1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1，2，3， 2 |20Bx xx，则(AB ) A3 B2，3 C 1，3 D1，2，3 2 （5 分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单 车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这
2、n座城市共享单车的使用量 （单位： 人次/天） 分别为 1 x， 2 x， n x，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是 ( ) A 1 x， 2 x， n x的平均数 B 1 x， 2 x， n x的标准差 C 1 x， 2 x， n x的最大值 D 1 x， 2 x， n x的中位数 3 （5 分）若复数 2 () 1 ai aR i 为纯虚数，则|3| (ai ) A13 B13 C10 D10 4 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 285 15aaa，则 9 S等于( ) A18 B36 C45 D60 5 （5 分）已知 4 cos() 25
3、， 3 22 ，则sin2的值等于( ) A 12 25 B 12 25 C 24 25 D 24 25 6 （5 分）若实数x，y满足 0 0 1 x y xy ，则2zyx的最小值为( ) A2 B2 C1 D1 7 （5 分）三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面 是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含 四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实， 利用2勾股（股勾） 2 4 朱实黄实弦实，化简，得勾 2 股 2 弦 2 ，设勾股中 勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉
4、（大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的 图钉颗数大约为( ) 第 2 页（共 20 页） （参考数据31.732，21.414) A130 B134 C138 D142 8 （5 分）已知 1 1 2 xln， 1 2 2 xe ， 3 x满足 3 3 x elnx ，则正确的是( ) A 123 xxx B 132 xxx C 213 xxx D 312 xxx 9 （5 分）如图所示，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱 1 DD的中点，F是 侧面 11 CDDC上的动点，且 1 / /B F面 1 ABE，则F在侧面 11 CDDC上的轨迹的长度是( ) Aa B
5、2 a C2a D 2 2 a 10 （5 分）已知函数( )3sin()(0f xx ，) 22 ， 1 (3A，0)为其图象的对称 中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC ，则( )f x的单调递增区间是( ) A 2 (2 3 k ， 4 2) 3 k ，kZ B 2 (2 3 k， 4 2) 3 k，kZ C 2 (4 3 k ， 4 4) 3 k ，kZ D 2 (4 3 k， 4 4) 3 k，kZ 11 （5 分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开 始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息） 自
6、动转为新的一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数为( ) 第 3 页（共 20 页） A 17 (1)ar B 17 (1)(1) a rr r C 18 (1)ar D 18 (1)(1) a rr r 12 （5 分）已知函数 2 44 ( )() x f xklnx kx ，1k，)，曲线( )yf x上总存在两点 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y使曲线( )yf x在M、N两点处的切线互相平行，则 12 xx的取 值范围为( ) A4，) B(4,) C 16 ,) 5 D 16 (,) 5 二、填空题：本大题共二
7、、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）已知向量(3, 2)a ，( ,1)bm若向量(2 ) / /abb，则m 14（5 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 11 1(*,2) nn aaanNn ， 则当1n时，na 15 （5 分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30 2海里的B处有一 艘渔船遇险， 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西45、 相距 20 海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos的值为 16 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC外接球的
8、表面积为52，1AB ，若ABC外接圆 的圆心 1 O在AC上，半径 1 1r ，则直三棱柱 111 ABCABC的体积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作答。答。(一）必考题：一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生 中随机抽取 50 名学生的考试成绩，被测
9、学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分） ， 将统计结果按如下方式分成八组： 第一组65，75)， 第二组75，85)，第八组135， 145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； 第 4 页（共 20 页） （2） 用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分 （同一组中的数据用该组区 间的中点值代表该组数据平均值） ； （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名，求他们的分差的绝对 值小于 10 分的概率 18 （12 分）在等比数列 n a中，公比(0,1)q，且满足 3
10、 2a ， 132435 225a aa aa a （1）求数列 n a的通项公式； （2） 设 2 l o g nn ba， 数列 n b的前n项和为 n S， 当 12 12 n SSS n 取最大值时， 求n的值 19（12 分） 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且 2 2 s i n2 2 c o s3 0CC （1）求角C的大小； （2）若2ba，ABC的面积为 2 sinsin 2 AB，求sin A及c的值 20 （12 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形， 侧面PAB是正三角形，2AB ， 2BC ，6PC E、H分别为PA、AB的中点 （
11、1）求证：PHAC； （2）求点P到平面DEH的距离 第 5 页（共 20 页） 21 （12 分）已知函数 2 ( )f xlnxmx， 2 1 ( ) 2 g xmxx，mR，( )( )( )F xf xg x （1）讨论函数( )f x的单调区间及极值； （2）若关于x的不等式( )1F xmx恒成立，求整数m的最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系x
12、Oy中，曲线C的参数方程为 cos3sin ( sin3cos x y 为参数） ， 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标 方程为cos()2 6 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明： | |PAPB为定值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |1|2|()f xxxmmR （1）若2m 时，解不等式( ) 3f x ； （2）若关于x的不等式( )|23|f xx在0x，1上有解，求实数m的取值范围 第 6 页（共 20 页）
13、 2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1，2，3， 2 |20Bx xx，则(AB ) A3 B2，3 C 1，3 D1，2，3 【解答】解：由B中不等式变形得：(2)0x x， 解得：0x 或2x ，即 |0Bx x或2x ， 1A ，0，1，2
14、，3， 1AB ，3， 故选：C 2 （5 分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单 车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量 （单位： 人次/天） 分别为 1 x， 2 x， n x，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是 ( ) A 1 x， 2 x， n x的平均数 B 1 x， 2 x， n x的标准差 C 1 x， 2 x， n x的最大值 D 1 x， 2 x， n x的中位数 【解答】解：表示一组数据 1 x， 2 x， n x的稳定程度是方差或标准差 故选：B 3 （5 分）若复数 2 () 1 ai
15、 aR i 为纯虚数，则|3| (ai ) A13 B13 C10 D10 【解答】解：由 2(2 )(1)(2)(2)22 1(1)(1)222 aiaiiaaiaa i iii 因为复数 2 () 1 ai aR i 为纯虚数，所以 2 0 2 2 0 2 a a ，解得2a 所以 22 |3| |32 |3( 2)13aii 故选：A 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 285 15aaa，则 9 S等于( ) A18 B36 C45 D60 【解答】解： 285 15aaa， 5 5a， 95 9 245 2 Sa 故选：C 5 （5
16、分）已知 4 cos() 25 ， 3 22 ，则sin2的值等于( ) A 12 25 B 12 25 C 24 25 D 24 25 【解答】解： 4 cos()sin 25 ， 4 sin 5 ， 3 22 ， 2 3 cos1 5 sin ， 3424 sin22sincos2()() 5525 故选：C 6 （5 分）若实数x，y满足 0 0 1 x y xy ，则2zyx的最小值为( ) A2 B2 C1 D1 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图： 第 8 页（共 20 页） 由图可知，2zyx在1xy与x轴的交点(1,0)处取得最小值，即022z 故选：B 7 （5 分
17、）三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面 是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含 四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实， 利用2勾股（股勾） 2 4 朱实黄实弦实，化简，得勾 2 股 2 弦 2 ，设勾股中 勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的 图钉颗数大约为( ) （参考数据31.732，21.414) A130 B134 C138 D142 【解答】解：如图， 设勾为a，则股为3a，弦为2a， 则图中大四边形的面积为 2 4a，
18、小四边形的面积为 222 ( 31)(42 3)aa， 第 9 页（共 20 页） 则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为 2 2 (42 3)3 1 42 a a 落在黄色图形内的图钉数大约为 3 1000(1)134 2 故选：B 8 （5 分）已知 1 1 2 xln， 1 2 2 xe ， 3 x满足 3 3 x elnx ，则正确的是( ) A 123 xxx B 132 xxx C 213 xxx D 312 xxx 【解答】解：0 x e； 3 0lnx； 3 1x； 又 1 0 2 1 10,01 2 lnlnee ； 123 xxx 故选：A 9 （5 分）如图所
19、示，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱 1 DD的中点，F是 侧面 11 CDDC上的动点，且 1 / /B F面 1 ABE，则F在侧面 11 CDDC上的轨迹的长度是( ) Aa B 2 a C2a D 2 2 a 【解答】解：设G，H，I分别为CD、 1 CC、 11 C D边上的中点 则 1 ABEG四点共面， 第 10 页（共 20 页） 且平面 1 / /ABGE平面 1 B HI 又 1 / /B F面 1 ABE， F落在线段HI上， 正方体 1111 ABCDABC D中的棱长为a， 1 12 22 HICDa 即F在侧面 11 CDDC上的轨迹的长度
20、是 2 2 a 故选：D 10 （5 分）已知函数( )3sin()(0f xx ，) 22 ， 1 (3A，0)为其图象的对称 中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC ，则( )f x的单调递增区间是( ) A 2 (2 3 k ， 4 2) 3 k ，kZ B 2 (2 3 k， 4 2) 3 k，kZ C 2 (4 3 k ， 4 4) 3 k ，kZ D 2 (4 3 k， 4 4) 3 k，kZ 【解答】解：函数( )3sin()(0f xx ，) 22 ， 1 (3A，0)为( )f x图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC ， 222 (2
21、3)()4 2 T ，即 2 2 1216 ，求得 2 再根据 1 2 3 k ，kZ，可得 6 ，( )3sin() 26 f xx 令22 2262 kxk 剟，求得 24 44 33 kxk剟， 故( )f x的单调递增区间为 2 (4 3 k ， 4 4) 3 k ，kZ， 故选：C 11 （5 分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开 第 11 页（共 20 页） 始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息） 自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数为(
22、) A 17 (1)ar B 17 (1)(1) a rr r C 18 (1)ar D 18 (1)(1) a rr r 【解答】解：根据题意， 当孩子 18 岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为 17 (1)ar， 同理：孩子在 2 周岁生日时存入的a元产生的本利合计为 16 (1)ar， 孩子在 3 周岁生日时存入的a元产生的本利合计为 15 (1)ar， 孩子在 17 周岁生日时存入的a元产生的本利合计为(1)ar， 可以看成是以(1)ar为首项，(1) r为公比的等比数列的前 17 项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数 17 171618 (1
23、)(1)1 (1)(1)(1)(1)(1) 11 arra Sarararrr rr ； 故选：D 12 （5 分）已知函数 2 44 ( )() x f xklnx kx ，1k，)，曲线( )yf x上总存在两点 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y使曲线( )yf x在M、N两点处的切线互相平行，则 12 xx的取 值范围为( ) A4，) B(4,) C 16 ,) 5 D 16 (,) 5 【解答】解：函数 2 44 ( )() x f xklnx kx ，导数 2 414 ( )()1fxk kxx 由题意可得 121 ()()(fxfxx， 2 0x ，且 12)
24、 xx 即有 22 1122 44 44 11 kk kk xxxx ， 化为 1212 4 4()()xxkx x k ， 而 212 12 () 2 xx x x ， 第 12 页（共 20 页） 212 12 4 4()()() 2 xx xxk k ， 化为 12 16 4 xx k k 对1k，)都成立， 令 4 ( )g kk k ，1k，)， 由 44 24kk kk ，当且仅当2k 取得等号， 16 4 4 k k ， 12 4xx，即 12 xx的取值范围是(4,) 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20
25、分分 13 （5 分）已知向量(3, 2)a ，( ,1)bm若向量(2 ) / /abb，则m 3 2 【解答】解：向量(3, 2)a ，( ,1)bm， 2(32 , 4)abm， (2 ) / /abb，432mm， 3 2 m 故答案为： 3 2 14 （5 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 11 1(*,2) nn aaanNn ，则当1n时， n a 1 2n 【解答】解：数列 n a满足 1 1a ， 11 1 nn aaa * (nN，2)n， 则 0 1 12a ， 1 2 22a ， 2 3 42a ， 3 4 82a ， 由此可得当1n时， 1 2n n a 第 1
26、3 页（共 20 页） 故答案为： 1 2n 15 （5 分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30 2海里的B处有一 艘渔船遇险， 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西45、 相距 20 海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos的值为 17 17 【解答】解：如图所示，在ABC中，30 2AB ，20AC ，135BAC 定理得 222 2cos1353600BCABACAB AC， 所以10 34BC ， 正弦定理得 3 34 sinsin 34 AB ACBBAC BC 由135BAC知ACB为锐角，故 5 34 cos 34
27、ACB 故 2 5 343 3417 coscos(45 )coscos45sinsin45() 2343417 ACBACBACB 故答案为： 17 17 16 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC外接球的表面积为52，1AB ，若ABC外接圆 的圆心 1 O在AC上，半径 1 1r ，则直三棱柱 111 ABCABC的体积为 6 【解答】解：如图，ABC外接圆的圆心 1 O在AC上， 1 O 为AC的中点，且ABC是以ABC为直角的直角三角形， 第 14 页（共 20 页） 由半径 1 1r ，得2AC ，又1AB ，3BC 把直三棱柱 111 ABCABC补形为长方体，设 1 B
28、Bx， 则其外接球的半径 222 1 1( 3) 2 Rx 又直三棱柱 111 ABCABC外接球的表面积为52， 2 452R，即13R 222 1 1( 3)13 2 Rx，解得4 3x 直三棱柱 111 ABCABC的体积为 1 134 36 2 故答案为：6 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：一）必考题： 共共 60
29、分。分。 17 （12 分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生 中随机抽取 50 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分） ， 将统计结果按如下方式分成八组： 第一组65，75)， 第二组75，85)，第八组135， 145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； （2） 用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分 （同一组中的数据用该组区 间的中点值代表该组数据平均值） ； （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2
30、名，求他们的分差的绝对 值小于 10 分的概率 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）由频率分布直方图得第七组的频率为： 1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004) 100.08 完成频率分布直方图如下： （2）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分为： 700.004 10800.012 10900.016 101000.030 101100.020 101200.006 101300.008 101400.004 10102 （3）样本成绩属于第六组的有0.00610503人，样本成绩属于第八组的有 0.00410502人，
31、 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名， 基本事件总数 2 5 10nC， 他们的分差的绝对值小于 10 分包含的基本事件个数 22 32 4mCC， 他们的分差的绝对值小于 10 分的概率 42 105 m p n 第 16 页（共 20 页） 18 （12 分）在等比数列 n a中，公比(0,1)q，且满足 3 2a ， 132435 225a aa aa a （1）求数列 n a的通项公式； （2） 设 2 l o g nn ba， 数列 n b的前n项和为 n S， 当 12 12 n SSS n 取最大值时， 求n的值 【解答】解： （1） 132435 225a
32、 aa aa a， 可得 222 224424 2()25aa aaaa， 由 3 2a ，即 2 1 2a q ，可得 1 0a ，由01q，可得0 n a ， 可得 24 5aa，即 3 11 5a qa q， 由解得 1 (2 2 q 舍去） ， 1 8a ， 则 14 1 8 ( )2 2 nn n a ； （2） 22 loglog 2 nn ba 4 4 n n ， 可得 2 17 (34) 22 n nn Snn ， 7 2 n Sn n ， 则 12 57 3 1222 n SSSn n 2 2 1713113169 (3)() 2244216 nnn nn ， 可得6n 或
33、7 时， 12 12 n SSS n 取最大值 21 2 则n的值为 6 或 7 19（12 分） 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且 2 2 s i n2 2 c o s3 0CC （1）求角C的大小； （2）若2ba，ABC的面积为 2 sinsin 2 AB，求sin A及c的值 【解答】解： （1） 2 2sin2 2cos30CC，可得： 2 2(1cos)2 2cos30CC， 2 2cos2 2cos10CC ， 2 cos 2 C ，0C， 3 4 C 第 17 页（共 20 页） （2） 222222 2cos325cababCaaa， 5ca ， si
34、n5sinCA， 110 sinsin 105 AC， 12 sinsinsin 22 ABC SabCAB ， 12 sinsinsin 22 abCAB， 2 sin() sin2 sinsinsin abc CC ABC ， 2sin1cC 20 （12 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形， 侧面PAB是正三角形，2AB ， 2BC ，6PC E、H分别为PA、AB的中点 （1）求证：PHAC； （2）求点P到平面DEH的距离 【解答】解： （1）证明：PAB为正三角形，2AB ， 2PBAB， 2BC ，6PC ， 222 PCBCPB 根据勾股定理得BCPB， ABC
35、D为矩形，BCAB， PB，AB 面PAB且交于点B，BC面PAB， BC 面ABCD，面PAB 面ABCD， 第 18 页（共 20 页） H为AB的中点，PAB为正三角形， PHAB，PH平面ABCD， AC 平面ABCD，PHAC （） 解：取CD中点E，以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HP为z轴，建立空间 直角坐标系， 则(0P，0，3)，(1D，2，0)，(1A，0，0)， 13 ( ,0,) 22 E，(0H，0，0)， (1HD ，2，0)， 13 ( ,0,) 22 HE ，(0HP ，0，3)， 设平面DEH的法向量(nx，y，) z， 则 20 13 0 22 n HD
36、xy n HExz ，取1y ，得(2n ，1， 2 ) 3 ， 点P到平面DEH的距离 |266 |1111 3 n HP d n 21 （12 分）已知函数 2 ( )f xlnxmx， 2 1 ( ) 2 g xmxx，mR，( )( )( )F xf xg x （1）讨论函数( )f x的单调区间及极值； （2）若关于x的不等式( )1F xmx恒成立，求整数m的最小值 【解答】解： （1）定义域为(0,)， 2 112 ( )2 mx fxmx xx ， 当0m时( )0fx恒成立，( )f x在(0,)上是增函数，无极值， 当0m 时令( )0fx， 1 0 2 x m ， 令(
37、)0fx， 1 2 x m ， 第 19 页（共 20 页） 所以函数( )f x在 1 (0,) 2m 上为增函数，在 1 ( 2m ，)为减函数， 所以当 1 2 x m 时，有极大值，极大值为 1 (21) 2 ln m，无极小值， （2） ：由( )1F xmx恒成立知 2 2(1) 2 lnxx m xx 恒成立， 令 2 2(1) ( ) 2 lnxx h x xx ， 则 22 2(1)(2) ( ) (2 ) xlnxx h x xx ， 令( )2xlnxx，因为 11 ( )40 22 ln，（1）10 ，则( ) x为增函数 故存在 0 1 (2x ，1)，使 0 ()0
38、x，即 00 20lnxx， 当 0 0xx时，( )0h x，( )h x为增函数，当 0 xx时，( )0h x，( )h x为减函数 所以 00 0 2 000 (1)1 ( )() 2 max ln xx h xh x xxx ， 而 0 1 (2x ，1)，所以 0 1 (1,2) x ，所以整数m的最小值为 2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy
39、中，曲线C的参数方程为 cos3sin ( sin3cos x y 为参数） ， 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标 方程为cos()2 6 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明： | |PAPB为定值 【解答】解： （1）由 2222 (cos3sin)(sin3cos)4xy， 得曲线 22 :4C xy 直线l的极坐标方程展开为 31 cossin2 22 ， 故l的直角坐标方程为340xy （2）显然P的坐标为(0, 4)，不妨设过点P的直线方程为 cos (
40、4sin xt t yt 为参数） ， 第 20 页（共 20 页） 代入 22 :4C xy得 2 8 sin120tt，设A，B对应的参数为 1 t， 2 t 所以 1 2 | | | 12PAPBt t为定值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |1|2|()f xxxmmR （1）若2m 时，解不等式( ) 3f x ； （2）若关于x的不等式( )|23|f xx在0x，1上有解，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）若2m 时，|1|22|3xx， 当1x时，原不等式可化为1 22 3xx 解得 4 3 x，所以 4 1 3 x剟， 当11x 时，原不等式可化为122 3xx 得0x，所以10x ， 当1x时，原不等式可化为122 3xx 解得 2 3 x，所以x， 综上述：不等式的解集为 4 |0 3 xx剟； （2）当0x，1时，由( )|23|f xx得1|2|32xxmx ， 即|2|2xmx， 故2 22xxmx剟得223xmx 剟， 又由题意知：(2)(23 ) minmax xmx 剟， 即32m 剟， 故m的范围为 3，2
