 Bi101 Ci99 Di101 【解答】解：模拟程序的运行，可得： N0，T0，i1 不满足判断框内的条件，执行循环体，N1，T= 1 2，i3 不满足判断框内的条件，执行循
17、环体，N1+ 1 3，T= 1 2 + 1 4，i5 不满足判断框内的条件，执行循环体，N1+ 1 3 + 1 5，T= 1 2 + 1 4 + 1 6，i7 观察规律可知： i99 时， 不满足判断框内的条件， 执行循环体， N1+ 1 3 + 1 5 + + 1 99， T= 1 2 + 1 4 + 1 6 + + 1 100，i101 此时， 应该满足判断框内的条件， 退出循环， 输出 = 1 1 2 + 1 3 1 4 + + 1 99 1 100的值 所以判断框中的条件应是 i101？ 故选：D 8 （5 分） 已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的各条棱中最长棱的长度为 （
18、） 第 11 页（共 24 页） A4 B5 C13 D26 【解答】解：三视图还原原图是一个侧面垂直于底的三棱锥，记为 ABCD； 如图：过点 A 作 AEBD 与 E，过点 C 作 CFBD 与 F，连接 CE，AF； 由三视图可得：AE4，BD4，BE3，ED1，BF2，FD2，CF3； CE2CF2+FE29+110； AC2CE2+AE210+1626； AB2BE2+AE29+1625； AD2AE2+DE216+117； BC2DC2FD2+CF222+3213； 所以最长棱为 AC；其长为26 故选：D 9 （5 分）某公园内有一个半径为 60 米的圆形池塘，池塘内有美丽的荷花
19、与锦鲤，为了方 便游客观赏，公园负责人打算在池塘上搭建一个“工”字形的木桥（如图） ，其中 AB CD， E， F 分别为 AB， CD 的中点， 圆心 O 为 EF 的中点， 则木桥的长度最长可以为 （ ） 第 12 页（共 24 页） A1202米 B2405米 C1205米 D2402米 【解答】解：连接 OA，则 OAr60m，设AOE， (0， 2)，由题意可得 AE rsin60sin，OErcos60cos， 而 ABCD2AE，EF2OE， 所以木桥的长度 AB+CD+EF4AE+2OE240sin+120cos1205sin （+） ， tan= 1 2， 所以木桥的长度 1
20、205，当 sin（+）1 时，取等号 故选：C 10 （5 分）设函数() = + 1 (2+1)，则使得 f（2x+1）f（x2）成立的 x 的 取值范围是（ ） A(3， 1 2) ( 1 2， 1 3- B(4， 1 4) C(3， 1 2) ( 1 2， 1 3) D(3， 1 3) 【解答】解：函数() = + 1 (2+1)的定义域为x|x0， 且 f（x）e x+ex1 (1+2) =f（x） ，可得 f（x）为偶函数， 当 x0 时，ye x+ex 递增， y= 1 (1+2)在 x0 时递减， 即有 f（x）在（0，+）递增， 第 13 页（共 24 页） 则 f（2x+1
21、）f（x2）f（|2x+1|）f（|x2|） ， 由 f（x）在（0，+）递增，可得 0|2x+1|x2|， 即为（3x1） （x+3）0，且 x 1 2解得3x 1 3，且 x 1 2， 故选：C 11 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PBC平面 ABC，ABC90，AB2，BC1，PB 22，PBC45，则三棱锥 PABC 外接球的表面积是（ ） A16 B14 C20 D22 【解答】解：如图，取 AC 中点 E，则 E 为三角形 ABC 的外心， 在三角形 PBC 中，由 BC1，PB22，PBC45，由余弦定理可得 = 5， 设PBC 的外心为 F，分别过 E，F 作底面 A
22、BC 与侧面 PBC 的垂线，相交于 O， 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心， OFDE= 1 2AB1，设PBC 外接圆的半径为 r，则 5 45 = 5 2 2 = 2，即 r= 10 2 三棱锥 PABC 外接球的半径满足2= 2= 2+ 2= 1 + 5 2 = 7 2， 三棱锥 PABC 外接球的表面积是4 2= 4 7 2 = 14 故选：B 12 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2直线 1 过 左焦点 F1且与双曲线的左支交于 A，B 两点，若|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2
23、 B3 C2 D5 【解答】解：设 BF1x，因为|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则 AF13x，BF24x，所以 2aBF2BF14xx3x，AF22a+AF16x， 第 14 页（共 24 页） 在三角形AF1F2中，由余弦定理可得：cos AF1F2= 12+12222 2112 = 92+42362 232 = 42272 12 ， 在三角形 BF1F2中， 由余弦定理可得： cosBF1F2= 12+12222 2112 = 2+42162 22 = 42152 4 ， 又因为： ，所以4 2272 12 + 42152 4 =0， 整理可得：2c32， 所以离心率 e=
24、2 2 = 32 3 = 2， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）袋子里装有 5 个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球（大小、形状、质量完 全相同） ，某人从袋子中一次性取出 2 个小球，则取出的 2 个小球中含有红色小球的概率 为 2 5 【解答】解：袋子里装有 5 个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球（大小、形状、质 量完全相同） ， 某人从袋子中次性取出 2 个小球， 基本事件总数 n= 5 2 =10， 取出的 2 个小球中含有红色小球包含的基本事件个数 m= 1 141 =4， 则取出的 2
25、 个小球中含有红色小球的概率为 p= = 4 10 = 2 5 故答案为：2 5 第 15 页（共 24 页） 14 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 0， ， + 0， 且目标函数 z3x2y 的最大值 为 180，则实数 m 的值为 60 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，如图： 由 z3x2y 化简为 y= 3 2x 1 2z， 平移直线 y= 3 2x 1 2z， 由图象可知当直线 y= 3 2x 1 2z， 经过点 A（m，0）时， 直线 y= 3 2x 1 2z 的截距最小，此时 z 最大， zmax3m180， 解得：m60 故答案为：60 15 （5 分）若( +
26、 1 2 4 )展开式中前三项的系数成等差数列，且含 x 的项为 f（x） ，则 1 |()| = 2275 16 【解答】解：通项公式 Tk+1= ()( 1 2 4 )= 1 2 23 4 由题意可得：2 1 2 1=1+ 1 22 2，解得 n8 令163 4 =1，解得 k4 f（x）= 1 16 8 4x=35 8 x 第 16 页（共 24 页） 8 1 35 8 |x|dx= 35 8 （ 0 1 () + 8 0 ）= 35 8 （ 2 2 |1 0 + 2 2 |0 8）=2275 16 故答案为：2275 16 16 （5 分）若函数 f（x）ex（1a）xa（x+1）ln
27、（x+1）在定义域内单调，则实数 a 的取值集合为 1 【解答】解：函数的定义域为（1，+） ，f（x）ex（1a）aln（x+1）+1 ex1aln（x+1） ，注意到 f（0）0， 若 a0，则函数 f（x）在（1，+）上为增函数，则当 x（1，0）时，f（x） 0，当 x（0，+）时，f（x）0， 函数 f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，不符合题意，故 a 0； 显然，要使函数 f（x）在（1，+）单调，则需 ex1aln（x+1）0 在（1，+） 上恒成立， 令 g（x）ex1（x1） ，h（x）aln（x+1） （a0，x1） ，注意到 g（0）h（0） 0，
28、由 g（x）ex1 可得 g（x）ex，则 g（0）1，故函数 g（x）在点（0，0）处的 切线方程为 yx， 由 h（x）aln（x+1）可得() = +1，则 h（0）a，故函数 h（x）在点（0，0） 处的切线方程为 yax， 依题意，函数 g（x）与函数 h（x）有唯一的公切线，且切点为（0，0） ， 则 a1 故答案为：1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分） （一）必考题（共分） （一）必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，Snn2+n+a+1（aR） （1）若 a2，求数列an的通项公式； （2）若数列an是等差数列，b
29、n= +1 +1，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，若 a2，则 Snn2+n+3 当 n1 时，a1S112+1+35 当 n2 时，anSnSn1n2+n+3（n1）2+（n1）+32n 第 17 页（共 24 页） 数列an的通项公式为 an= 5， = 1 2， 2 （2）由题意，当 n1 时，a1S1a+3 当 n2 时，anSnSn1n2+n+a+1（n1）2+（n1）+a+12n an= + 3， = 1 2， 2 数列an是等差数列， 2a2a1+a3， 即 a+3+624，解得 a1 an2n，nN*；Snn2+n，nN* bn= +1 +1 = 2
30、(+1) ,(+1)2+(+1)- = 2 (+2) = 1 1 +2 则 Tnb1+b2+b3+b4+bn1+bn 1 1 3 + 1 2 1 4 + 1 3 1 5 + 1 4 1 6 + + 1 1 1 +1 + 1 1 +2 1+ 1 2 1 +1 1 +2 = 3 2 2+3 (+1)(+2) = 32+5 2(+1)(+2) 18 （12 分） 如图， 在四棱锥 POABC 中， 四边形 OABC 为直角梯形， ABOC， AOOC， 2AB2AOOCPO4，D 为 OC 的中点，E 为线段 PO 上的动点（不与端点重合） （1）问：E 在什么位置时，PB平面 ADE？ （2）若
31、PO平面 OABC，当 E 到平面 PBC 的距离为3时，求锐二面角 EBCP 的余 弦值 第 18 页（共 24 页） 【解答】解： （1）根据题意，ODAB2，且 ODAB， 则平行四边形 ODBA，连接 OB，交 AD 为 F， 因为 F 为 OB 的中点，当 E 为 OP 的中点时，EFPB， 则 PB平面 AED，EF平面 EAD， 故 PB平面 ADE，故 E 为 PO 的中点； （2）OP平面 OABC，BC平面 ABCO，所以 BCPO， 由 OB22，BC22，OC4，所以 OC2OB2+BC2， 所以 BCOB，所以 BC平面 POB， BCPB，PB2PA2+AB224，
32、 利用体积公式 VPEBCVEPBC， 得1 3 1 2 ，4 2 = 1 3 1 2 22 26 3， PE3， 由 BC平面 POB，BE平面 PEB，所以 BEBC， PBBC，故EBP 为所求二面角的平面角， EB= 2+ 2= 8 + 1 = 3，PB26， cosEBP= 9+249 2326 = 24 126 = 6 3 ， 故锐二面角 EBCP 的余弦值为 6 3 19 （12 分）清华大学中学生标准学术能力诊断性测试于 2018 年 11 月 2 日 3 日分线上和线 下同时进行，清华大学为了解 2019 届考生的学业水平，从线下考生中随机抽取 100 名考 生，对他们的成绩
33、（单位：分）进行统计分析，按成绩分组，得到频率分布表如表： 组号 1 2 3 4 5 分组 560，580） 580，600） 600，620） 620，640） 640，660 频数 10 25 20 5 第 19 页（共 24 页） 频率 0.10 0.40 0.25 0.05 （1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图（用 阴影表示） ； （2） 学校校招办决定从第4， 5组中用分层抽样的方法抽取10名考生进行自主招生面试， 从这 10 名考生中随机抽取 3 名考生接受考官 M 的面试，这 3 名考生中来自第 5 组的人 数记为 X，试求 X 的分布列和数学期
34、望 【解答】解： （1）根据频率分布直方图的应用，解得1000.440， 20 100 = 0.20 （2）根据已知条件，第一组的直方图的高为 0.005，第二组的直方图的高为 0.0125，第 三组的直方图的高为 0.02， 第四组的直方图的高为 0.01， 第五组的直方图的高为 0.0025 故直方图为： （3）根据分层抽样的方法得到：25：1020：x，解得第四组抽取 8 人， 25：105：y，解得第五组抽取 2 人 故：从这 10 名考生中随机抽取 3 名考生接受考官 M 的面试，这 3 名考生中来自第 5 组 第 20 页（共 24 页） 的人数记为 X， 则：X0，1，2 所以
35、P（X0）= 8 3 2 0 10 3 = 56 120 = 7 15 P（X1）= 8 2 2 1 10 3 = 7 15， P（X2）= 8 1 2 2 10 3 = 1 15， 故分布列为： P 0 1 2 X 7 15 7 15 1 15 所以 E（X）= 0 7 15 + 1 7 15 + 2 1 15 = 9 15 = 3 5 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过点（1，3 2） ， 且它的右焦点为 F（1，0） ，直线 1：ykx+1 与椭圆 C 有两个不同的交点 A，B （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M 在 y
36、轴上（M 不在 1 上） ，且满足1 2 = | |，其中 S1，S2 分别为OAM， OBM 的面积，求点 M 的坐标 【解答】解： （1）设椭圆的焦距为 2c，则 c1，由椭圆经过（1，3 2） ，则 2 = 3 2， 且 a2b2+c2，解得：a2， = 3， 所以椭圆 C 的方程： 2 4 + 2 3 = 1； （2）方法一：过点 A 作 APy 轴于点 P，过点 B 作 BQy 轴于点 Q，易得1 2 = | |， 因为1 2 = | |， 所以| | = | |，所以 RtAMPRtBMQ， 所以AMOBMO，即直线 AM 和直线 MB 的倾斜角互补， 第 21 页（共 24 页）
37、 所以其斜率之和为零， 当 k0 时，点 M 为 y 轴上除原点 O 和直线 l 与 y 轴的交点外的任意一点， 则1 1 + 2 2 = 0，所以 x2y1+x1y2m（x1+x2） ， 由 = + 1 2 4 + 2 3 = 1，得（4k 2+3）x2+8kx80， 则1+ 2= 8 42+3，12 = 8 42+3， 则 x2y1+x1y2x2（kx1+1）+x1（kx2+1）2kx1x2+（x1+x2）= 24 42+3， 所以 24 42+3 = 8 42+3，因为 k0，所以 m3， 所以点 M 的坐标为（0，3） ， 综上所述，点 M 的坐标为（0，3） 方法二：因为1 2 =
38、| |，其中 S1，S2 分别为OAM，OBM 的面积， 所以1 2 = 1 2| 1 2| = | |， 所以 sinOMAsinOMB， 直线 AM 和直线 MB 的倾斜角互补， 所以其斜率之和为零 下同方法一 21 （12 分）已知函数 f（x）xe2xa（2x+lnx） ，aR，e 为自然对数的底数 （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 ye2，求 a 的值； （2）若 x0为函数 f（x）的极值点，且 f（x0）0，求证：(0)0 40 3 【解答】解： （1）函数 f（x）xe2xa（2x+lnx） ，x（0，+） ， f（x）= 2+ 22 (2 + 1
39、) =（2x+1） （e 2x ） ， f（1）3（e2a） ，又 f（1）e22a， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y（e22a）3（e2a） （x1） ， 即 y3（e2a）x2e2+a， 3( 2 ) = 0 22+ = 2，解得：ae 2； （2）由（1）得，f（x）（2x+1） （e2x ） ，显然 2x+10， 令 g（x）e2x ，x（0，+） ， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，无极值，不符合题意， 第 22 页（共 24 页） 当 a0 时，g（x）2e 2 + 2 0，g（x）在（0，+）上单调递增， 取 b 满足 0bmi
40、n1 4， 2，则 2 ， 2， g（b）= 2 20，又 g（a）e2a10， 存在 x0（b，a） ，使得 g（x0）= 20 0 =0，此时 a= 020， 当 x（0，x0） 时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（x0，+） 时， g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增， x0为函数 f （x） 的极小值点， 且 f （x0） = 020 020(20+ 0) = 020(1 20 0)0，12x0lnx00， 令 h（x）12xlnx，则 h（x）2 1 0， h（x）在（0，+）上单调递减，又 h（1 2）ln20，h（1）10，0x01， lnx00， 令 t（x）ex（x+1） ，则 t（x）ex1， t（x）在（0，+）上单调递增，t（x）t（0）0，即 exx+1， f（x0）= 020(1 20 0)x0（2x0+1） （12x0）= 0(1 402) = 0 4
