1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（文科）年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1 （5 分）设集合1A，2，6，2B ，4，1C ，2，3，4，则()(ABC ) A2 B1，2，4 C1，2，4，6 D1，2，3，4，6 2 （5 分）若复数z满足(1)2(i zi为虚数单位） ，则| (z ) A2 B3 C2 D1 3 （5 分）命题 0 :pxN， 2
2、 0 1x ，则p是( ) A 0 xN， 2 0 1x B 0 xN， 2 0 1x CxN ， 2 1x DxN ， 2 1x 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的S为 4，则输入的x应为( ) A2 B16 C2或 8 D2或 16 5 （5 分）已知 n a是等差数列， 10 10a，其前 10 项和 10 70S，则其公差(d ) A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 6 （5 分）设x，y满足约束条件 0 1 0 33 0 xy xy xy ，则目标函数2zxy的最大值为( ) 第 2 页（共 18 页） A4 B6 C8 D16 7 （5 分）把函数sin()
3、 6 yx 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再 将图象向右平移 3 个单位，那么所得图象的一个对称中心为( ) A( 3 ，0) B( 4 ，0) C(12 ，0) D(0,0) 8 （5 分） 九章算术中将底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体称为刍甍（刍甍字面意 思为茅草屋顶） ，现有一刍甍的三视图如图所示，则该刍甍的体积为( ) A 2 3 B 5 6 C1 D 5 3 9 （5 分）在直角梯形ABCD中，90ADC，1AB ，2ADDC，则(AC BD ) A2 B2 C3 D6 10（5 分） 已知直三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上， 若
4、1AB ，3AC ， ABAC， 1 2 3AA ，则球O的表面积为( ) A4 B8 C16 D32 11 （5 分）设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点是F，左、右顶点分别是 1 A， 2 A，过 F作直线 12 A A的垂线与双曲线交于B，C两点，若 12 ABA C，则该双曲线的离心率为( ) A3 B 3 2 C 3 2 D2 12（5 分） 利用计算机产生0 3之间的均匀随机数a、x， 则事件 “log0(0 ax a且1)a ” 第 3 页（共 18 页） 发生的概率为( ) A 2 3 B 4 9 C 1 9 D 5 9 二、填空题（本大题共二、填空题
5、（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡相应位置上）分将答案填在答题卡相应位置上） 13 （5 分）某校 1200 名学生中，O型血有 450 人，A型血有 350 人，B型血有 250 人，AB 型血有 150 人，从中抽取容量为 48 的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则要抽取的A 型血的人数为 14 （5 分）已知( )( )2g xf xx为偶函数，且( 1)1f 则f（1） 15 （5 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 右顶点到直线2 20xy 的距离为 3，则椭圆C的方程为 16 （5
6、分）数列 n a满足 1 1a ， 1 21 n n n a a a ，*nN，则通项 n a 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知( )f xa b，其中(1, 3sin2 )ax，(cos2 , 1)bx，xR （）求( )f x的单调递减区间； （）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）2 ，2 3a ， 且向量(2,sin )mB与(1,sin)nC共线，求边长b和c的值 18 （12 分）为了改善空气质量，某市规定，从 2014
7、 年 3 月 1 日起，对二氧化碳排放量超 过130/g km的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进 行碳排放检测，记录如下： （单位：/)g km 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x 100 160 经测算得乙品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为120/xg km 乙 （）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性； （）从被检测的 5 辆甲品牌汽车中随机抽取 2 辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130/g km的概率是多少？ （注：方差 2222 12 1 ()()() n sxxxxxx n ，其中x为 1
8、 x， 2 x， n x的平均数） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E为PD 的中点 第 4 页（共 18 页） （）证明：/ /PB平面AEC； （）设1AP ，3AD ，三棱锥PABD的体积 3 4 V ，求A到平面PBC的距离 20 （12 分）已知抛物线 2 2ypx的焦点为F，若该抛物线上有一点A，满足直线FA的倾 斜角为120，且| 4FA ， （1）求抛物线方程； （2）若抛物线上另有两点B，C满足0FAFBFC，求直线BC的方程 21 （12 分）已知函数( )f xxlnx ( ) l求( )f x的单调区间和极值； （2）
9、若对任意 2 3 (0,),( ) 2 xmx xf x 恒成立，求实数m的最大值 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆C的圆心( 2C，) 4 ，且圆C经过点(12P，) 2 （）求圆C的普通方程； （）已知直线l的参数方程为 2cos ( 2sin xt t yt 为参数） ，0， 4 ，点(2,2)M，直线l 交圆C于A，B两点，求|MAMB的取值范围 选修选修
10、4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 5 页（共 18 页） 23设函数( ) |2| 2|1|()f xxxxR的最小值为a （）求a； （）已知两个正数m，n满足 22 mna，求 11 mn 的最小值 第 6 页（共 18 页） 2020 年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（文科）年内蒙古阿拉善盟高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1 （5 分）设集合1A，2，6，2B ，
11、4，1C ，2，3，4，则()(ABC ) A2 B1，2，4 C1，2，4，6 D1，2，3，4，6 【解答】解：集合1A，2，6，2B ，4，1C ，2，3，4， ()1ABC，2，4，61，2，3，41，2，4 故选：B 2 （5 分）若复数z满足(1)2(i zi为虚数单位） ，则| (z ) A2 B3 C2 D1 【解答】解：复数z满足(1)2i z， 22(1) 1 1(1)(1) i zi iii ， 22 |1( 1)2z ， 故选：C 3 （5 分）命题 0 :pxN， 2 0 1x ，则p是( ) A 0 xN， 2 0 1x B 0 xN， 2 0 1x CxN ， 2
12、 1x DxN ， 2 1x 【解答】 解： 因为特称命题的否定是全称命题， 所以， 命题 0 :pxN， 2 0 1x ， 则p是xN ， 2 1x ； 故选：D 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的S为 4，则输入的x应为( ) 第 7 页（共 18 页） A2 B16 C2或 8 D2或 16 【解答】解；由程序框图知：算法的功能是求 2 21 log1 x x S xx 的值， 当1x时，输出的4242 x Sx ； 当1x 时，输出的 2 4log416Sxx 故选：D 5 （5 分）已知 n a是等差数列， 10 10a，其前 10 项和 10 70S，则其公差(d )
13、A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 【解答】解：设 n a的公差为d，首项为 1 a，由题意得 1 1 910 10 9 1070 2 ad ad ，解得 1 4 2 3 a d ， 故选：D 6 （5 分）设x，y满足约束条件 0 1 0 33 0 xy xy xy ，则目标函数2zxy的最大值为( ) A4 B6 C8 D16 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：满足约束条件 0 1 0 33 0 xy xy xy 的平面区域如下图所示： 10 330 xy xy 2 3 y x ； (3,2)C 平移直线2yx ， 由图易得，当过点C时，目标函数2zxy的最大值为2328
14、， 故选：C 7 （5 分）把函数sin() 6 yx 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再 将图象向右平移 3 个单位，那么所得图象的一个对称中心为( ) A( 3 ，0) B( 4 ，0) C(12 ，0) D(0,0) 【解答】解：把函数sin() 6 yx 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 可得函数 1 sin() 26 yx 的图象； 再将图象向右平移 3 个单位，可得 11 sin ()sin 2362 yxx 的图象， 令 1 2 xk，求得2xk，kZ，那么所得图象的对称中心为(2,0)kkZ， 故选：D 8 （5 分） 九章算术中
15、将底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体称为刍甍（刍甍字面意 思为茅草屋顶） ，现有一刍甍的三视图如图所示，则该刍甍的体积为( ) 第 9 页（共 18 页） A 2 3 B 5 6 C1 D 5 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 所以： 115 1 1 11 1 1 326 V 故选：B 9 （5 分）在直角梯形ABCD中，90ADC，1AB ，2ADDC，则(AC BD ) A2 B2 C3 D6 【解答】解：()()AC BDADDC BAADAD BAAD ADDC BADC AD， 因为四边形ABCD是直角梯形， 所以0AD BA，0DC AD ， 则 2
16、| |cos18042 1 ( 1)2AC BDAD ADDC BAADDCBA ， 故选：A 10（5 分） 已知直三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上， 若1AB ，3AC ， ABAC， 1 2 3AA ，则球O的表面积为( ) A4 B8 C16 D32 第 10 页（共 18 页） 【解答】 解： 由直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直 角三角形 1AB ，3AC ，ABAC，外接圆的半径 22 11 1( 3)1 22 rBC， 球心到底面的距离 1 1 3 2 hAA， 球的半径满足 22222 1( 3)4Rrh， 球O的表面
17、积为 2 416R 故选：C 11 （5 分）设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点是F，左、右顶点分别是 1 A， 2 A，过 F作直线 12 A A的垂线与双曲线交于B，C两点，若 12 ABA C，则该双曲线的离心率为( ) A3 B 3 2 C 3 2 D2 【解答】解：由题意可设( ,0)F c， 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a， 令xc，代入双曲线的方程可得 22 2 1 cb yb aa ， 可设 2 ( ,) b B c a ， 2 ( ,) b C c a ， 由 12 ABA C，可得 12 1 A BA C kk ， 即有 22 1 bb
18、 aa ca ac ， 即为 422222 ()ba caa b， 第 11 页（共 18 页） 则ab，2ca， 可得2 c e a 故选：D 12（5 分） 利用计算机产生0 3之间的均匀随机数a、x， 则事件 “log0(0 ax a且1)a ” 发生的概率为( ) A 2 3 B 4 9 C 1 9 D 5 9 【解答】解：满足“log0(0 ax a且1)a ”的等价条件 1 1 a x 或者 01 01 a x ，所以( , )x a 满足的区域如图 由几何概型得事件“log0(0 ax a且1)a ”发生的概率为1 1 225 3 39 ； 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空
19、题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡相应位置上）分将答案填在答题卡相应位置上） 13 （5 分）某校 1200 名学生中，O型血有 450 人，A型血有 350 人，B型血有 250 人，AB 型血有 150 人，从中抽取容量为 48 的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则要抽取的A 型血的人数为 14 【解答】解：有 1200 人，样本容量是 48， 每个个体被抽到的概率是 481 120025 p ， 又A型血有 350 人， A型血的人要抽取 1 35014 25 （人) 故答案为：14 第 12 页（共 18 页） 14 （5 分）已知
20、( )( )2g xf xx为偶函数，且( 1)1f 则f（1） 3 【解答】解：依题意，f（1）2( 1)2f ，即f（1）( 1)43f 故答案为：3 15 （5 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 右顶点到直线2 20xy 的距离为 3，则椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 【解答】解：由题意的方程可得右顶点( ,0)a，由题意可得 2 2 c a ，且 |2 2 | 3 2 a ， 222 bac，解得 2 2a ， 2 1b ，所以椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y； 故答案为： 2 2 1 2 x y 16 （5 分）数列 n
21、 a满足 1 1a ， 1 21 n n n a a a ，*nN，则通项 n a 1 21n 【解答】解：数列 n a满足 1 1a ， 1 21 n n n a a a ， * nN， 1 2111 2 n nnn a aaa ，又 1 1 1 a ， 1 n a 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 1 1(1)221 n nn a ， 1 21 n a n 故答案为： 1 21n 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知( )f xa b，其中(1,
22、3sin2 )ax，(cos2 , 1)bx，xR （）求( )f x的单调递减区间； （）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）2 ，2 3a ， 且向量(2,sin )mB与(1,sin)nC共线，求边长b和c的值 【解答】 解：（）( )(1f xa b，3sin2 )(cos2xx，1)cos23sin22cos(2) 3 xxx ， 令222 3 kxk 剟，()kZ，解得 63 kxk 剟，()kZ， 所以函数的单调递减区间为 6 k ，() 3 kkZ ， 第 13 页（共 18 页） （）由（）得f（A）2cos(2)2 3 A ，解得 3 A ， 因为向量
23、(2,sin )mB与(1,sin)nC共线， 所以2sinsinCB，根据正弦定理可知2cb， 再由余弦定理可得 2222 2 5121 cos 242 bcac A bcc ， 解得2c ，所以4b 18 （12 分）为了改善空气质量，某市规定，从 2014 年 3 月 1 日起，对二氧化碳排放量超 过130/g km的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进 行碳排放检测，记录如下： （单位：/)g km 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x 100 160 经测算得乙品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为120/xg km 乙 （）求表
24、中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性； （）从被检测的 5 辆甲品牌汽车中随机抽取 2 辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130/g km的概率是多少？ （注：方差 2222 12 1 ()()() n sxxxxxx n ，其中x为 1 x， 2 x， n x的平均数） 【解答】解：() I由已知得 100120100160 120 5 x x 乙 ， 120x（2 分） 又 80110120140150 120 5 x 甲 （3 分） 222222 1(80 120)(110120)(120120)(140120)150120)600 5 s 甲 （4 分） 222
25、222 1(100 120)(120120)(120120)(100120)160120)480 5 s 乙 （5 分） 22 ss 乙甲 ，所以乙品牌稳定（6 分） ()II设甲品牌五辆车的排气量分别代表五辆汽车，则从中选取两辆，所有的结果为： (80,110)，(80,120)，(80,140)，(80,150)，(110,120)， (110,140)，(110,150)，(120,140)，(120,150)，(140,150)，共 10 个（3 分） 其中至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km有： (80,140)，(80,150)，(110,140)，(110，150)(12
26、0，140)，(120,150)，(140,150)，共 7 个 第 14 页（共 18 页） （6 分） 所以从被检测的5辆甲品牌汽车中任取2辆， 则至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km的 概率是 7 10 （7 分） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E为PD 的中点 （）证明：/ /PB平面AEC； （）设1AP ，3AD ，三棱锥PABD的体积 3 4 V ，求A到平面PBC的距离 【解答】解： （）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO， ABCD是矩形， O为BD的中点 E为PD的中点， / /EOPB EO 平面AEC，
27、PB 平面AEC / /PB平面AEC； （）1AP ，3AD ，三棱锥PABD的体积 3 4 V ， 133 664 VPA AB ADAB， 3 2 AB， 2 313 1( ) 22 PB 作AHPB交PB于H， 由题意可知BC 平面PAB， BCAH， 故AH 平面PBC 第 15 页（共 18 页） 又在三角形PAB中，由等面积法可得： 3 13 13 PA AB AH PB A到平面PBC的距离 3 13 13 20 （12 分）已知抛物线 2 2ypx的焦点为F，若该抛物线上有一点A，满足直线FA的倾 斜角为120，且| 4FA ， （1）求抛物线方程； （2）若抛物线上另有两点
28、B，C满足0FAFBFC，求直线BC的方程 【解答】解： （1）如图，设抛物线的准线为l，过A作AMl，垂足为M 由| 4AF 可得| 4AM ，由120AFx， 可知| |cos606NFAMAF，由抛物线的定义可得| 6pNF， 即抛物线方程为 2 12yx （2）由（1）可知点(1,2 3)A，可设点 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y， 由0FAFBFC，可得： 1122 ( 2,2 3)(3,)(3,)(0,0)xyxy， 即得 12 8xx， 12 2 3yy ， 即BC中点坐标为(4,3)， 2 11 12yx， 2 22 12yx， 第 16 页（共 18 页
29、） 22 1112 12()yyxx， 而BC斜率 12 1212 12 2 3 yy k xxyy ， 直线BC方程为：32 3(4)yx ， 整理为：2 37 30xy， 21 （12 分）已知函数( )f xxlnx ( ) l求( )f x的单调区间和极值； （2）若对任意 2 3 (0,),( ) 2 xmx xf x 恒成立，求实数m的最大值 【解答】解 （1）( )f xxlnx， ( )1fxlnx， ( )0fx有 1 x e ，函数( )f x在 1 ( ,) e 上递增，( )0fx有 1 0x e ， 函数( )f x在 1 (0, ) e 上递减， ( )f x在 1
30、 x e 处取得极小值，极小值为 11 ( )f ee （2） 2 2 ( )3f xxmx 即 2 23mxx lnxx，又0x ， 2 23x lnxx m x ， 令 2 23 ( ) x lnxx h x x ， 222 22 (23)(23)23 ( ) x lnxxxx lnxxxxx h x xx 令( )0h x，解得1x 或3x （舍) 当(0,1)x时，( )0h x，函数( )h x在(0,1)上递减 当(1,)x时，( )0h x，函数( )h x在(1,)上递增， 第 17 页（共 18 页） ( )minh xh（1）4 4m ， 即m的最大值为 4 请考生在第请考
31、生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆C的圆心( 2C，) 4 ，且圆C经过点(12P，) 2 （）求圆C的普通方程； （）已知直线l的参数方程为 2cos ( 2sin xt t yt 为参数） ，0， 4 ，点(2,2)M，直线l 交圆C于A，B两点，求|MAMB的取值范围 【解答】解：( ) I圆C的圆心( 2C，) 4 即(1,1)，且圆C经过点(12P，) 2 即 2 (1
32、2 ， 2 1) 2 可得半径 22 22 ()()1 22 r 圆C的普通方程为： 22 (1)(1)1xy （）已知直线l的参数方程为 2cos ( 2sin xt t yt 为参数） ，0， 4 ，点(2,2)M，直线l 交圆C于A，B两点， 把直线l的参数方程代入圆的方程可得： 2 2 (cossin)10tt ， 12 2 (cossin)ttt ， 1 2 1t t ，0， 4 ， 44 ， 2 ， 12 | | 2 2sin()2 4 MAMBtt ，2 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |2| 2|1|()f xxxxR的最小值为a （）求a； （
33、）已知两个正数m，n满足 22 mna，求 11 mn 的最小值 【解答】解： （）2x ，( )2223f xxxx ，函数( )f x单调递减，没有最小值； 21x 剟，( )222f xxxx ，单调递减最小值为f（1）1， 1x ，( )2233f xxxx，单调递增，没有最小值， 第 18 页（共 18 页） 综上所述( )1 min f x，所以1a （ ） 由 （ ） 得 ： 22 1mn， 由 题 意 设cosm，sinn，(0,) 2 ， 令 c o ss i n2 s i n ()(1 4 tmn ，2， 2 12tmn ，所以 2 1 2 t mn ， 所以 22 1122 1 11 2 mntt tmnmnt t t ，(1, 2t， 令 1 ( )g tt t ，(1, 2t， 2 1 ( )10g t t 恒成立，且( )0g t ，所以( )g t单调递增，所以 2 ( ) ( ) f t g t 单调递减， 2 2 2 ( 2)2 2 ( 2)1 min f ， 所以 11 mn 的最小值为：2 2
