1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中只有一在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）若向量 =（4，2） ， =（6，k） ，则 的充要条件是（ ） Ak12 Bk12 Ck3 Dk3 3 （5 分）在 30
2、名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 n 人参加新闻发布会， 若抽取的 n 人中教练员只有 1 人，则 n（ ） A5 B6 C7 D8 4 （5 分）已知直线 a，b，l，平面 ，下列结论中正确的是（ ） A若 a，b，la，lb，则 l B若 a，ba，则 b C若 ，a，则 a D若 ，l，则 l 5 （5 分）若 a0.30.2，blog0.12，c0.3 0.1，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acab Bbac Cacb Dbca 6 （5 分）二次项( + 1 ) 6的展开式中常数项为（ ） A5 B10 C15 D20 7 （5 分）已知直线 yx+3 与圆 x
3、2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，则|AB|（ ） A 6 2 B3 C6 D2 8 （5 分）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱 实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽 （长方体去掉一个小长方体） 组成 若棱台两底面面积分别是 400cm2， 900cm2， 高为 9cm， 长方体形凹槽的体积为 4300cm3，斗的密度是 0.70g/cm3那么这个斗的质量是（ ） 注：台体体积公式是 = 1 3( + + ) 第 2 页（共 17 页） A3990g B3010g C7000g D6300g 9 （5 分）若
4、实数 x，y 满足 0， 1， + 5 + 1 0. ，则 2xy 的最大值为（ ） A2 B0 C7 D9 10 （5 分）已知函数() = 1 2 2+ 2 + 在区间（0，+）上为增函数，则实数 a 的 取值范围是（ ） A0，1 B0，+） C （1，+） D （1，1） 11 （5 分）已知 A 是双曲线 D：2 2 35 = 1右支上一点，B、C 分别是双曲线 D 的左、右 焦点记ABC 的内角为 A，B，C，当|AC|8 时，2 =（ ） A1 B2 C3 D2 12 （5 分）过抛物线 C：y24x 焦点的直线交该抛物线 C 于点 A，B，与抛物线 C 的准线交 于点 P，如图
5、所示，则 的最小值是（ ） A8 B12 C16 D18 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 已知随机变量 y 与 x 有相关关系 = 2 + 1， 当 x3 时， y 的预报值为 14 （5 分）复数 3 2:的实部为 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+）(0，0 2)图象的相邻两条对称轴的距 第 3 页（共 17 页） 离为 2，且( 12) = 2，则( 8) = 16 （5 分）f（x）是定义域为 R 的偶函数，对xR，都有 f（x+4）f（x） ，当 0x2 时，() = 2 1，0 1，
6、 2 + 1，1 2，则( 9 2) + (21) = 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD底面 ABCD，点 E 是 PC 的 中点 （1）求证：PA平面 EDB； （2）若 PDAD2，求二面角 CEDB 的余弦值 18我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活
7、水平不断提高，某市随机统计了城 区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P 元）的情况，并根 据统计数据制成如下频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值； （2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取 3 次，每次抽取 1 户，每次 抽取相互独立， 设 为抽出 3 户中 P 值不低于 65 元的户数， 求 的分布列和期望 E （） 19已知数列an满足 a11，:1 2( + 1)= 2+ ( ) （1）求证：数列* + 1+为等比数列： 第 4 页（共 17 页） （2）求数列an的前 n 项和 Sn 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =
8、 1(0)过点(1， 2 2 )，且以 F1（c，0） ，F2（c，0） （c 0）为焦点，椭圆 C 的离心率为 2 2 （1）求实数 c 的值； （2）过左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 B、D 两点，O 为坐标原点，问椭圆 C 上是 否存在点 P，使线段 BD 和线段 OP 相互平分？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说 明理由 21已知 f（x）（xm）ex （1）当 m2 时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在区间（1，0）上有极小值点，且总存在实数 m，使函数 f（x）的 极小值与 2:2 2(:1) 互为相反数，求实数 a
9、的取值范围 22在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖 国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型 曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图 中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin（p1sin，0） ，M 为 该曲线上的任意一点 （1）当| = 3 2时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2与该曲线相交于点 N，求|MN|的最大值 23已知函数 f（x）|x+1|+2|x1| （1）求不等式 f（x）x+5 的解集 （2）若|x1x2|1
10、，求证：f（x1+x2）+f（2x2）3 第 5 页（共 17 页） 2020 年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中只有一在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，
11、2 故选：B 2 （5 分）若向量 =（4，2） ， =（6，k） ，则 的充要条件是（ ） Ak12 Bk12 Ck3 Dk3 【解答】解：由向量 =（x1，y1） ，向量 =（x2，y2） ，他们平行的充要条件是：x1y2 x2y1 则有若向量 =（4，2） ， =（6，k） ， 则 的充要条件是：4k26， 即 k3， 故选：D 3 （5 分）在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 n 人参加新闻发布会， 若抽取的 n 人中教练员只有 1 人，则 n（ ） A5 B6 C7 D8 【解答】解：在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 n 人参加新闻发
12、布 会， 若抽取的 n 人中教练员只有 1 人，则1 6 = 30:6， 求得 n6， 故选：B 4 （5 分）已知直线 a，b，l，平面 ，下列结论中正确的是（ ） A若 a，b，la，lb，则 l 第 6 页（共 17 页） B若 a，ba，则 b C若 ，a，则 a D若 ，l，则 l 【解答】 解： A 错， 直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面， 缺少条件直线 a， b 相交； B 错，平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面，缺少条件 b； C 错，两个平面垂直，一个平面内的直线可能平行，相交，垂直于另外一个平面 D 对，直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另外一个平面 故
13、选：D 5 （5 分）若 a0.30.2，blog0.12，c0.3 0.1，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acab Bbac Cacb Dbca 【解答】解：y0.3x是单调递减函数； 0a0.30.20.30.1c0.301， 又因为 blog0.12log0.110， a，b，c 的大小关系为 bac 故选：A 6 （5 分）二次项( + 1 ) 6的展开式中常数项为（ ） A5 B10 C15 D20 【解答】解：利用二次项定理的通项公式，求得二次项( + 1 ) 6的展开式通项公式为 :1= 6 6;(1 ) = 6 6;2， 令 62r0，求得 r3，可得常数项为 4= 6
14、3 = 20， 故选：D 7 （5 分）已知直线 yx+3 与圆 x2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，则|AB|（ ） A 6 2 B3 C6 D2 【解答】解：由 x2+y22x2y0，得（x1）2+（y1）22 圆 x2+y22x2y0 的圆心坐标为（1，1） ，半径为2 圆心到直线 x+y30 的距离 d= |1+13| 2 = 2 2 ， |AB|= 2(2)2 ( 2 2 )2= 6 故选：C 第 7 页（共 17 页） 8 （5 分）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱 实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体
15、形凹槽 （长方体去掉一个小长方体） 组成 若棱台两底面面积分别是 400cm2， 900cm2， 高为 9cm， 长方体形凹槽的体积为 4300cm3，斗的密度是 0.70g/cm3那么这个斗的质量是（ ） 注：台体体积公式是 = 1 3( + + ) A3990g B3010g C7000g D6300g 【解答】解：依题意，台= 1 3 (400 + 900 + 400 900) 9 = 5700，又长方体形凹 槽的体积为 4300， 故“斗”的体积为 10000cm3， 其质量为 100000.77000g 故选：C 9 （5 分）若实数 x，y 满足 0， 1， + 5 + 1 0.
16、，则 2xy 的最大值为（ ） A2 B0 C7 D9 【解答】解：实数 x，y 满足 0， 1， + 5 + 1 0. 的可行域如图所示： 联立 = 1 + 5 + 1 = 0，解得 A（4，1） 化目标函数 z2xy 为 y2xz， 由图可知，当直线 y2xz 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 24+19 故选：D 第 8 页（共 17 页） 10 （5 分）已知函数() = 1 2 2+ 2 + 在区间（0，+）上为增函数，则实数 a 的 取值范围是（ ） A0，1 B0，+） C （1，+） D （1，1） 【解答】解：函数() = 1 2 2 + 2 + 在区
17、间（0，+）上为增函数， f（x）0 在区间（0，+）上恒成立， ax+2a+ 1 0 在区间（0，+）上恒成立， a 1 2+2在区间（0，+）上恒成立， yx2+2x 在区间（0，+）上单调递增，x2+2x0， 1 2+2 0， a0， 故选：B 11 （5 分）已知 A 是双曲线 D：2 2 35 = 1右支上一点，B、C 分别是双曲线 D 的左、右 焦点记ABC 的内角为 A，B，C，当|AC|8 时，2 =（ ） A1 B2 C3 D2 【解答】解：A 是双曲线 D：2 2 35 = 1右支上一点，B、C 分别是双曲线 D 的左、右焦 点 可得 B（6，0） ，C（6，0） ，|BC
18、|12， 由|AC|8，可得|AB|2a+|AC|2+810， 在ABC 中，cosB= 102+12282 21012 = 3 4， = 8 12 = 2 3， 第 9 页（共 17 页） 可得2 = 2 =22 3 3 4 =1， 故选：A 12 （5 分）过抛物线 C：y24x 焦点的直线交该抛物线 C 于点 A，B，与抛物线 C 的准线交 于点 P，如图所示，则 的最小值是（ ） A8 B12 C16 D18 【解答】解：抛物线 C：y24x 焦点（1，0） ， 设直线 PB 方程为：yk（x1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线 PB 与抛物线的方程得， k2x2
19、（2k2+4）x+k20， x1+x2= 22+4 2 ，x1x21，y1y24， y1+y2k（x11）+k（x21）k（x1+x2）2kk2 2:4 2 2k= 4 ， P（1，2k） ， 所以 =（x1+1，y1+2k） （x2+1，y2+2k）x1x2+x1+x2+1+y1y2+2k（y1+y2）+4k2， 1+ 22+4 2 +1+（4）+2k 4 +4k24k2+ 4 2 +8242 4 2 +816， （当且仅当 4k2= 4 2，即 k1 时取“” ） ， 则 的最小值是 16， 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
20、0 分分. 13 （5 分）已知随机变量 y 与 x 有相关关系 = 2 + 1，当 x3 时，y 的预报值为 7 【解答】解：随机变量 y 与 x 有相关关系 = 2 + 1， x3 时，y 的预报值为 23+17 第 10 页（共 17 页） 故答案为：7 14 （5 分）复数 3 2:的实部为 6 5 【解答】解： 3 2: = 3(2;) (2:)(2;) = 6 5 3 5 ， 复数 3 2:的实部为 6 5 故答案为：6 5 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+）(0，0 2)图象的相邻两条对称轴的距 离为 2，且( 12) = 2，则( 8) = 2:6 2 【解答】
21、解：函数 f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为 2， 2 = 2得 T，即 2 =， 得 2， 即 f（x）2sin（2x+） ， ( 12) = 2， ( 12) = 2 =2sin（ 6 +） ， 即 sin（ 6 +）1， 0 2， 6 += 2， 得 = 2 6 = 3， 则 f（x）2sin（2x+ 3） ， 则( 8) =2sin （2 8 + 3） 2sin （ 4 + 3） 2 （sin 4cos 3 +cos 4sin 3） 2 （ 2 2 1 2 + 2 2 3 2 ） = 2+6 2 ， 故答案为：2:6 2 16 （5 分）f（x）是定义域为 R 的偶函数，对xR，都有
22、 f（x+4）f（x） ，当 0x2 时，() = 2 1，0 1， 2 + 1，1 2，则( 9 2) + (21) = 2 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为 R 的偶函数，对xR，都有 f（x+4）f（ x） ， 则有 f（x+4）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则有 f（ 9 2）f（ 9 2）f（4+ 1 2）f（ 1 2） ，f（21）f（1+45）f（1） ， 又由当 0x2 时，() = 2 1，0 1 2 + 1，1 2， 则 f（1 2）= 2 1，f（1）1， 则( 9 2) + (21) =f（ 1 2）+f（
23、1）（2 1）+1= 2； 故答案为：2 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD底面 ABCD，点 E 是 PC 的 中点 （1）求证：PA平面 EDB； （2）若 PDAD2，求二面角 CEDB 的余弦值 【解答】解： （1）证明：连接 AC 与 BD 相交于 F，连接
24、 EF 底面 ABCD 是正方形， F 为 AC 中点， 又 E 是 PC 的中点， EFPA， PA平面 EDB，EF平面 EDB， PA平面 EDB （2） 以 D 为原点， ， ， 分别为 x， y， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Dxyz， 第 12 页（共 17 页） |PD|AD|2， D（0，0，0） ，E（0，1，1） ，B（2，2，0） ， 取平面CED的一个法向量1 = (1，0，0)， 设平面EDB的一个法向量为2 = (，)， = (0，1，1)， = (2，2，0)， 由2 = 0 2 = 0 得 + = 0， 2 + 2 = 0， 不妨令 z1，解得 x1，y1
25、，即2 = (1， 1，1)， 1 ，2 = 1 2 |1 |2 | = 3 3 ， 二面角 CEDB 的余弦值为 3 3 18我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城 区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P 元）的情况，并根 据统计数据制成如下频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值； （2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取 3 次，每次抽取 1 户，每次 抽取相互独立， 设 为抽出 3 户中 P 值不低于 65 元的户数， 求 的分布列和期望 E （） 【解答】解： （1） =（300.014+4
26、00.026+500.036+600.014+700.01）1048 第 13 页（共 17 页） （2）由已知，三次随机抽取为 3 次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增加 不低于 65 元的的概率为 0.1， 则 B（3，0.1） ，( = ) = 3 0.1 0.93;( = 0，1，2，3)P（0）0.729， P（1）0.243，P（2）0.027，P（3）0.001 的分布列为 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 E（）30.10.3 19已知数列an满足 a11，:1 2( + 1)= 2+ ( ) （1）求证：数列* + 1+为等比数列：
27、 （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）由:1 2( + 1)= 2+ ， 两边同除以 n（n+1）得+1 :1 2 = 1， +1 :1 + 1 = 2 + 2 = 2( + 1) 1 1 + 1 = 2 0， + 1 0， +1 +1 :1 :1 = 2， 数列* + 1+是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 （2）由（1）有 + 1 = 2，= 2 ， .= 1 21+ 2 22+ +n2n（1+2+3+n）= 1 21+ 2 22+ + 2 (+1) 2 令= 1 21+ 2 22+ + 2， 2= 1 22+ 2 23+ 3 24+ + （n1） 2n+n 2n
28、+1， = 2 + 22+ 23+ + 2 2:1= 2(12) 12 2:1= (1 )2:1 2， = ( 1) 2:1+ 2 则前 n 项和 Sn（n1） 2n+1+2 (+1) 2 第 14 页（共 17 页） 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点(1， 2 2 )，且以 F1（c，0） ，F2（c，0） （c 0）为焦点，椭圆 C 的离心率为 2 2 （1）求实数 c 的值； （2）过左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 B、D 两点，O 为坐标原点，问椭圆 C 上是 否存在点 P，使线段 BD 和线段 OP 相互平分？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，
29、说 明理由 【解答】解： （1）椭圆方程为 2 2 + 2 2 = 1（ab0） 已知椭圆 C 过点(1， 2 2 )， 1 2 + 1 22 = 1 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0）为椭圆 C 的焦点， 椭圆 C 的离心率为 2 2 ， = 2 2 ，c2a2b2 解得 = 2，b1，c1 （2）由（1）有椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1，F1（1，0） 假设存在点 P 满足题意，且 BD 和 OP 相交于点 Q（x0，y0） 当直线 l 与 x 轴重合时，不满足题意 设直线 l 的方程为 xty1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立 = 1 2 2 + 2= 1得
30、（2+t 2）y22ty10， 1+ 2= 2 2+2，12 = 1 2+2 则0= 2+2，0 = 0 1 = 2 2+2 1 = 2 2+2， 将 x0，y0代入 2 2 + 2= 1有 8 (2:2)2 + 42 (2:2)2 = 1 解得 = 2，(1， 2 2 )，或(1， 2 2 )， 故存在 P 使线段 BD 和 OP 相互平分，其坐标为(1， 2 2 )，或(1， 2 2 ) 21已知 f（x）（xm）ex （1）当 m2 时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在区间（1，0）上有极小值点，且总存在实数 m，使函数 f（x）的 极小值与
31、 2:2 2(:1) 互为相反数，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）x（m1）ex 第 15 页（共 17 页） 当 m2 时，f（x）（x2）ex，f（x）（x1）ex f（0）2，f（0）1， 所以，函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y+2（x0） ，即 x+y+20 （2）f（x）x（m1）ex 得 x（，m1）时，f（x）0，x（m1，+） 时，f（x）0， 函数 f（x）在区间（，m1）上单调递减，在区间（m1，+）单调递增， 函数 f（x）的极小值点为 m1 由已知1m10， 0m1.()极小= ( 1) = ;1 故在区间（0，1）上存在 m，
32、使得 2:2 2(:1) 1= 0 2 = 22 （0m1） 设() = 22 当 0m1 时，() = (1),2+2(1)- ()2 0， 函数 g（m）在区间（0，1）上递增， 当 0m1 时，g（0）g（m）g（1） ， 即12 22 1 ， 1 2 22 22 ， 所以，实数 a 的取值范围是( 1 2 ， 22 22 ) 22在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖 国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型 曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图 中的曲线就是笛卡尔心型
33、曲线，其极坐标方程为 1sin（p1sin，0） ，M 为 该曲线上的任意一点 （1）当| = 3 2时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2与该曲线相交于点 N，求|MN|的最大值 第 16 页（共 17 页） 【解答】解： （1）设点 M 在极坐标系中的坐标(3 2，)， 由 1sin，得3 2 = 1 ， = 1 2， 02， = 7 6 或 = 11 6 所以点 M 的极坐标为(3 2， 7 6 )或(3 2， 11 6 ) （1）由题意可设 M（1，） ，(2， 2 + ) 由 1sin，得 11sin，2= 1 ( 2 + ) = 1 | = 1 2
34、 + 2 2 = (1 )2+ (1 )2= 3 2( + ) = 3 22( + 4) 故 = 5 4 时，|MN|的最大值为2 + 1 23已知函数 f（x）|x+1|+2|x1| （1）求不等式 f（x）x+5 的解集 （2）若|x1x2|1，求证：f（x1+x2）+f（2x2）3 【解答】解： （1）解：f（x）|x+1|+2|x1|， 当 x1 时，由 f（x）x+5，得3x+1x+5，解得 x1； 当1x1 时，由 f（x）x+5，得x+3x+5，此时无解； 当 x1 时，由 f（x）x+5，得 3x1x+5，解得 x3； 综上所述，f（x）x+5 的解集为（，1）（3，+） （2）证明：|x1x2|1， f（x1+x2）+f（2x1）|x1+x2+1|+2|x1+x21|+|2x2+1|+2|2x21|（x1+x2+1）（2x2+1） |+2|（x1+x21）（2x21）3|x1x2|3， 第 17 页（共 17 页） 故原命题成立
