1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年云南省曲靖市高考数学一模试卷（理科）年云南省曲靖市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 |1Ax x， 2 |20Bx xx，则()( RA B ) A |1x x B | 11xx C | 11xx D |12xx 2 （5 分）已知复数z满足(1)|3|i zi，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应点 所在的象限为( ) A第一象限 B第二
2、象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知向量| 1a ， 1 ( ,) 2 bm，若()()abab，则实数m的值为( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 4 （5 分）设 1.1 log0.5a ， 1.1 log0.6b ， 0.6 1.1c ，则( ) Aabc Bbca Ccab Dbac 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是： “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？( )
3、A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为(0)k k ，通过x块 这样的玻璃以后强度为y，则 * 0.9 () x ykxN，那么光线强度减弱到原来的 1 4 以下时，至 少通过这样的玻璃块数为( )（参考数据：1 20.3011 30.477)gg A12 B13 C14 D15 7 （5 分）已知F为抛物线 2 4yx的焦点，过点F且斜率为 1 的直线交抛物线于A，B两 点，则|FAFB的值等于( ) A8 2 B8 C4 2 D4 8 （5 分）图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的
4、成绩依次为 1 A， 2 A， 16 A，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该 第 2 页（共 19 页） 程序框图输出的结果是( ) A6 B10 C7 D16 9 （5 分）函数 |ln x y x 的大致图象是( ) A B C D 10 （5 分）如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四 面体内的概率为( ) 第 3 页（共 19 页） A 9 13 B 1 13 C 9 13 169 D 13 169 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线均与圆 22 650xyx相 切，且双
5、曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为( ) A 6 3 B 6 2 C 3 5 5 D 5 2 12 （5 分）已知函数 2 ( ) 2 x a g xex有两个不同极值点，则实数a的取值范围是( ) A(0, ) e B( ,)e C 1 (0, ) e D 1 ( ,) e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5 分） 等比数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 4a， 2 2a，3a成等差数列 若 1 1a ， 则 4 S 14 （5 分）若关于x的二项式 7 (2) a x x 的展开式中一次项的系数是70，
6、则a 15 （5 分）已知函数 sin ,0 ( ) , xxx f x x x 与()ykx kR的图象有三个不同交点，则实 数k的取值区间为 16 （5 分） 在四面体ABCD中，3ABBDADCD，4ACBC， 用平行于AB，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要
7、求作答. 17 （12 分）某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保 护问题情况的问卷调查， 现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人， 并将这 200 人按年龄 第 4 页（共 19 页） 分组： 第 1 组15，25)， 第 2 组25，35)， 第 3 组35，45)， 第 4 组45，55)， 第 5 组55， 65)，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出a的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随机抽 取 3 人
8、进行问卷调查，设第 2 组抽到人，求随机变量的分布列及数学期望( )E 18 （12 分）已知函数( )2sin()cos 3 f xxxt 的最大值为 1 （1）求t的值； （2）设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 2a ，ABC的面 积为3，且f（A） 3 2 ，求bc的值 19（12 分） 如图， 菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为 2， 它们所在平面互相垂直，FD 平面ABCD，/ /EF平面ABCD （1）求证：平面ACF 平面BDF； （2）若60CBA，求二面角ABCF的大小 20 （12 分）已知函数( ) x f xae，( )g xlnxlna，
9、其中a为常数，e是自然对数的底数， 2.72e ，曲线( )yf x在其与y轴的交点处的切线记作 1 l，曲线( )yg x在其与x轴的交点 处的切线记作 2 l，且 12 / /ll （1）求 1 l， 2 l之间的距离； 第 5 页（共 19 页） （2）对于函数( )f x和( )g x的公共定义域中的任意实数 0 x，称 00 |()()|f xg x的值为函数 ( )f x和( )g x在 0 x处的偏差 求证： 函数( )f x和( )g x在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶
10、点和长 轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于5， 直线l与椭圆C交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点，其中直线l不过原点 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线OA，l，OB的斜率分别为 1 k，k， 2 k，其中0k 且 2 12 kk k记OAB的面 积为S分别以OA，OB为直径的圆的面积依次为 1 S， 2 S，求 12 SS S 的最小值 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答
11、区域指定位置答题，如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分 【选修做，则按所做的第一题计分 【选修 4-4：坐标系：坐标系与参数方程】 （本小题满分与参数方程】 （本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） 以坐 标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程为 2 3sin （1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）设点(1,3)P，直线l与曲线C相交于A，B两点，求 22 |PAPB 的
12、值 【选修【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分：不等式选讲】 （本小题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |21| 1()f xxaxaR的一个零点为 1 （1）求不等式( ) 1f x 的解集； （2）若 12 (0,1) 1 a mn mn ，求证：211mn 第 6 页（共 19 页） 2020 年云南省曲靖市高考数学一模试卷（理科）年云南省曲靖市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合
13、题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 |1Ax x， 2 |20Bx xx，则()( RA B ) A |1x x B | 11xx C | 11xx D |12xx 【解答】解： |1 RA x x， | 12Bxx ； () | 11 RA Bxx 故选：B 2 （5 分）已知复数z满足(1)|3|i zi，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应点 所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：由(1)|3|i zi， 得 |3|22(1) 1 11(1)(1) ii zi iiii ， 对应点的坐标为(1, 1)，在第四象限， 故选：D 3
14、 （5 分）已知向量| 1a ， 1 ( ,) 2 bm，若()()abab，则实数m的值为( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解： 222 1 1, 4 abm； ()()abab； 222 1 () ()1()0 4 abababm ； 解得 3 2 m 故选：D 4 （5 分）设 1.1 log0.5a ， 1.1 log0.6b ， 0.6 1.1c ，则( ) 第 7 页（共 19 页） Aabc Bbca Ccab Dbac 【解答】解：因为对数函数 1.1 logyx在(0,)上单调递增，且0.50.61 所以0ab， 又 0.6 1.11c ， 所以
15、abc， 故选：A 5 （5 分）我国古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺， 重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是： “现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤” ，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？( ) A6 斤 B7 斤 C9 斤 D15 斤 【解答】解：由每一尺的重量构成等差数列 n a， 1 4a ， 5 2a ， 该金锤共重 5(42) 15 2 斤 故选：D 6 （5 分）设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为(0)k k ，通过x块 这样的玻璃以后强度为y，则 * 0.9
16、() x ykxN，那么光线强度减弱到原来的 1 4 以下时，至 少通过这样的玻璃块数为( )（参考数据：1 20.3011 30.477)gg A12 B13 C14 D15 【解答】解：设需要这样的玻璃x块，则经过x块这样的玻璃后光线强度为0.9xyk， 由题意得0.9(0) 4 x k kk，化得 1 0.9 4 x ， 两边同时取常用对数，可得 1 0.9 4 xlglg，因为0.90lg， 所以 1 220.602 4 13.09 0.923 10.046 lg lg x lglg ，则至少通过 14 块玻璃， 故选：C 7 （5 分）已知F为抛物线 2 4yx的焦点，过点F且斜率为
17、 1 的直线交抛物线于A，B两 点，则|FAFB的值等于( ) A8 2 B8 C4 2 D4 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：(1,0)F，故直线AB的方程为1yx， 联立方程组 2 4 1 yx yx ，可得 2 610xx ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由根与系数的关系可知 12 6xx， 12 1x x 由抛物线的定义可知： 1 |1FAx， 2 |1FBx， 2 121212 | |()43644 2FAFBxxxxx x 故选：C 8 （5 分）图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到 16 号的同学的成绩依次为 1 A， 2
18、A， 16 A，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该 程序框图输出的结果是( ) A6 B10 C7 D16 【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于 90 的人数， 所以由茎叶图知：数学成绩大于等于 90 的人数为 10， 因此输出结果为 10 故选：B 9 （5 分）函数 |ln x y x 的大致图象是( ) 第 9 页（共 19 页） A B C D 【解答】解：函数 |ln x y x 是奇函数，排除选项A，D 当x 时，0y 排除B 故选：C 10 （5 分）如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四 面体内的
19、概率为( ) A 9 13 B 1 13 C 9 13 169 D 13 169 【解答】 解： 由题意可知， 几何体是三棱锥， 底面三角形的一边长为 6， 底面三角形的高为： 3， 棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：4 则几何体的体积： 11 63412 32 外接球的直径为 222 4(3 2)(3 2)2 13， 第 10 页（共 19 页） 外接球的半径为13，体积为 52 13 3 ， 点落在四面体内的概率为 129 13 16952 13 3 故选：C 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线均与圆 22 650x
20、yx相 切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为( ) A 6 3 B 6 2 C 3 5 5 D 5 2 【解答】解：因为圆 2222 :650(3)4C xyxxy， 由此知道圆心(3,0)C，圆的半径为 2， 又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心 而双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 22 9ab 又双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线均和圆 22 :650C xyx相切， 而双曲线的渐近线方程为：0 b yxbxay a ， 22 3 2 b ab 连接得 2 2 5 b a ，可得3c ， 所以双曲线的离心率为： 3 5 5
21、 c a 故选：C 12 （5 分）已知函数 2 ( ) 2 x a g xex有两个不同极值点，则实数a的取值范围是( ) A(0, ) e B( ,)e C 1 (0, ) e D 1 ( ,) e 【解答】 解：( ) x g xeax， 记()()f x g x ， 则题设条件转化为函数( )f x有两个不同零点 当0a时，( )f x在R上单调递增，不符合题意； 当0a 时，( ) x fxea，令( )0 x fxea，解得：xlna 当(,)xlna 时，( )0fx，此时( )f x单调递减 当(,)xlna时，( )0fx，此时( )f x单调递增； ( )f x有两个不同零
22、点，( )()0 min f xf lnaaalna， 第 11 页（共 19 页） 由 0 0 aalna a ，解得ae，即实数a的取值范围为( ,)e ， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）等比数列 n a的前n项和为 n S，且 1 4a， 2 2a， 3 a成等差数列若 1 1a ，则 4 S 15 【解答】解： 2132 242aaaa， 2 242qqq， 2 440qq， 2q ， 1 1a， 2 2a ， 3 4a ， 4 8a ， 4 124815S 答案：15 14 （5 分）若关
23、于x的二项式 7 (2) a x x 的展开式中一次项的系数是70，则a 1 2 【解答】解：展开式的通项公式为 77 2 17 2 rrrr r TC ax ，由721r，得3r ， 所以一次项的系数为 343 7 270Ca ，得 1 2 a ， 故答案为： 1 2 15 （5 分）已知函数 sin ,0 ( ) , xxx f x x x 与()ykx kR的图象有三个不同交点，则实 数k的取值区间为 (0, 【解答】解：记 sin,0 ( )( ) , xxkxx g xf xkx xkx x ， 依题意为：方程( )0g x 有三个不等实数根， 当0x时，由sin0xxkx得sink
24、x，(0,1)k时有两个不等实数根， 当x时，由0xkx得 1 k x ，(0,k 时有一个实数根， 第 12 页（共 19 页） 综上：(0,k 时方程( )0g x 有三个不等实数根 故答案为：(0, 16 （5 分） 在四面体ABCD中，3ABBDADCD，4ACBC， 用平行于AB，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为 9 4 【解答】解：直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG， / /HGAB， 同理：/ /EFAB，/ /FGCD，/ /EHCD， / /FGEH，/ /EFHG 四边形EFGH为平行四边形 又ADBD
25、，ACBC的对称性，可知ABCD 四边形EFGH为矩形 设:BF BDBG BCFG CDx，(01)x剟， 3FGx，3(1)HGx， 2 19 9 (1)9(),01 24 EFGH SFG HGxxxx ， 当 1 2 x 时，四边形EFGH的面积有最大值 9 4 故答案为： 9 4 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （1
26、2 分）某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是 城市环境卫生大为改观，深得市民好评 “创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保 护问题情况的问卷调查， 现从参与问卷调查的人群中随机选出 200 人， 并将这 200 人按年龄 分组： 第 1 组15，25)， 第 2 组25，35)， 第 3 组35，45)， 第 4 组45，55)， 第 5 组55， 第 13 页（共 19 页） 65)，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出a的值； （2）若已从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，现要再从这 5 人中随机抽 取 3 人进行问卷调查，设第
27、 2 组抽到人，求随机变量的分布列及数学期望( )E 【解答】解： （1）由10 (0.0100.0150.0300.010)1a， 解得0.035a （2）第 1，2 组的人数分别为 20 人，30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数依次为 2 人，3 人 随机变量的所有可能取值为 1，2，3 其中 21 23 3 5 3 (1) 10 CC P C ， 12 23 3 5 3 (2) 5 C C P C ， 3 3 3 5 1 (3) 10 C P C ， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 3319 ( )
28、123 105105 E 18 （12 分）已知函数( )2sin()cos 3 f xxxt 的最大值为 1 （1）求t的值； 第 14 页（共 19 页） （2）设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 2a ，ABC的面 积为3，且f（A） 3 2 ，求bc的值 【解答】解：（1） 2 11cos23 ( )2sin()cossin cos3cossin23sin(2) 32232 x f xxxtxxxtxtxt ， ( )f x的最大值为 1， 3 0 2 t ，解得 3 2 t ， （2） 3 ( ) 2 f A ， 3 sin(2) 32 A ， 又ABC是锐角
29、三角形，得0 2 A ， 2 2 333 A 2 33 A ，解得 3 A ， 由三角形面积公式得， 1 sin3 2 SbcA，可得4bc ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA， 可得 2 8()3bcbc， 2 ()20bc，而0bc， 2 5bc 19（12 分） 如图， 菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为 2， 它们所在平面互相垂直，FD 平面ABCD，/ /EF平面ABCD （1）求证：平面ACF 平面BDF； （2）若60CBA，求二面角ABCF的大小 【解答】证明： （1）菱形ABCD，ACBD， FD 平面ABCD，FDAC， BDFDD，AC平面BDF， AC 平
30、面ACF，平面ACF 平面BDF 解： （2）设ACBDO，以O为原点，OB为x轴，OA为y轴， 第 15 页（共 19 页） 过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则( 3B，0，0)，(0C，1，0)，(3F ，0，3)， (3BC ，1，0)，( 2 3BF ，0，3)， 设平面BCF的法向量(nx，y，) z， 则 30 2 330 n BCxy n BFxz ，取1x ，得(1n ，3，2)， 平面ABC的法向量(0m ，0，1)， 设二面角ABCF的大小为， 则 |22 cos | |28 m n mn ， 4 二面角ABCF的大小为 4 20 （12 分）已知函数
31、( ) x f xae，( )g xlnxlna，其中a为常数，e是自然对数的底数， 2.72e ，曲线( )yf x在其与y轴的交点处的切线记作 1 l，曲线( )yg x在其与x轴的交点 处的切线记作 2 l，且 12 / /ll （1）求 1 l， 2 l之间的距离； （2）对于函数( )f x和( )g x的公共定义域中的任意实数 0 x，称 00 |()()|f xg x的值为函数 ( )f x和( )g x在 0 x处的偏差 求证： 函数( )f x和( )g x在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）函数( ) x f xae的图象
32、与y轴的交点为(0, )a， 函数( )yg x的图象与x轴的交点为( ,0)a， 而( ) x fxae， 1 ( )g x x ， 12 / /ll，(0)fg（a） ，得 1 a a ， 又0a ，1a ( ) x f xe，( )g xlnx， 切线 1 l过点(0,1)，斜率为 0 1 (0)1kfe； 切线 2 l过点(1,0)，斜率为 2 k g （1）1， 1: 10lxy ， 2: 10lxy ， 两平行切线 1 l， 2 l间的距离 22 |1( 1)| 2 1( 1) d ； （2）解法一：函数( )yf x和( )yg x的偏差为： ( ) |( )( )| x F x
33、f xg xelnx，(0,)x， 1 ( ) x F xe x ，易得 1 ( ) x F xe x 在(0,)x上是增函数， 方程( )0F x有且只有一个正实根，记为 0 xx，则 0 0 1 x e x ， 当 0 (0,)xx时，( )0F x；当 0 (xx，)时，( )0F x， 函数( )F x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 000 0 00 1 ( ) xxx min x F xelnxelnex e ， F （1）10e ， 1 ( )20 2 Fe， 0 1 1 2 x， 故 0 0 11 ( )2.252 22 x min F xexe， 即
34、函数( )yf x和( )yg x在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 解法二：由于函数( )yf x和( )yg x的偏差：( ) |( )( )| x F xf xg xelnx，(0,)x， 令 1( ) ,(0,) x F xex x， 2( ) F xxlnx，(0,)x， 1( ) 1 x Fxe， 2 11 ( )1 x Fx xx ， 1( ) F x在(0,)上单调递增， 2( ) F x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 第 17 页（共 19 页） 11 ( )(0)1F xF， 22 ( )F xF（1）1， 于是 12 ( )()()( )( )2 xx
35、F xelnxexxlnxF xF x， 即函数( )yf x和( )yg x在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长 轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于5， 直线l与椭圆C交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点，其中直线l不过原点 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线OA，l，OB的斜率分别为 1 k，k， 2 k，其中0k 且 2 12 kk k记OAB的面 积为S分别以OA，OB为直径的圆的面积依次为 1 S， 2 S，求 12 SS S 的最小值
36、【解答】解： （1）由题意知， 22 2 5 ab ab ，解得 2 1 a b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设直线l的方程为(0)ykxm m， 由 2 2 1 4 ykxm x y 消 去y整 理 得 222 ( 14)84 (1 )0kxk m xm， 根 据 题 设 有 ： 22 16(14)0km且 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 4(1) 14 m x x k 因为 2 12 kk k，所以 22 212121212 12 121212 ()()()yykxm kxmk x xkm xxm kk k xxx xx x ， 将 12 2
37、 8 14 km xx k ， 2 12 2 4(1) 14 m x x k 代入，化简得： 2 1 4 k ， 0k ， 1 2 k 此时 2 16(2)0m且0m ，解得 2 02m故 222 1212 2 11| |1()4|2 22 1 m SAB dkxxx xmm k ， 又 2222222 121122121212 3335 ()(2)()2 44441624 SSxyxyxxxxx x ，为定 值 第 18 页（共 19 页） 12 222 51515 444 |2(1)1 SS S mmm ， 当且仅当 2 1m 即1m 时等号成立 综上： 12 SS S 的最小值为 5 4
38、 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多答题，如果多 做，则按所做的第一题计分 【选修做，则按所做的第一题计分 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数）
39、 以坐 标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程为 2 3sin （1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）设点(1,3)P，直线l与曲线C相交于A，B两点，求 22 |PAPB 的值 【解答】解： （1）消去参数t得直线l的普通方程为320xy； 因为2 3sin ，所以 2 2 3 sin ， 因为cosx，siny， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 2 30xyy （2）由题意判断点(1,3)P是直线l上的点， 设A，B两点所对应的参数分别为 1 t， 2 t， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得 2 320tt 其中 2 (3)4
40、( 2)110 ， 12 3tt， 1 2 2t t 于是 2 121 2 12 121 21 2 2 ()42|2222 11 | ttt ttt PAPBttt tt t 【选修【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分：不等式选讲】 （本小题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |21| 1()f xxaxaR的一个零点为 1 第 19 页（共 19 页） （1）求不等式( ) 1f x 的解集； （2）若 12 (0,1) 1 a mn mn ，求证：211mn 【解答】解： （1）因为函数( ) |21| 1()f xxaxaR的一个零点为 1， 所以1a ，又当1a 时，( ) |1|21| 1f xxx， ( ) 1|1|21|2f xxx剟， 上述不等式可化为 1 2 1122 x xx 或 1 1 2 121 2 x xx 或 1 121 2 x xx ， 解得 1 2 0 x x 或 1 1 2 2 x x 或 1 4 3 x x 所以 1 0 2 x剟或 1 1 2 x或 4 1 3 x剟， 所以原不等式的解集为 4 |0 3 xx剟 （2）由（1）知 12 1 1 a mn ，因为0m ，1n ， 所以 1222(1) 2(1)2(1)()50 11 mn mnmn mnnm ， 当且仅当3m 4n 时取等号，所以211mn
