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1、第 1 页（共 20 页） 2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数 5 12 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， | 11Bxx ，则(AB ) A( 1,1) B( 1,2) C( 1,0) D(0,1) 3 （5 分）已

2、知x，yR，且0xy，则( ) Acoscos0xy Bcoscos0xy C0lnxlny D0lnxlny 4 （5 分）函数( )f x的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 x ye关于x轴对称，则 ( )(f x ) A 1x e B 1x e C 1x e D 1x e 5 （5 分）已知函数 2 ( )2()()f xxln xaxaR为奇函数，则(a ) A1 B0 C1 D2 6 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖

3、去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）在如图第 3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为( ) A 3 5 B 9 16 C 7 16 D 2 5 7 （5 分）已知为锐角， 3 cos 5 ，则tan()( 42 ) A 1 3 B 1 2 C2 D3 8 （5 分） “砸金蛋” （游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖” )是现在商家一第 2 页（共 20 页）种常见促销手段今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对

4、游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说： “我或乙能中奖” ；乙说： “丁能中奖” ；丙说： “我或乙能中奖” ；丁说： “甲不能中奖” 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以

5、下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结论是( ) A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 1 3 10 （5 分）已知抛物线 2 2ypx上不同三点A，B，C的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是( ) AA，B，C的纵坐标成等差数列 BA，B，C 到x轴的距离成等差数列第 3 页（共 20 页） CA，B，C到点(0,0)O的距离成等差数列 DA，B，C到点( 2 p F，0)的

6、距离成等差数列 11 （5 分）已知函数( )sinsin()f xxx，现给出如下结论： ( )f x是奇函数； ( )f x是周期函数； ( )f x在区间(0, )上有三个零点； ( )f x的最大值为 2 其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知椭圆C的焦点为 1 F， 2 F，过 1 F的直线与C交于A，B两点，若 2121 5 | | 3 AFFFBF，则C的离心率为( ) A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）函数(

7、 )sin x f xex在点(0,1)处的切线方程为 14 （5 分）若实数变量x，y满足约束条件1 1 y x xy y ，且2zxy的最大值和最小值分别为m和n，则mn 15 （5 分）在ABC中，1a ， 3 cos 4 C ，ABC的面积为 7 4 ，则c 16 （5 分）已知正三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为()m mZ，底面边长为()n nZ，内有一个体积为V的球，若V的最大值为 9 2 ，则此时三棱柱外接球表面积的最小值为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、

8、证明过程或演算步骤骤 17（12 分）已知数列 n a是等比数列，数列 n b满足 12 1 2 bb， 3 3 8 b ， 11 21 n nnn abb （1）求 n a的通项公式；（2）求 n b的前n项和 18 （12 分）党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长 “少年强则国强” ，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步第 4 页（共 20 页）的标志，是国家综合实力的重要方面全面实施国家学生体质健康标准，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求国家学生体质健康标准有一项指标是学生体质指数(

9、)BMI，其计算公式为： 22 kg BMI m 体重身高，当23.5BMI 时认为“超重” ，应加强锻炼以改善BMI 某高中高一、高二年级学生共 2000 人，人数分布如表（a）为了解这 2000 名学生的BMI指数情况，从中随机抽取容量为 160 的一个样本性别年级男生女生合计高一年级 550 650 1200 高二年级 425 375 800 合计 975 1025 2000 表（a）（1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；（2）分析这 160 个学生的BMI值，统计出“超重”的

10、学生人数分布如表（b）性别年级男生女生高一年级 4 6 高二年级 2 4 表（b） ( ) i试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数； ( )ii对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强应用卡方检验，可依次得到 2 K的观察值 1 k， 2 k，是判断 1 k和 2 k的大小关系（只需写出结论） 19 （12 分）如图，三棱锥PABC中，PAPBPC，90APBACB ，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是BCE的重心（1）证明：PE 平面ABC；第 5 页（共 20 页）（2）若GF与平面A

11、BC所成的角为60，且2GF ，求三棱锥PABC的体积 20（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知两定点( 2,2)A ，(0,2)B，动点P满足 | 2 | PA PB （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上有两动点E，F，它们关于直线:40l kxy对称，且满足4OE OF ，求OEF的面积 21 （12 分）已知函数( )12 sin x f xaxe ，( )fx是( )f x的导函数，且(0)0 f （1）求a的值，并证明( )f x在0x 处取得极值；（2）证明：( )f x在区间2k，2() 2 kkN 有唯一零点请考生在第请考生在第 22，23 题中任选

12、一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 4 ( 4 xm m ym 为参数）（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线 1 l，2l，其中 1 l与曲线C交于A，B两点，2l与C交于M， N两点， 1 l与 2 l交于点 0 (P x， 0) y，求证：| | | |PAPBPMPN 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函

13、数( ) |1|f xxax （1）若f（a）2，求a的取值范围；（2）当xa，ak时，函数( )f x的值域为1，3，求k的值第 6 页（共 20 页） 2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数 5 12 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D

14、第四象限【解答】解： 55 (12 ) 2 12(12 )(12 ) iii i iii ，在复平面内，复数 5 12 i i 对应的点的坐标为( 2,1)，位于第二象限故选：B 2 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， | 11Bxx ，则(AB ) A( 1,1) B( 1,2) C( 1,0) D(0,1) 【解答】解： |02Axx， | 11Bxx ， (0,1)AB 故选：D 3 （5 分）已知x，yR，且0xy，则( ) Acoscos0xy Bcoscos0xy C0lnxlny D0lnxlny 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，cosyx在(0,)上

15、不是单调函数，故coscos0xy不一定成立，A错误；对于B，当x， 2 y 时，coscos10xy ，B不一定成立；对于C，ylnx在(0,)上为增函数，若0xy，则lnxlny，必有0lnxlny，C正确；对于D，当1x ， 1 2 y 时， 1 0 2 lnxlnyln，D不一定成立；故选：C 4 （5 分）函数( )f x的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 x ye关于x轴对称，则 ( )(f x ) A 1x e B 1x e C 1x e D 1x e 第 7 页（共 20 页）【解答】解： x ye关于x轴对称的函数为 x ye，即 x ye ，然后向右平移一

16、个单位得到( )f x，得 1x ye ，即 1 ( ) x f xe ，故选：A 5 （5 分）已知函数 2 ( )2()()f xxln xaxaR为奇函数，则(a ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：( )f x是奇函数， ()( )fxf x ，即()( )0fxf x，即 22 2()2()0xlnxaxxln xax ，得 22 ()()0lnxaxln xax ，即 22 ()()0lnxaxxax 得 22 ()0ln axxlna，得1a ，故选：C 6 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖

17、去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）在如图第 3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为( ) A 3 5 B 9 16 C 7 16 D 2 5 【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的 1 4 ，不妨设第一个三角形的面积为 1 第三个三角形的面积为 1；第 8 页（共 20 页）则阴影部分的面积之为 119 (1)(1): 4416 第 3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概

18、率： 9 9 16 116 ，故选：B 7 （5 分）已知为锐角， 3 cos 5 ，则tan()( 42 ) A 1 3 B 1 2 C2 D3 【解答】解：为锐角， 3 cos 5 ， 2 34 sin1( ) 55 ， 2 4 2tan 4 52 tan 3 3 1 25 tan ，解得 1 tan 22 或tan2 2 （舍)， 1 tantan1 1 422 tan() 1 423 1tantan1 1 422 故选：A 8 （5 分） “砸金蛋” （游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖” )是现在商家一种常见促销手段今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物

19、时，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说： “我或乙能中奖” ；乙说： “丁能中奖” ；丙说： “我或乙能中奖” ；丁说： “甲不能中奖” 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( ) A甲 B乙 C丙 D丁【解答】解：若中奖的同学是甲，则甲预测结果是正确的，与题设相符，故中奖的同学是甲，若中奖的同学是乙，则甲、丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是乙，第 9 页（共 20 页）若中奖的同学是丙，则丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾

20、，故中奖的同学不是丙，若中奖的同学是丁，则乙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丁，综合得：中奖的同学是甲，故选：A 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结论是( ) A截止到 2015 年中国累计装机

21、容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 1 3 【解答】解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A错；由图 2 知，10 年来全球新增装机容量起伏，B错；由图1知，10年中国新增装机总容量为 13.818.917.71316.123.230.823.419.721.1197.7，则 10 年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错；故选：D 10 （5 分）已知抛物线 2 2ypx上不同三点A，B，C的横坐标成等差数列，那么下列说

23、F，所以A，B，C到点( 2 p F，0)的距离成等差数列故选：D 11 （5 分）已知函数( )sinsin()f xxx，现给出如下结论： ( )f x是奇函数； ( )f x是周期函数； ( )f x在区间(0, )上有三个零点； ( )f x的最大值为 2 其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：因为()sin()sin()sinsin()( )fxxxxxf x ，所以( )f x是奇函数，正确假设存在周期T，则sin()sin( ()sinsinxTxTxx， sin()sinsin( ()sinxTxxTx ，所以 22 sincossinc

24、os 2222 TxTTxT ，存在 0 xR，使得 0 2 cos0 2 xT ，而 0 2 cos0 2 xT ，第 11 页（共 20 页）将 0 xR， 2 sincos0 22 TxT ，由于 2 cos0 2 xT ，故sin0 2 T ，所以sin0 2 T ，sin0 2 T ， 2 T k， 2 T m ，k，mZ，所以km，矛盾，所以函数( )sinsin()f xxx，没有周期，错误 (1)(1) ( )sinsin()2sincos 22 xx f xxx ，函数的零点为方程 (1) sin0 2 x 或 (1) cos0 2 x ， 2 1 k x

25、或 (12 ) 1 k x ，(0, )x 2 1 x ， 4 1 或 1 ，所以( )f x在区间(0, )上有三个零点；故正确假设存在这样的 0 x使得( )f x最大值为 2， 0 2 xk 且 0 2 xk ，()kZ 即 0 2 xk 且 0 1 2 xk，所以 1 22 kk ， 1 2 k ，与kZ矛盾，故错误故选：B 12 （5 分）已知椭圆C的焦点为 1 F， 2 F，过 1 F的直线与C交于A，B两点，若 2121 5 | | 3 AFFFBF，则C的离心率为( ) A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 【解答】解：椭圆C的焦点为 1 F， 2 F，过 1

26、 F的直线与C交于A，B两点，若 2121 5 | |2 3 AFF FBFc，所以 1 | 22AFac，第 12 页（共 20 页） 2 6 | 2 5 BFac，所以 2222 6 4()(2)() 55 c cacaca，可得 22 2950caca，即 2 2950ee，解得 1 2 e 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）函数( )sin x f xex在点(0,1)处的切线方程为 210xy 【解答】解：函数( )sin x f xex的导数为( )cos x fxex，可得在点

27、(0,1)处的切线斜率为 0 cos02e ，则函数( )sin x f xex在点(0,1)处的切线方程为( )21f xx，即为210xy ，故答案为：210xy 14 （5 分）若实数变量x，y满足约束条件1 1 y x xy y ，且2zxy的最大值和最小值分别为m和n，则mn 0 【解答】解：作出可行域，如图所示，由2zxy可得2yxz ，则z表示直线的纵截距，平移直线2yx ，结合图象可知，当2zxy过( 1, 1)A 时z取最小值3，当2zxy过(2, 1)B时z取最大值 3 故0mn，故答案为：0 第 13 页（共 20 页） 15 （5 分）在ABC中，1a

28、， 3 cos 4 C ，ABC的面积为 7 4 ，则c 2 【解答】解：1a ， 3 cos 4 C ，ABC的面积为 7 4 ， 2 7 sin1 4 Ccos C，可得 717 sin 428 abCab，解得2ab ， 2b，由余弦定理可得 2222 3 2cos122 1 22 4 cababC 故答案为：2 16 （5 分）已知正三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为()m mZ，底面边长为()n nZ，内有一个体积为V的球，若V的最大值为 9 2 ，则此时三棱柱外接球表面积的最小值为 57 【解答】解：当球能与三侧面相切时，底面内切圆的半径 2 3 n r ，由题意得

29、： 3 49 32 r ，所以 3 2 r ，3 3n ，nZ，不符题意；当球与上下底面能相切时， 2 m r ，由题意得： 3 49 32 r ，所以 3 2 r ，3m ，此时， 3 22 3 n ，所以n的最小值为 6 设外接球的半径设为R，则 22 222 957 ()12 23444 mnm Rr 外接球的表面积 2 457SR 第 14 页（共 20 页）故答案为：57 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤骤 17（12 分）已知数列 n a是

30、等比数列，数列 n b满足 12 1 2 bb， 3 3 8 b ， 11 21 n nnn abb （1）求 n a的通项公式；（2）求 n b的前n项和【解答】解：（1）数列 n a是等比数列，数列 n b满足 12 1 2 bb， 3 3 8 b ， 11 21 n nnn abb ，当1n 可得 221 21a bb，即有 2 2(11)4a ，2n 时， 332 41a bb，即有 3 8 ( 21)8 3 a ，可得等比数列 n a的公比为 2，且 2 4 22 nn n a ；（2）由 11 21 n nnn abb ，即 1 1 221 nn nn

31、 bb ，可得2 n n b为首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得211 n n bnn ，则 1 ( ) 2 n n bn，即有 n b的前n项和为 23 1111 12 ( )3 ( )( ) 2222 n n Sn， 2341 11111 1 ( )2 ( )3 ( )( ) 22222 n n Sn ，相减可得 231 111111 ( )( )( )( ) 222222 nn n Sn 1 11 (1) 1 22 ( ) 1 2 1 2 n n n ，化简可得 n b的前n项和为 1 2(2) ( ) 2 n n 18 （12 分）党中央、国务院历来高度重视青少年的健康

32、成长 “少年强则国强” ，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面全面实施国家学生体质健康标准，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求国家学生体质健康标准有一项第 15 页（共 20 页）指标是学生体质指数()BMI，其计算公式为： 22 kg BMI m 体重身高，当23.5BMI 时认为“超重” ，应加强锻炼以改善BMI 某高中高一、高二年级学生共 2000 人，人数分布如表（a）为了解这 2000 名学生的BMI指数情况，从中随机抽取容量为 160 的一个样本性

33、别年级男生女生合计高一年级 550 650 1200 高二年级 425 375 800 合计 975 1025 2000 表（a）（1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；（2）分析这 160 个学生的BMI值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b）性别年级男生女生高一年级 4 6 高二年级 2 4 表（b） ( ) i试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数； ( )ii对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强应

34、用卡方检验，可依次得到 2 K的观察值 1 k， 2 k，是判断 1 k和 2 k的大小关系（只需写出结论）【解答】解：（1）考虑到BMI应与年龄或性别均有关，最合理的分层应为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生；则高一男生抽取 550 16044 2000 （人)，高一女生抽取 650 16052 2000 （人)，第 16 页（共 20 页）高二男生抽取 425 16034 2000 （人)，高二女生抽取 375 16030 2000 （人)；（2）( )160i人中， “超重”人数为462416（人)， “超重”发生的频率为 0.1，用样本的频率估计总体

35、的频率，估计这 2000 名学生中 “超重” 的学生数为20000.1200（人 )； ( )ii应用独立性检验的知识，分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强，得出 2 K的观察值 1 k， 2 k，则 1 k和 2 k的大小关系为 12 kk 19 （12 分）如图，三棱锥PABC中，PAPBPC，90APBACB ，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是BCE的重心（1）证明：PE 平面ABC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60，且2GF ，求三棱锥PABC的体积【解答】解：（1）证明：PAPB，E是AB的中点，PEAB， 90ACB，E是AB中点，

36、ECEA， PCPA，PEPE，PECPEA ， 90PECPEA ，PEEC， ABECE，PE平面ABC （2）解：连结CG，并延长，交BE于点O，则点O为BE的中点，连结OF， F是棱PB的中点，/ /OFPE，由（1）得OF 平面ABC， FGO是GF与平面ABC所成角，60FGO，在Rt FGO中，2GF ，1OG，3OF ，第 17 页（共 20 页） G是BCE的重心，O，F分别是BE，BP的中点， 3OC，2 3PE ， PAPB，90APBACB ，E，O分别是AB，BP的中点， 4 3AB，2 3CE ，3OE ，则在CEO中， 222222 ( 3)312(2 3

37、)OEOCCE，OCAB，三棱锥PABC的体积： 11 11 4 3 3 2 312 33 26 ABC VSPEAB OC PE 20（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知两定点( 2,2)A ，(0,2)B，动点P满足 | 2 | PA PB （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上有两动点E，F，它们关于直线:40l kxy对称，且满足4OE OF ，求OEF的面积【解答】解：（1）设动点P的坐标为( , )x y则 22 22 (2)(2)| 2 | (0)(2) xyPA PB xy 整理得 22 (2)(2)8xy，故动点P的轨迹C的方程是以(2,2)为圆

38、心，半径为2 2的圆（2）轨迹C上有两动点E，F，它们关于直线:40l kxy对称；所以圆心(2,2)在40kxy上，代入求得1k ，故直线方程为：40xy；易知OC垂直于直线L，且OCR；设EF 的中点为M，则 22 () ()() ()4OE OFOMMEOMMFOMMEOMMEOMME；又 2222 2 OMOCCMRCM， 22 2 MERCM； 2 24CM，|2CM 第 18 页（共 20 页） 2 2 |6MERCM，| 2| 2 6EFME 易知/ /OCEF， O到直线EF的距离等于CM， 1 2 622 3 2 OEF S 21 （12 分）已知函数( )12

39、sin x f xaxe ，( )fx是( )f x的导函数，且(0)0 f （1）求a的值，并证明( )f x在0x 处取得极值；（2）证明：( )f x在区间2k，2() 2 kkN 有唯一零点【解答】解：（1）( )2 cos x fxaxe ，令(0)0f，得210a ， 1 2 a ( )1sin x f xxe ， _(1cos ) ( )cos xx xeex fxxe 当0x 时，1 cos x ex ，( )cos0 x fxxe ，故( )f x在(,0)单调递增；当0x 时，令 _1_, 1 x excosxg xesinx cosx g x 则，在区间(0,)

40、 4 上，( )0g x，故( )g x是(0,) 4 上的减函数， ( )(0)0g xg，即在区间(0,) 4 上( )( )0 x fxe g x ， ( )f x是(0,) 4 上的减函数，综上所述，( )f x在0x 处取得极大值(0)0f；（2）证明：由（1）( )1sin x f xxe ， 2 (2)10 k fke ， (2) 2 (2)0 2 k fke ， ( )f x在区间2k，2() 2 kkN 至少有一个零点，以下讨论函数( )f x在区间2k，2 2 k 上函数值的变化情况：由（1）( )cos(1cos ) xxx fxxeeex ，令() 1c o

41、 s x gxex ，则()( s i nc o s ) x g xexx，令( )0g x，在(0,)上，解得, 4 xmmN ，当0k 时，在区间(0,) 4 上，( )0g x，( )g x递减，()(0)0 4 gg ；在区间(,) 4 2 上， ( )0g x，( )g x递增，()10 2 g ，第 19 页（共 20 页）故存在唯一实数 0 (,) 4 2 x ，使得 0 ()0g x，即 0 00 ()()0 x fxeg x ，故在 0 (0,)x上，( )0fx，( )f x递减，( )(0)0f xf；在 0 (,) 2 x 上，( )0fx，( )f x递

42、增，而 2 ()0 2 fe ，故在0, 2 上( ) 0f x ，当且仅当0x 时，(0)0f，故( )f x在0, 2 上有唯一零点；对任意正整数k，在区间(2,2) ,()0 ,() 4 kkgxgx 递减， 2 (2)(2)10 4 k gkgke ，在区间(2,2),( )0, ( ) 42 kkg xg x 递增， (2)10 2 gk ，故存在唯一实数(2,2) 42 k xkk ，使得()0 k g x，即()()0 k x kk fxeg x ，在(2,) k kx上，因为( )0g x ，故( )0fx，( )f x递减，在(,2) 2 k

43、 xk 上，因为( )0g x ，故( )0fx，( )f x递增， (2) 2 2 (2)10,()(2)0 2 k k k fkef xfke ， (2) ()0 k fkf x， ( )f x在(2,) k kx即2,2 2 kk 有唯一零点，综上，( )f x在区间2k，2() 2 kkN 有唯一零点请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 4 ( 4 xm m ym 为参数）（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线 1 l，2l，其中 1 l与曲线C交于A，B两点，2l与C交于M， N两点， 1 l与 2 l交于点 0 (P x， 0) y，求证：| | | |PAPBPMPN 【解答】解：（1）解：由4ym，得 4 y m ，代入 2 4xm，得 2 4yx，第 20 页（共 20 页）曲线C的普通方程为 2 4yx， C的普通方程为 2 4yx，表示开口向右，焦点为(1,0)F的抛物线（2）证明：设直线 1 l的倾斜角为，直线 2 l的倾斜角

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