1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年陕西省高考数学一模试卷（理科）年陕西省高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设43zi，则在复平面内 1 z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 2 |450Ax xx， 2 |0 3 x Bx x ，则(AB ) A( 2,3) B 2，3 C 2，3) D 3 （5 分）已知函数 2 2 (
2、)log1f xx，则( )(f x ) A是奇函数，在区间(0,)上单调递减 B是非奇非偶函数，在区间(0,)上单调递减 C是偶函数，在区间(,0)上单调递增 D是偶函数，在区间(,0)上单调递减 4 （5 分） 算法统宗全称新编直指算法统宗 ，是中国古代数学名著，程大位著书中 有如下问题： “今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱问：次第均之，乙丙 丁各该若干？”意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项 差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于 10 钱）( ) A乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B乙分 8 两 2
3、钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则f（3）f（6）( ) 第 2 页（共 20 页） A45 B35 C147 D75 6（5 分） 某校的书法绘画， 乐器演奏， 武术爱好三个兴趣小组的人数分别为 600， 400， 300， 若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了 6 名学生，则n的 值为( ) A20 B22 C23 D26 7 （5 分）设 0.1 3a ， 0.3 log0.5b ， 6 log 0.3c ，则a
4、，b，c的大小关系是( ) Aabc Bcba Ccab Dbca 8 （5 分）在 6 (2) (1)mxy的展开式中，令 3 x y的系数为 800，则含 4 xy项的系数为( ) A30 B960 C300 D360 9 （5 分）已知抛物线 2 4yx 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，直 线4x 与MO，NO的延长线交于P，Q两点，则:( MONPOQ SS ) A 1 8 B 1 9 C 1 12 D 1 16 10 （5 分）将函数sin2yx的图象向左平移 5 12 个单位长度，得到函数( )yf x 的图象， 则下列说法正确的是( ) 函数( )yf x 的图象
5、关于直线 6 x 对称； 函数( )yf x 的图象关于点(,0) 3 对称； 函数( )yf x 的图象在区间(,) 6 6 上单调递减； 第 3 页（共 20 页） 函数( )yf x 的图象在区间 2 (,) 63 上单调递增 A B C D( 11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若该儿何体的体积为10 3 ，则棱长为a的正方体的 外接球的表面积为( ) A12 B14 C4 3 D16 12（5 分） 已知函数 32 13 ( )1 32 f xxxbx在1x 处有极值， 设函数 2 3 ( )( )() 2 F xf xax， 且( )F x在区间(2,3)内不单调，则a的取值
6、范围为( ) A 3 11 ( ,) 2 3 B 3 11 ( ,) 2 6 C 3 11 ( ,) 4 3 D 3 8 ( , ) 2 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知(3,1)a ， 2 ( 4,23)bt ，若9a b ，则cosa，b 14 （5 分）函数( )f xxlnxa的图象在1x 处的切线被圆 22 :2440C xyxy截 得弦长为 2，则实数a的值为 15 （5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上存在两点A，B关于直线8yx对称， 且线段AB的中点在
7、直线2140xy上，则双曲线的离心率为 16 （5 分）已知数列 n a满足 1 1,log(2) n nbn aac n，当2n时， n bn，且点( n b，) n c是 直线1yx上的点， 则数列 n a的通项公式为 ； 令 123k y a a aa， 则当k在区间1， 2019内时，使y的值为正整数的所有k值之和为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 第 4 页（共 20 页） 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作
8、答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）如图，在ABC中， 3 3 sin 14 BAD， 1 cos 7 ADC，7AD ，8AC ，D 在BC边上，连接AD （）求角B的大小； （）求ACD的面积 18 （12 分）2019 年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与 韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的 比赛中他们五人获胜的概率分别是 0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立赛会 釆用 5 局 3 胜制，先赢 3 局者获得胜利 （）在决赛中，中
9、国队以3:1获胜的概率是多少？ （）求比赛局数的分布列及数学期望 19 （12 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADC为直角，AP 平面 ABCD，:5:4:2BC AD CD ，且1CD （）求证：BPAC； （）若APCD，求二面角DPCB的余弦值 20 （12 分）已知函数( )f xlnx， 2 11 ( ) 22 g xx 第 5 页（共 20 页） （）证明：当1x 时，( )( )f xg x； （）存在 0 1x ，使得当 0 (1,)xx时恒有( )( )(1)(1)f xg xkx成立，试确定k的取值 范围 21 （12 分）设椭圆C的方程为 22 22 1
10、(0) xy ab ab ，O为坐标原点，A为椭团的上顶点， ( 2,0)B为其右焦点，D是线段AB的中点，且ODAB （）求椭圆C的方程； （）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P，Q两点，分别作PEx轴，QFx 轴，垂足分别为E，F，连接QE，PF并延长交椭圆C于点M，N两点 （）判断PQM的形状； （）求四边形PMQN面积的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分，作答时，请用第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答
11、题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为 1 , 1 ( 1 t x t t t y t 为参数） 以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3sin （）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数( ) | 2|1|f xxax （）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （）若( )f x的最大值为 3，求a的值 第 6 页（
12、共 20 页） 2020 年陕西省高考数学一模试卷（理科）年陕西省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设43zi，则在复平面内 1 z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由题意得43zi， 所以 1143 43(43 )(43 ) i ziii ， 43 25 i ， 因此在复平面内对应的点 43 (,) 2
13、5 25 位于第一象限， 故选：A 2 （5 分）已知集合 2 |450Ax xx， 2 |0 3 x Bx x ，则(AB ) A( 2,3) B 2，3 C 2，3) D 【解答】解： 22 45(2)10xxx ，集合AR，且 | 23Bxx， 2AB ，3) 故选：C 3 （5 分）已知函数 2 2 ( )log1f xx，则( )(f x ) A是奇函数，在区间(0,)上单调递减 B是非奇非偶函数，在区间(0,)上单调递减 C是偶函数，在区间(,0)上单调递增 D是偶函数，在区间(,0)上单调递减 【解答】解：因为， 2 22 ( )11log |f xlogxx ， 所以( )f
14、x为偶函数， 根据对数函数的性质可知，( )f x在(,0)上单调递减，(0,)上单调递增， 故选：D 4 （5 分） 算法统宗全称新编直指算法统宗 ，是中国古代数学名著，程大位著书中 第 7 页（共 20 页） 有如下问题： “今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱问：次第均之，乙丙 丁各该若干？”意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项 差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于 10 钱）( ) A乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C乙分 9 两 2 钱，丙分
15、 8 两，丁分 6 两 8 钱 D乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两 【解答】 解： 由题意可得甲、 乙、 丙、 丁、 戊所得钱数成等差数列 n a， 设公差为d， 则 1 10.4a ， 5 5.6a ， 所以 51 45.6aad，即10.445.6d， 解得1.2d ，可得 21 10.41.29.2aad； 31 210.41.228aad； 41 310.41.236.8aad， 所以乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱， 故选：C 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则f（3）f（6）( ) A45 B35 C147 D75 【解答】解：由题得 2 5,
16、6, ( ) (2),6, xx f x f xx 第 8 页（共 20 页） 所以f（3）f（6）f（7）f（6） 22 7565443175， 故选：D 6（5 分） 某校的书法绘画， 乐器演奏， 武术爱好三个兴趣小组的人数分别为 600， 400， 300， 若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了 6 名学生，则n的 值为( ) A20 B22 C23 D26 【解答】解：由分层抽样的定义可得 6300 600400300n ，解得26n ， 故选：D 7 （5 分）设 0.1 3a ， 0.3 log0.5b ， 6 log 0.3c ，则a，b，c的大小关系
17、是( ) Aabc Bcba Ccab Dbca 【解答】解： 0.10 331a ，1a； 0.30.30.3 log1log0.5log0.31b，01b； 55 log 0.3log 10c ，0c ， abc， 故选：B 8 （5 分）在 6 (2) (1)mxy的展开式中，令 3 x y的系数为 800，则含 4 xy项的系数为( ) A30 B960 C300 D360 【解答】解：由题意可知 331 6 2800 m CC， 即160800m ， 解得5m ， 所以含 4 xy项的系数为 154 65 26325960CC， 故选：B 9 （5 分）已知抛物线 2 4yx 的焦点
18、为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，直 线4x 与MO，NO的延长线交于P，Q两点，则:( MONPOQ SS ) A 1 8 B 1 9 C 1 12 D 1 16 【解答】解：本题考查抛物线的几何性质当直线l垂直于x轴时，MON与POQ相似， 第 9 页（共 20 页） 所以 2 |1 () 416 MON POQ SOF S ； 当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为(1)yk x， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，(4,) P Py，(4,) Q Qy 联立 2 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk， 224 (24)40
19、kk，所以 12 1x x ， 所以 12 1 | |sin | | |1 2 1 | |4416 | |sin 2 MON POQ MONOMON SxxMONO SPOQO POQOPOQ 综上， 1 16 MON POQ S S ， 故选：D 10 （5 分）将函数sin2yx的图象向左平移 5 12 个单位长度，得到函数( )yf x 的图象， 则下列说法正确的是( ) 函数( )yf x 的图象关于直线 6 x 对称； 函数( )yf x 的图象关于点(,0) 3 对称； 函数( )yf x 的图象在区间(,) 6 6 上单调递减； 函数( )yf x 的图象在区间 2 (,) 63
20、 上单调递增 A B C D( 【解答】 解： 由题意可知 55 ( )sin2()sin(2)sin(2)cos(2) 126323 f xxxxx ， 令2 3 xk ，kZ，求得, 26 k xkZ ，可得 函数( )f x的图象的对称轴为直线 , 26 k xkZ ，故正确； 令2 32 xk ，kZ，求得 212 k x ，可得 函数( )f x的图象的对称中心为点 (,0) 212 k ，kZ，不正确； 在区间(,) 6 6 上， 2 2(0,) 33 x ，函数( )f x单调性递减，故正确； 第 10 页（共 20 页） 在区间 2 (,) 63 上，2( 3 x 2 3 ，
21、5 ) 3 ，函数( )f x没有单调性，故错误， 故选：C 11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，若该儿何体的体积为10 3 ，则棱长为a的正方体的 外接球的表面积为( ) A12 B14 C4 3 D16 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 知 该 几 何 体 的 直 观 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 111 1 3 510 123 BABCBACC A VVVa ，解得2a ， 则正方体的棱长为 2，则其外接球的直径 2 2322 3r ， 所以棱长为 2 的正方体外接球的表面积 22 44( 3)12Sr， 故选：A 12（5 分） 已知函数 32 1
22、3 ( )1 32 f xxxbx在1x 处有极值， 设函数 2 3 ( )( )() 2 F xf xax， 且( )F x在区间(2,3)内不单调，则a的取值范围为( ) 第 11 页（共 20 页） A 3 11 ( ,) 2 3 B 3 11 ( ,) 2 6 C 3 11 ( ,) 4 3 D 3 8 ( , ) 2 3 【解答】解： 2 ( )3fxxxb，且在1x 处( )f x有极值， f （1）0，即130b，解得2b ， 32 13 ( )21 32 f xxxx， 232 31 ( )( )()21 23 F xf xaxxaxx， 2 ( )22F xxax， ( )F
23、 x在(2,3)内不单调， 有 2, (2)0, (3)0 a F F 或 3, (2)0, (3)0 a F F 或 23, 0, 2030 a FF 或 ， 解得 311 26 a；解得无解；解得无解， a的取值范围为 3 11 ( ,) 2 6 ， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知(3,1)a ， 2 ( 4,23)bt ，若9a b ，则cosa，b 9 10 50 【解答】解：由9a b 得 2 12239t ，解得0t ， 所以(3,1)a ，( 4,3)b ， 所以 22 |3110,
24、|1635ab ， 所以 99 10 cos, |505 10 a b a b a b 故答案为： 9 10 50 14 （5 分）函数( )f xxlnxa的图象在1x 处的切线被圆 22 :2440C xyxy截 得弦长为 2，则实数a的值为 6或 2 【解答】解： 111 ( ) 2 fxlnx xx ， 由题可知切线的斜率k f （1）1 又f（1）a，所以切点坐标为(1, )a， 所以函数( )f xxlnxa的图象在1x 处的切线方程为1yxa 第 12 页（共 20 页） 又因为圆 22 :2440C xyxy的圆心坐标为(1, 2)，半径为 3， 所以圆心到切线的距离 |2|
25、2 a d 因为切线被圆 22 :2440C xyxy截得弦长为 2， 则 222 |2| ()13 2 a ， 解得6a 或 2 故答案为：6或 2 15 （5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上存在两点A，B关于直线8yx对称， 且线段AB的中点在直线2140xy上，则双曲线的离心率为 2 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，线段AB的中点C的坐标为 0 (x， 0) y， 则有 22 11 22 22 22 22 120 120 1, 1, 2, 2 xy ab xy ab xxx yyy 由得 2 21212121 2
26、 ()()()() a xxxxyyyy b 21 0xx， 2 2121 2 2121 yyyyb xxxxa ， 2 0 2 0 AB yb k xa 1 AB k ， 2 00 2 b yx a ，又 00 8yx， 0 2 2 0 2 2 8 , 1 8 8 1 x b a y b a 又点C在直线2140xy上， 22 22 88 2(8)140 11 bb aa ， 2 2 14 b a ， 2 2 3 b a ， 2 4e，2e ， 即双曲线的离心率为 2 故答案为：2 16 （5 分）已知数列 n a满足 1 1,log(2) n nbn aac n，当2n时， n bn，且点
27、( n b，) n c是 第 13 页（共 20 页） 直 线1yx上 的 点 ， 则 数 列 n a的 通 项 公 式 为 1,1, log (1),2 n n n a nn ； 令 123k yaaaa， 则当k在区间1，2019内时， 使y的值为正整数的所有k值之和为 【解答】解：因为当2n时， n bn，且点( n b，) n c是直线1yx上的点，所以当2n时， 有log (1)(2) nn ann，所以 1,1, log (1),2, n n n a nn 所以 232 34log(1)(1) 1 log 3log 4log (1)1log (1) 232 k lglgklg k
28、ykk lglglgklg ， 令 2 log (1)kn得12nk ，所以21 n k ， 所 以 当k在1，2019内 时 ， 使y的 值 为 正 整 数 的 所 有k值 之 和 为 10 12101210 2(12 ) (21)(21)(21)(222 )10102036 12 故答案为： 1,1, log (1),2 n n n a nn ；2036 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据
29、要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）如图，在ABC中， 3 3 sin 14 BAD， 1 cos 7 ADC，7AD ，8AC ，D 在BC边上，连接AD （）求角B的大小； （）求ACD的面积 【解答】解： （） 3 3 sin 14 BAD， 1 cos 7 ADC， 134 3 cos,sin 147 BADADC， 第 14 页（共 20 页） 4 31313 33 sinsin()sincoscossin 7147142 ABDADCBADADCBADADCBAD 由题图可知0 2 B ， 3 B （）在ACD中
30、，由余弦定理得 222 2cosACADCDAD CDADC， 2 1 644927 7 CDCD ， 解得5CD ， 114 3 sin7510 3 227 ACD SADCDADC 18 （12 分）2019 年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与 韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的 比赛中他们五人获胜的概率分别是 0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立赛会 釆用 5 局 3 胜制，先赢 3 局者获得胜利 （）在决赛中，中国队以3:1获胜的概率是多少？ （）求比赛局数的分布列及数学期望 【解答】解
31、： （）若中国队以3:1获胜，则前三局中赢两局输局，第四局比赛胜利，设中 国队以3:1获胜为事件A， 则 12 3 ( )0.20.80.750.288P AC （）设比赛局数为X， 则X的取值分别为 3，4，5， 则 33 (3)0.80.20.520P X ， 1212 33 (4)0.20.80.750.20.80.250.312P XCC， (5)1(3)(4)0.168P XP XP X ， 则X的的分布列为 X 3 4 5 P 0.520 0.312 0.168 （10 分）()3 0.5204 0.3125 0.1683.648E X 19 （12 分）如图，已知四棱锥PABCD
32、的底面为直角梯形，ADC为直角，AP 平面 ABCD，:5:4:2BC AD CD ，且1CD 第 15 页（共 20 页） （）求证：BPAC； （）若APCD，求二面角DPCB的余弦值 【解答】解： （）证明：AP 平面ABCD， （1 分）AC 平面ABCD，APAC :5:4:2BC AD CD ，且1CD ， 5 2, 2 ADBC， 5 5, 2 ACAB， 222 BCACAB，即ACAB 又APABA，AC 平面ABP 又BP 平面ABP，BPAC （）如图，过点A作AF垂直BC于点F，由（）知，APAD 又APAF，AFAD，AP，AD，AF两两垂直， 以A为坐标原点，AF，
33、AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标 系Axyz， 则 1 (0,0,1), (0,0,0), (1,0),(1,2,0),(0,2,0) 2 PABCD， 5 (0,0),( 1, 2,1),(1,0,0) 2 BCCPDC 设平面BPC的法向量(nx，y，) z， 则 0 20 n DCx n CPxyz ，取经理，得(1n ，0，1) 设平面DPC的法向量 1 (mx， 1 y， 1) z， 由 0 0 DC m CP m ，得 1 111 0, 20, x xyz 取1y ，得(0m ，1，2) 第 16 页（共 20 页） 设二面角DPCB的平面角为，由图可知二
34、面角DPCB为钝角， 则 |10 cos | |5 n m nm ， 二面角DPCB的余弦值为 10 5 20 （12 分）已知函数( )f xlnx， 2 11 ( ) 22 g xx （）证明：当1x 时，( )( )f xg x； （）存在 0 1x ，使得当 0 (1,)xx时恒有( )( )(1)(1)f xg xkx成立，试确定k的取值 范围 【解答】解： （）证明：由题意知( )f x的定义域为(0,)，( )g x的定义域为(,) ， 令 2 11 ( )( )( )(0) 22 F xf xg xlnxxx， 所以 2 11 ( ) x F xx xx ， 当(1,)x时，(
35、 )0F x， 所以( )F x在(1,)上单调递减， 故当1x 时，( )F xF（1）0， 即当1x 时，( )( )f xg x成立 （）由（）知，当1x 时，( )( )0f xg x， 所以当1k时，不存在 0 1x 满足题意； 当1k 时， 令 2 11 ( )( )( )(1)(1) 22 xf xg xkxlnxxxkxk， 第 17 页（共 20 页） 所以 22 11(1)1 ( )1 xxkxxk x xxk xxx ， 令( )0x得 2 (1)10xk x ， 所以 2 1 1(1)4 0 2 kk x （舍去） ， 2 2 1(1)4 2 kk x ， 因为1k ，
36、所以 2 1x ， 所以当 2 (1,)xx时，( )0x， 所以( ) x在 2 (1,)x上单调递增， 所以当 2 (1,)xx时，( ) x（1）0， 即( )( )(1)(1)f xg xkx成立 综上，k的取值范围为(,1) 21 （12 分）设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，O为坐标原点，A为椭团的上顶点， ( 2,0)B为其右焦点，D是线段AB的中点，且ODAB （）求椭圆C的方程； （）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P，Q两点，分别作PEx轴，QFx 轴，垂足分别为E，F，连接QE，PF并延长交椭圆C于点M，N两点 （）判断PQM的形状； （）
37、求四边形PMQN面积的最大值 【解答】解： （）设椭圆的半焦距为c 由题意可得ODAB，D为AB的中点， ,2bc c， （2 分） 22 2bc， 222 4abc， 椭圆的方程为 22 1 42 xy ； （）( ) i设直线PQ的方程为(0)ykx k，且点P在第一象限， 联立 22 24, , xy ykx 消去y得 22 (21)4kx， 显然0， 第 18 页（共 20 页） 2 22 44 (,) 2121 k P kk ， 2 22 44 (,) 2121 k Q kk 又PEx轴， 2 4 (,0) 21 E k ， 2 2 2 4 21 24 2 21 EQ k k k k
38、 k ， 直线EQ的方程为 2 22 4 () 221221 kkk yxx kk ， 联立 2 2 22 , 221 24, kk yx k xy 消去y得 222 2 2 2 22 (1)40 221 21 kkk xx k k ， 222 2 2 2 22 ()4(1)(4)0 221 21 kkk k k ， 2 2 2 64 (21)(1) 2 OM k x x k k 2 2 21 Q x k ， 2 2 2 32 21(1) 2 M k x k k ， 2 2 2 2 32 2 21 21(1) 2 M kkk y k k k ， 22 261 62 MP PM MP yykk
39、k xxkkk ， 1 ()1 PMPQ kkk k ， 即PQM为直角三角形， （）根据图形的对称性可知，四边形PMQN面积是PQM面积的 2 倍， 由（）知PQM为直角三角形，且PQPM， 1 | 2 PQM SPQPM 又 2 22 22 441 |1|1 2121 PQ k PQkxxk kk ， 22 2 22 2 112 |()1| 21 (1) 2 PM kk PMxx kkk k ， 第 19 页（共 20 页） 2223 22242 2 2 1 4(1)(1) 888 1 (21)(2)252 2()1 (21)(1) 2 POM k kkkkkk k S kkkkk k k
40、k k 令 1 kt k ，0k ，2t ， 1 8 1 2 PQM S t t ， 即当2t 时， PQM S最大，此时 PNQM S四边形的面积也达到最大， 由对称性可知 PQNPQM SS ， 故当1k 时， PNQM S四边形最大， 1632 ()2 99 maxPQNPQMPNQM SSS 四边形 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分，作答时，请用第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选
41、修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为 1 , 1 ( 1 t x t t t y t 为参数） 以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3sin （）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标 【解答】解： （）由 1(1)22 1, 111 ( (1)11 1 111 tt x ttt t tt y ttt 为参数） ，得1x 消去参数t，得l的普通方程为210(1)xyx ； 将 2 2 12 3sin 去分母得 222 3si
42、n12， 将siny， 222 xy代入， 得 22 1 43 xy ， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 1 43 xy （）由（）可设曲线C的参数方程为 2cos , ( 3sin x y 为参数） ， 第 20 页（共 20 页） 则曲线C上的点到l的距离 22 |4cos()1| |2cos2 3sin1| 3 5 1( 2) d ， 当cos()1 3 ，即2, 3 kkZ 时， 5 5 5 max d， 此时， 2cos(2)1, 3 () 3 3sin(2) 32 xk kZ yk ， 所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为5，该点坐标为 3 (1,) 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数( ) | 2|1|f xxax （）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （）若( )f x的最大值为 3，求a的值 【解答】解：
