2020年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2M ，1，0，1，| (2) 0NxR x x，则(MN ) A 1，0，1 B0，1 C 2，1，0，1 D 2，1，0 2 （5 分）已知i为虚数单位，a、bR，zai， z i zb ，则( a b ) A1 B1 C 1 2 D2 3

2、（5 分）已知向量 3 ( 2 ax，1)与向量 2 (bx，2 ) x共线，则实数x的值为( ) A3 B3或 0 C3 D3 或 0 4 （5 分）执行如图的程序框图，若输入的6a ，1b ，则输出的S的结果是( ) A24 B28 C34 D40 5 （5 分）已知 5 (1) (1)xax的展开式中 5 x的系数是4，则实数a的值为( ) A1 B.1 C 4 . 5 D 4 . 5 6 （5 分）为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和 竞争力某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武， 根据以往技术资料统计， 某工人装 配第n件工件所用的时间（单位：分

3、钟）( )f n大致服从的关系为 , ( )( , k nM n f nk n Mk M 、M 为常数） 已知该工人装配第 9 件工件用时 20 分钟，装配第M件工件用时 12 分钟，那么可 第 2 页（共 20 页） 大致推出该工人装配第 4 件工件所用时间是( ) A40 分钟 B35 分钟 C30 分钟 D25 分钟 7 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的准线过椭圆 22 2 1 3 xy pp 的左焦点 1 F，且与椭圆交于 P、Q两点，则 22 (PQF F是椭圆的右焦点）的周长为( ) A24 2 B24 C16 2 D16 8 （5 分）在三棱锥PABC中，PA、PB

4、、PC两两垂直， 1 1 2 PAPB，Q是棱BC上 一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为 5 2 ，则该三棱锥外接球的表面 积为( ) A6 B7 C8 D9 9 （5 分）函数6cos (0)yxx与3tanyx的图象相交于M、N两点，O为坐标原 点，则MON的面积为( ) A2 B 3 2 2 C3 D 3 2 10 （5 分）已知H为ABC的垂心，4AB ，6AC ，M为边BC的中点，则(HM BC ) A20 B10 C20 D10 11 （5 分）已知奇函数 2 2 2 ,0 ( ) ,0 xx x f x mxnx x ，满足()() 0(f abf abmna

5、，b，m， )nR则代数式 22 (1)ab的取值范围为( ) A 2 ,) 2 B 1 ,) 2 C4，) D2，) 12 （5 分）已知曲线( )sincosf xxmx，()mR相邻对称轴之间的距离为 2 ，且函 数( )f x在 0 xx处取得最大值，则下列命题正确的个数为( ) 当 0 , 12 6 x 时，m的取值范是 0 3 , 3 3 x ； 将( )f x的图象向左平移 0 4|x个单位后所对应的函数为偶函数； 函数( ) |( )|yf xf x的最小正周期为； 第 3 页（共 20 页） 函数( ) |( )|yf xf x在区间 0 (x， 0 ) 3 x 上有且仅有一

6、个零点 A1 B2 C3 D4 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡上分将答案填在答题卡上. 13 （5 分）国际青年物理学家竞赛（简称)IYPT是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛 事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到 10 组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 210 )(vu， 10) v，通过散点图发现具有较强的线性相关关系，并且 利用最小二乘法求得线性回归方程：1.51vu，由于数据保存失误导致 10 1 i i v 丢失，但 10 1 50 i i u 被保存，通过所学

7、知识可以求得 10 1 i i v 14 （5 分）已知递增等比数列 n a的前n项和为 n S，且满足： 1 1a ， 45 23 4 aa aa ，则 14 4 SS a 15 （5 分）已知( )(0)f xkx k，若正数a，b满足f（a）f（b）f（a）f（b） ，且 4 ( )() ab ff kk 的最小值为 1，则实数k的值为 16（5 分） 已知当xR时， 均有不等式(2)() 0 xx aeaex成立， 则实数a的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （12 分）垃圾分类是改善环境，节约资源的新

8、举措住建部于 6 月 28 日拟定了包括我市 在内的 46 个重点试点城市，要求这些城市在 2020 年底基本建成垃圾分类处理系统为此， 我市某中学对学生开展了 “垃圾分类” 有关知识的讲座并进行测试， 将所得测试成绩整理后， 绘制出频率分布直方图如图所示 （1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩； （2）将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取 4 名同学，这 4 名同学中 测试成绩在60，80)的人数记为，求的分布列及数学期望 第 4 页（共 20 页） 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和 2* () n Snnb nN （1）求实数b的值及 n a的

9、通项公式； （2）若 2 log nn ab，且 1 (1)(1) n n nn b c bb ，求数列 n c的前n项和 n T 19 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 内 角A、B、C的 对 边 分 别 记 为a、b、c， 且 22 5 sinsin 224 ABBC acb （1）求 b ac 的； （2）若ABC的面积2 2S ， 1 cos 3 B ，求ABC的周长 20 （12 分）已知函数 3 ( )3f xxx （1）求( )f x在区间0，(0)m m 上的最大值和最小值； （2）在曲线 2 yx上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线( )yf x相切？若存 在，求出其

10、横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 3 ( )f xkx lnx的极小值为 1 3 （1）求实数k的值； （2）令 ( )f u v e ，当 6 2ve时，求证： 11 log 76 v u 请考生在请考生在 22、23 二题中任选一题作答二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一 个题目计分，作答时，请用个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22 （10 分） 在极点为O的极坐标系中， 直线:cos1l上有一动点P， 动

11、点M在射线OP 上，且满足| | 2OPOM ，记M的轨迹为C （1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线； （2）若 11 (,) 6 M ， 22 (M，0)， 33 (,) 6 M 均在曲线C上，求 123 M M M的面积 选做题选做题 23已知函数( ) |1| 1f xx （1）求证：(1)( ) 3f xf x； （2）若实数a、b、c满足 222 1abc，求证(1)(21)(21) 6f afbfc 第 5 页（共 20 页） 2020 年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、

12、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2M ，1，0，1，| (2) 0NxR x x，则(MN ) A 1，0，1 B0，1 C 2，1，0，1 D 2，1，0 【解答】解： 2M ，1，0，1， |02Nxx剟， 0MN，1 故选：B 2 （5 分）已知i为虚数单位，a、bR，zai， z i zb ，则( a b ) A1 B1 C 1 2 D2 【解答】解：由zai， z i zb ，得 ai i abi ， 1(

13、)aiab i ， 则 1 1 a ab ，即1a ，2b 1 1 2 2 a b 故选：C 3 （5 分）已知向量 3 ( 2 ax，1)与向量 2 (bx，2 ) x共线，则实数x的值为( ) A3 B3或 0 C3 D3 或 0 【解答】解：向量 3 ( 2 ax，1)与向量 2 (bx，2 ) x共线， 则 2 3 2 ()0 2 x xx， 即 2 30xx， 解得0x 或3x ； 所以实数x的值为3或 0 故选：B 4 （5 分）执行如图的程序框图，若输入的6a ，1b ，则输出的S的结果是( ) 第 6 页（共 20 页） A24 B28 C34 D40 【解答】解：模拟程序的运

14、行，可得 6a ，1b 0S 6S 不满足条件a b，执行循环体，2b ，5a ，16S 不满足条件a b，执行循环体，3b ，4a ，28S 不满足条件a b，执行循环体，4b ，3a ，40S 此时，满足条件a b，退出循环，输出S的值为 40 故选：D 5 （5 分）已知 5 (1) (1)xax的展开式中 5 x的系数是4，则实数a的值为( ) A1 B.1 C 4 . 5 D 4 . 5 【解答】解： 55432 (1) (1)(5101051)(1)xaxxxxxxax的展开式中 5 x的系数是 514a ， 则实数1a ， 故选：A 6 （5 分）为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记

15、使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和 竞争力某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武， 根据以往技术资料统计， 某工人装 第 7 页（共 20 页） 配第n件工件所用的时间（单位：分钟）( )f n大致服从的关系为 , ( )( , k nM n f nk n Mk M 、M 为常数） 已知该工人装配第 9 件工件用时 20 分钟，装配第M件工件用时 12 分钟，那么可 大致推出该工人装配第 4 件工件所用时间是( ) A40 分钟 B35 分钟 C30 分钟 D25 分钟 【解答】解：nM时，12 k M ，9n 时，20 9 k ， 解得：60k ，25M ， 60 ,25 ( ) 1

16、2,25 n f nn n 425n ，f（4） 60 30 4 即可大致推出该工人装配第 4 件工件所用时间是 30 分钟 故选：C 7 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的准线过椭圆 22 2 1 3 xy pp 的左焦点 1 F，且与椭圆交于 P、Q两点，则 22 (PQF F是椭圆的右焦点）的周长为( ) A24 2 B24 C16 2 D16 【解答】解：如图， 抛物线 2 2( 0)ypx的直线方程为 2 p x ，即椭圆 22 2 1 3 xy pp 的半焦距 2 p c ， 再由椭圆中的隐含条件 222 abc，得 2 2 3 4 p pp，解得4p 椭圆的长轴长为2

17、8p 则 2 PQF的周长为416p 故选：D 第 8 页（共 20 页） 8 （5 分）在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直， 1 1 2 PAPB，Q是棱BC上 一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为 5 2 ，则该三棱锥外接球的表面 积为( ) A6 B7 C8 D9 【解答】解：Q是线段BC上一动点，连接PQ， PA、PB、PC互相垂直， AQP就是直线AQ与平面PBC所成角， 当PQ短时，即PQBC时直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大 此时 5 2 AP PQ ，所以 2 5 5 PQ ， 在Rt PBQ中， 2222 2 54 5 2() 55 BQPB

18、PQ， 又因为 2 PQBQ BC，则5BC ，所以 22 1PCBCPB， 如图，将三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为 222 1216， 三棱锥PABC的外接球的半径为 6 2 R ， 三棱锥PABC的外接球的表面积为 2 46R 故选：A 第 9 页（共 20 页） 9 （5 分）函数6cos (0)yxx与3tanyx的图象相交于M、N两点，O为坐标原 点，则MON的面积为( ) A2 B 3 2 2 C3 D 3 2 【解答】解：由 sin 6cos3tan3 cos x xx x ， 得 22 6cos3sin66sinxxx， 得 2 6sin3sin60xx， 得

19、 3 sin 2 x 或 4 3 sin 3 x （舍)， 则 3 x 或 2 3 x ， 即( 3 M ，3)， 2 ( 3 N ，3)，即M，N关于( 2 A ，0)对称， 则MON的面积 13 223 222 OAM SS ， 故选：D 10 （5 分）已知H为ABC的垂心，4AB ，6AC ，M为边BC的中点，则(HM BC ) A20 B10 C20 D10 【解答】解：如图， 第 10 页（共 20 页） H为ABC的垂心， HABC，0HA BC ，且4AB ，6AC ，且M为边BC的中点， ()HM BCHAABBMBC 1 () 2 HAABBC BC 1 () 2 HA B

20、CABACABBC 1 () () 2 ACABACAB 221 () 2 ACAB 1 (3616) 2 10 故选：B 11 （5 分）已知奇函数 2 2 2 ,0 ( ) ,0 xx x f x mxnx x ，满足()() 0(f abf abmna，b，m， )nR则代数式 22 (1)ab的取值范围为( ) A 2 ,) 2 B 1 ,) 2 C4，) D2，) 【解答】解：奇函数 2 2 2 ,0 ( ) ,0 xx x f x mxnx x ， 当0x 时，0x ， 2 ()()2()( )fxxxf x ， 2 ( )2f xxx， 第 11 页（共 20 页） 1m ，2n

21、 ，2mn ，且 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x xx x 在R上单调递增， ()(2) 0f abf ab可得()(2)f abf ba， 2ab ba ， 1 0ab ， 则 22 (1)ab的几何意义时在直线10ab 上及左上方区域内任取一点，到点(1,0)的距 离的平方， 结合图象可知，当AB与10ab 垂直时，所求距离最小， 22 |1 1| ()2 2 d ，没有最大值 故选：D 12 （5 分）已知曲线( )sincosf xxmx，()mR相邻对称轴之间的距离为 2 ，且函 数( )f x在 0 xx处取得最大值，则下列命题正确的个数为( ) 当 0 ,

22、12 6 x 时，m的取值范是 0 3 , 3 3 x ； 将( )f x的图象向左平移 0 4|x个单位后所对应的函数为偶函数； 函数( ) |( )|yf xf x的最小正周期为； 函数( ) |( )|yf xf x在区间 0 (x， 0 ) 3 x 上有且仅有一个零点 A1 B2 C3 D4 【解答】解： 2 ( )1sin()f xmx，其中tanm，由函数( )f x相邻对称轴之间的距 离为 2 ，可得T，2 ，先讨论2，则 2 ( )1sin(2)f xmx， 第 12 页（共 20 页） 对于， 由函数( )f x在 0 xx处取得最大值， 则 0 22 2 xk ， 解得 0

23、 22 2 kx ， 那么 0 0 1 tantan(22) 2tan2 mkx x ， 又 0 , 12 6 x ，故 0 3 tan2, 3 3 x ，故 0 13 , 3 tan23 m x ，故正确； 对于，不妨令3m ，则( )2sin(2) 3 f xx ，可解得一个 0 12 x ，那么将( )f x的图象 向左平移 0 4|x个单位后得到的函数为 4 2sin2()2sin2 123 yxx ，为奇函数，故 错误； 对于，由( )f x的周期为，则|( )|f x的周期为 2 ，则函数( ) |( )|yf xf x的最小正周期 应满足 , 2 Tmax ，故正确； 对于， 2

24、 22 2 1sin(2),sin(2) 0 ( ) |( )|1sin(2) | 1sin(2)| 0,sin(2)0 mxx yf xf xmxmx x ， 由知函数的最小正周期为，由函数( )f x在 0 xx处取得最大值可知，在其后 1 4 T上满足 sin(2) 0x，而当超过这个区间的时候，存在sin(2)0x的情况， 即当 00 (,) 43 xxx 时，函数值一直是 0，显然不止一个零点，故错误； 当2 时，验证也可得到以上结论，综上正确的为， 故选：B 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡上分将答案填在答题卡上

25、. 13 （5 分）国际青年物理学家竞赛（简称)IYPT是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛 事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到 10 组数据 1 (u， 1) v， 2 (u， 210 )(vu， 10) v，通过散点图发现具有较强的线性相关关系，并且 利用最小二乘法求得线性回归方程：1.51vu，由于数据保存失误导致 10 1 i i v 丢失，但 10 1 50 i i u 被保存，通过所学知识可以求得 10 1 i i v 85 【解答】解：由 10 1 50 i i u ，得 10 1 1 505 10 i i uu ， 再由线性回归方程恒

26、过样本点的中心可得，1.511.5518.5vu ， 第 13 页（共 20 页） 10 1 1010 8.585 i i vv 故答案为：85 14（5 分） 已知递增等比数列 n a的前n项和为 n S， 且满足： 1 1a ， 45 23 4 aa aa ， 则 14 4 SS a 2 【解答】解：等比数列 n a中， 1 1a ， 45 23 4 aa aa ， 3 1 1 (1) 4 (1) a qq a qq ， 2 4q， 1 1a 且数列递增， 2q ， 则 4 14 3 4 12 1 12 2 2 SS a 故答案为：2 15 （5 分）已知( )(0)f xkx k，若正数

27、a，b满足f（a）f（b）f（a）f（b） ，且 4 ( )() ab ff kk 的最小值为 1，则实数k的值为 10 【解答】解： 44 ( )()4244 abab ffkkababab kkkk （当且仅当4ab时， 取“” ) 即当4ab时，41ab ， 此时解得 1 2 a ， 1 8 b ， 又因为正数a，b满足f（a）f（b）f（a）f（b） ， 则 2 kakbk ab，即10 ab k ab ， 故答案为：10 16 （5 分）已知当xR时，均有不等式(2)() 0 xx aeaex成立，则实数a的取值范围为 1 (, e 【解答】解：根据题意， 2 x x ae aex

28、恒成立， 第 14 页（共 20 页） 2 x ae 恒成立，0a ， 由 x aex得， x x a e 恒成立，设( ) x x f x e ，则 1 ( ) x x fx e ， 1x时，( )0fx；1x 时，( )0fx， 1x时，( )f x取最小值 1 (1)f e ， 1 a e ， 实数a的取值范围为 1 (, e 故答案为： 1 (, e 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （12 分）垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措住建部于 6 月 28 日拟定了包括我市 在内的 46 个重点试点城市，要求这些城市

29、在 2020 年底基本建成垃圾分类处理系统为此， 我市某中学对学生开展了 “垃圾分类” 有关知识的讲座并进行测试， 将所得测试成绩整理后， 绘制出频率分布直方图如图所示 （1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩； （2）将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取 4 名同学，这 4 名同学中 测试成绩在60，80)的人数记为，求的分布列及数学期望 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： (23762 ) 101aaaaa， 解得0.005a 估计测试的平均成绩为： 550.01 10650.015 10750.035 10850.03 10950.01 1076.5x

30、（2）测试成绩在60，80)的频率为(0.0150.035) 100.5， 将频率视为相应的概率， 从参加测试的同学中随机选取 4 名同学， 这 4 名同学中测试成绩在 第 15 页（共 20 页） 60，80)的人数记为， 则 1 (4, ) 2 B， 004 4 111 (0)( ) ( ) 2216 PC， 13 4 114 (1)( )( ) 2216 PC， 222 4 116 (2)( ) ( ) 2216 PC， 33 4 114 (3)( ) ( ) 2216 PC， 44 4 11 (4)( ) 216 PC， 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 16 4 16 6 1

31、6 4 16 1 16 数学期望 14641 ( )012342 1616161616 E 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和 2* () n Snnb nN （1）求实数b的值及 n a的通项公式； （2）若 2 log nn ab，且 1 (1)(1) n n nn b c bb ，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）等差数列 n a的前n项和 2* () n Snnb nN， 可得 11 2aSb， 2n时， 22 1 (1)(1)2 nnn aSSnnbnnbn ， 上式对1n 也成立，可得0b ， 则2 n an，*nN； （2） 2 log nn a

32、b，可得 2 ( 2)2 nn n b ， 11 1 211 (1)(1)(21)(21)2121 n n n nnnn nn b c bb ， 则前n项和 22311 111111 11 212121212121 n nnn T 19 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 内 角A、B、C的 对 边 分 别 记 为a、b、c， 且 第 16 页（共 20 页） 22 5 sinsin 224 ABBC acb （1）求 b ac 的； （2）若ABC的面积2 2S ， 1 cos 3 B ，求ABC的周长 【解答】解： （1）在ABC中， 22 5 sinsin 224 ABBC acb ， 1

33、cos()1cos()5 224 ABBCb ac ， 5 coscos 2 b aaCccA， 由正弦定理可得， 5 sinsinsincossincossin 2 ACACCAB， 5 sinsinsin()sin 2 ACACB， 5 sinsinsinsin 2 ACBB， 故 3 sinsinsin 2 ACB， 由正弦定理， sin2 sinsin3 bB acAC ， （2） 1 cos 3 B ， 2 2 sin 3 B， 面积 1 sin2 2 2 SacB， 6ac， 由余弦定理可得， 2 2 222 4() ()12 1 9 3212 ac ac acb ac ， 12

34、5 5 ac ， 8 5 5 b ， 故ABC的周长为4 5acb 20 （12 分）已知函数 3 ( )3f xxx （1）求( )f x在区间0，(0)m m 上的最大值和最小值； （2）在曲线 2 yx上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线( )yf x相切？若存 在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由 第 17 页（共 20 页） 【解答】解： （1） 2 ( )333(1)(1)fxxxx， 故(, 1)x ，(1,)，函数( )f x递增；( 1,1)x ，函数( )f x递减； 当1m时，( )f x在(0,)m单调递减，故最大值为(0)0f，最小值为 3 ( )

35、3f mmm， 由 3 30xx，得0x ，3， 当13m时，( )f x在(0,1)递减；在(1,)m递增， ( )f x的最小值为f（1）132 ，最大值为(0)0f， 当3m 时，( )f x的最小值为f（1）2 ，最大值为 3 ( )3f mmm； （2）假设曲线 2 yx上存在点 2 ( ,)P a a，设切点为 3 (,3) ooo x xx，斜率 2 33 o kx， 切线方程为 32 0000 (3)(33)()yxxxxx， 又切 线 过 点 2 ( ,)P a a， 232 0000 (3)(33)()axxxax， 化 简 整 理 得 ： 322 00 2330xaxaa

36、， 过点P可作三条直线与曲线( )yf x相切，方程 322 00 2330xaxaa有 3 个不相等的 实数根， 设 322 ( )233g xxaxaa，函数( )g x有 3 个零点， 2 ( )666 ()g xxaxx xa， 函数( )g x存在两个极值点，0x ，xa，0a， 当0a 时，列表 x (,0) 0 (0, )a a ( ,)a ( )g x 0 0 ( )g x 递增 极大值 递减 极小值 递增 函数( )g x的极大值为(0)g，极小值为g（a） ， 需满足 (0)0 ( )0 g g a ，即 2 2 30 30 aa aa ，解得 113 2 a ， 当0a

37、时，列表： x (, )a a ( ,0)a 0 (0,) 第 18 页（共 20 页） ( )g x 0 0 ( )g x 递增 极大值 递减 极小值 递增 函数( )g x的极大值为g（a） ，极小值为(0)g， 需满足 ( )0 (0)0 g a g ，即 2 2 30 30 aa aa ，解得1 13 0 2 a ， 综上所求，在曲线 2 yx上存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线( )yf x相切， 其横坐标的取值范围为 113 ( 2 ， 113 )( 2 ，0) 21 （12 分）已知函数 3 ( )f xkx lnx的极小值为 1 3 （1）求实数k的值； （2）令 ( )f

38、 u v e ，当 6 2ve时，求证： 11 log 76 v u 【解答】解： （1）由题意； 232 1 ( )(3)(31)fxkx lnxxkxlnx x ，(0)x 令( )0fx，则 310lnx ，解得： 1 3 xe ， 当0k 时， 1 3 0xe ，( )0fx， 1 3 xe ，( )0fx，( )f x有极小值点， 且 111 3 333 1 ()() 3 k f ek elne e ，由题意得： 11 33 k ke e ；0k 时，( )f x有极大值 点无极小值点，不符合题意， 0k 时，( )0f x ，不符合题意， 综上实数k的值为e； （2） 证明： 由

39、（1） 得， 3 ( )f xex lnx， 3 ( )f u vu lnu e ， 又 6 2ve， 36 2u lnue，1u ， 3 11 1 22 0log ()3()362 v uu lnu ln u lnuu lnuln lnulnuln lnulog lnulog lnu ， 由（1） 3 vu lnu在 1 3 (e ，)单调递增， 2 ue时， 36 2u lnue， 2 ue， logulnu单调递增， 1 log(0, ) 2 ulnu ， 11 76 u log lnu， 即证明了： 11 76 v logu 请考生在请考生在 22、23 二题中任选一题作答二题中任选一

40、题作答.注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一 个题目计分，作答时，请用个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 第 19 页（共 20 页） 22 （10 分） 在极点为O的极坐标系中， 直线:cos1l上有一动点P， 动点M在射线OP 上，且满足| | 2OPOM ，记M的轨迹为C （1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线； （2）若 11 (,) 6 M ， 22 (M，0)， 33 (,) 6 M 均在曲线C上，求 123 M M M的面积 【解答】解： （1）极点

41、为O的极坐标系中，直线:cos1l上有一动点P，动点M在射线 OP上，记M的轨迹为C 设点 0 (1,)Py，( , )M x y 由于点O，P，M三点共线，所以 0 y y x ， 由于且满足| | 2OPOM ，整理得 222 0 12yxy，化简得 22 2xyx，转换为极坐 标方程为 2 2 cos，整理得2cos 故该曲线为以(1,0)为圆心，1 为半径的圆 （2）由于点 11 (,) 6 M ， 22 (M，0)， 33 (,) 6 M 均在曲线C上， 所以 1 2cos3 6 ， 2 2cos02， 3 2cos()3 6 ， 所以转换为直角坐标 1 33 ( ,) 22 M，

42、2(2,0) M， 3 33 ( ,) 22 M， 所以 12 |3M M， 22 13 13 |()()1 22 M M， 22 23 13 |()()1 22 M M， 所以 123 123 1 1 sin 234 M M M S 选做题选做题 23已知函数( ) |1| 1f xx （1）求证：(1)( ) 3f xf x； （2）若实数a、b、c满足 222 1abc，求证(1)(21)(21) 6f afbfc 【解答】证明： （1）由绝对值不等式的性质有， (1)( ) |2|1| 2|21| 23f xf xxxxx ，当(2)(1) 0xx 时取等号， 故(1)( ) 3f xf x得证； （2）(1)(21)(21) |2 |2 | 3f afbfcabc， 又由柯西不等式有， 222222 (122 )(| | ) (| 2| 2| |)abcabc， 第 20 页（共 20 页） 222222 | |1abcabc， 2 (|2 |2 |)9abc，即|2 |2 |3abc， |2 |2 | 3 6abc ，即(1)(21)(21) 6f afbfc ，得证