1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年北京市人大附中高考数学模拟试卷（年北京市人大附中高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每道小题给出的四个备选答分在每道小题给出的四个备选答 案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ）案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ） 1 （4 分）若集合|320AxRx， 2 |230BxR xx，则(AB ) A|1xR x B 2 | 1 3 xRx C 2 |3 3 xRx D|3xR x 2 （4
2、分）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若向量ab与c共线，则实 数( ) A2 B1 C1 D2 3 （4 分） 设曲线C是双曲线， 则 “C的方程为 2 2 1 4 y x ” 是 “C的渐近线方程为2yx ” 的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且 只须和其他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分若冠军获 得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A4 B5 C6 D7 5 （4
3、分）若抛物线 2 2(0)ypx p上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则p的取值范围是( ) A1p B1p C2p D2p 6 （4 分）已知函数( )cos(2)(f xx 为常数）为奇函数，那么cos( ) A 2 2 B0 C 2 2 D1 第 2 页（共 22 页） 7 （4 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为( ) A4 B2 2 C7 D2 8 （4 分）已知函数 21,0 ( ) (1),0 x x f x f xx ，若方程( )f xxa有且只有两个不相等的实数 根，则实数a的取值范围是( ) A(,1) B(，1 C(0,1) D0，) 9 （4 分）
4、定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个 1 x， 212 ()x xx，均有 1212 |( )()|f xf xk xx成立，则称函数( )f x在定义域D上满足利普希茨条件若函 数( )(1)f xx x满足利普希茨条件，则常数k的最小值为( ) A4 B3 C1 D 1 2 10 （4 分）在边长为 1 的正方体中，E，F，G，H分别为 11 AB， 11 C D，AB，CD的中 点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动， 且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点 P运动的路程为x，在02x剟时，V与x的图
5、象应为( ) 第 3 页（共 22 页） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）代数式 5 (1)(1)xx的展开式中 3 x的系数为 12 （5 分）在复平面内，复数12zi 对应的点到原点的距离是 13 （5 分）已知函数若 4 2 |,04, ( ) 1025,4. log xx f x xxx ，a，b，c，d是互不相同的正数，且f （a）f（b）f（c）f（d） ，则abcd的取值范围是 14 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的一条渐近线的倾斜角为60，且与
6、椭圆 2 2 1 5 x y有 相等焦距，则C的方程为 15（5 分） 设 n S为等差数列 n a的前n项和， 若 1 1a ， 公差2d ， 2 36 nn SS ， 则n 16 （5 分）如果对于函数( )f x定义域内任意的两个自变量的值 1 x， 2 x，当 12 xx时，都有 12 ()()f xf x，且存在两个不相等的自变量值 1 y， 2 y，使得 12 ()()f yf y，就称( )f x为 定义域上的不严格的增函数 则 ,1 ( )0, 11 ,1 x x f xx x x ， 1, 2 ( ) sin , 22 x f x xx ， 1,1 ( )0, 11 1,1
7、x f xx x ， ,1 ( ) 1,1 x x f x xx ， 四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数( )g x的定义域、值域分别为A、B， 1A，2，3，BA，且( )g x为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的( )g x有 第 4 页（共 22 页） 个 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 17 （13 分）已知 n a是各项为正数的等差数列， n S为其前n项和，且 2 4(1) nn Sa （）求 1 a， 2 a的值及 n a的通项公式；
8、 （）求数列 7 2 nn Sa的最小值 18 （14 分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD 平面ABE， 90AEB，BEBC，F为CE的中点， （1）求证：/ /AE平面BDF； （2）求证：平面BDF 平面ACE； （3）2AEEB，在线段AE上找一点P，使得二面角PDBF的余弦值为 10 10 ，求AP 的长 19 （13 分）某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景 点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分每项评分最低分 0 分，最高分 100 分 每个景点总分为这五项得分之和， 根据考核评分结果， 绘制交通得
9、分与安全得分散点图、 交通得分与景点总分散点图如图： 请根据图中所提供的信息，完成下列问题： 第 5 页（共 22 页） （1）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率； （2） 若从景点总分排名前6名的景点中任取3个， 记安全得分不大于90分的景点个数为， 求随机变量的分布列和数学期望； （3） 记该市 26 个景点的交通平均得分为 1 x， 安全平均得分为 2 x， 写出 1 x和 2 x的大小关系？ （只写出结果） 20 （14 分）已知函数 1 ( )f xxalnx x （）求( )f x在(1，f（1）)处的切线方程（用含a的式子表示） （）
10、讨论( )f x的单调性； （）若( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 12 ( )() 2 f xf x a xx 21 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆C的短 半轴长为半径的圆与直线60xy相切 （）求椭圆方程； （）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于)S， 直线PS，QS分别交直线4x 于A，B两点求证：A，B两点的纵坐标之积为定值 22 （13 分）给定一个n项的实数列 * 12 ,() n a aa nN，任意选取一个实数c，变换T（c） 将数列 1 a
11、， 2 a， n a变换为数列 1 |ac， 2 |ac，| n ac，再将得到的数列继 续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相 同，第 * ()k kN次变换记为() kk T c，其中 k c为第k次变换时选择的实数如果通过k次 变换后，数列中的各项均为 0，则称 11 ( )T c， 22 ()T c，() kk T c为“k次归零变换” （）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换” ，其中4k； （）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换” ； （）对于数列 1， 2 2， 3 3， n n，是否存在“1n 次归零变换”？请说明理由 第
12、 6 页（共 22 页） 2020 年北京市人大附中高考数学模拟试卷（年北京市人大附中高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每道小题给出的四个备选答分在每道小题给出的四个备选答 案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ）案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上 ） 1 （4 分）若集合|320AxRx， 2 |230BxR xx，则(AB ) A|1xR x B 2 | 1 3 xRx C 2 |3 3
13、xRx D|3xR x 【解答】解： 2 | 3 AxR x ，|1BxR x ，或3x ； |3ABxR x 故选：D 2 （4 分）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若向量ab与c共线，则实 数( ) A2 B1 C1 D2 【解答】解：根据图形可看出2abc； 满足2ab与c共线； 2 故选：D 3 （4 分） 设曲线C是双曲线， 则 “C的方程为 2 2 1 4 y x ” 是 “C的渐近线方程为2yx ” 的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：C的方程为 2 2 1 4 y x ，则双曲线的渐近线方程为2yx ，
14、即充分性成立， 第 7 页（共 22 页） 双曲线 2 2 1 4 y x的渐近线方程也是2yx ，即必要性不成立， 故“C的方程为 2 2 1 4 y x ”是“C的渐近线方程为2yx ”的充分不必要条件， 故选：A 4 （4 分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且 只须和其他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分若冠军获 得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A4 B5 C6 D7 【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠 军与其他匹配场次中，
15、平均至少为 3 场， A选项：若最少 4 人，当冠军 3 次平局时，得 3 分，其他人至少 1 胜 1 平局，最低得 3 分， 故A不成立， B选项：若最少 5 人，当冠军 1 负 3 平局时，得 3 分，其他人至少 1 胜 1 平，最低得 3 分， 不成立， 当冠军 1 胜 3 平局时，得 5 分，其他人至少 2 胜 1 平，最低得 5 分，不成立，故B不成立， C选项：若最少 6 人，当冠军 2 负 3 平局时，得 3 分，其他人至少 1 胜 1 平，最低得 3 分， 不成立， 当冠军 1 胜 4 平局时，得 6 分，其他人至少 2 胜 1 平，最低得 5 分，成立，故C成立， D选项：7
16、6，故不为最少人数，故不成立， 故选：C 5 （4 分）若抛物线 2 2(0)ypx p上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则p的取值范围是( ) A1p B1p C2p D2p 【解答】解：设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线： 2 p x 的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值 2 p 1 2 p ，即2p 故选：D 第 8 页（共 22 页） 6 （4 分）已知函数( )cos(2)(f xx 为常数）为奇函数，那么cos( ) A 2 2 B0 C 2 2 D1 【解答】解：由于函数( )cos(2)(f xx 为常数）为奇函数， 则 2 k ，kz
17、，cos0， 故选：B 7 （4 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为( ) A4 B2 2 C7 D2 【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥SABCD， 由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为 2 的正方形， 顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点， 由主视图可知3SM ， 5AM， 22 2 2SAAMSM 由对称性可知2 2SBSA 几何体最长的棱为2 2 故选：B 第 9 页（共 22 页） 8 （4 分）已知函数 21,0 ( ) (1),0 x x f x f xx ，若方程( )f xxa有且只有两个不相等的实数 根，则实数a的取值范围是( ) A(,1)
18、B(，1 C(0,1) D0，) 【解答】解：函数 21,0 ( ) (1),0 x x f x f xx 的图象如图所示， 当1a 时，函数( )yf x的图象与函数yxa的图象有两个交点， 即方程( )f xxa有且只有两个不相等的实数根 故选：A 9 （4 分）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个 1 x， 212 ()x xx，均有 1212 |( )()|f xf xk xx成立，则称函数( )f x在定义域D上满足利普希茨条件若函 数( )(1)f xx x满足利普希茨条件，则常数k的最小值为( ) A4 B3 C1 D 1 2 【解答】解：由已知中中利普希茨条件的定义
19、若函数( )(1)f xx x满足利普希茨条件， 第 10 页（共 22 页） 所 以 存 在 常 数k， 使 得 对 定 义 域1，)内 的 任 意 两 个 1 x， 212 ()x xx， 均 有 1212 |( )()|f xf xk xx成立， 不妨设 12 xx，则 12 12 12 1xx k xxxx 而 12 11 0 2xx ，所以k的最小值为 1 2 故选：D 10 （4 分）在边长为 1 的正方体中，E，F，G，H分别为 11 AB， 11 C D，AB，CD的中 点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动， 且点P与点Q运动的速度相等
20、，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点 P运动的路程为x，在02x剟时，V与x的图象应为( ) A B C D 【解答】解： （1）当 1 0 2 x剟时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何 体PEFQ分割为相等的几何体， 第 11 页（共 22 页） 11 1 1 22 OEF S ，P到面OEF的距离为x， 11 222 3263 PEFQP OEF xx VVx ， 2 3 （2）当 13 22 x 时，P在AB上，Q在 11 C D上，P到 1 2 ， 11 1 1 22 OEF S ， 1111 22 3226 PEFQP OEF VV 定值 （3）当
21、3 2 2 x 时， 11 1 1 22 OEF S ，P到面OEF的距离为2x， 1121 22(2) 3233 PEFQP OEF VVxx ， 1 ,0 32 1 13 , 6 22 213 ,2 332 x x Vx xx 剟 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）代数式 5 (1)(1)xx的展开式中 3 x的系数为 0 【解答】解： 50122334455 555555 (1)(1)(1)()xxx CC xCxCxCxCx， 第 12 页（共 22 页） 5 (1)(1)xx 展开式
22、中 3 x的系数为 32 55 110CC 故答案为：0 12 （5 分）在复平面内，复数12zi 对应的点到原点的距离是 5 【解答】解：复数12zi 对应的点(1, 2)到原点的距离 22 1( 2)5d 故答案：5 13 （5 分）已知函数若 4 2 |,04, ( ) 1025,4. log xx f x xxx ，a，b，c，d是互不相同的正数，且f （a）f（b）f（c）f（d） ，则abcd的取值范围是 (24,25) 【解答】解：先画出函数 4 2 |,04, ( ) 1025,4. log xx f x xxx 的图象，如图： a，b，c，d互不相同，不妨设abcd 且f（a
23、）f（b）f（c）f（d） ， 而 44 loglogab，即有 44 loglog0ab， 可得1ab ， 则abcdcd， 由10cd，可得 2 ()25 2 cd cd ， 且 2 (10)(5)25cdccc ， 当4c 时，6d ，24cd ，但此时b，c相等， 故abcd的范围为(24,25) 故答案为：(24,25) 14 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的一条渐近线的倾斜角为60，且与椭圆 2 2 1 5 x y有 第 13 页（共 22 页） 相等焦距，则C的方程为 2 2 1 3 y x 【解答】 解： 由椭圆的方程可得焦距为 4， 再由双曲线的渐近
24、线方程可得：tan603 b a ， 由题意可得 22 4ab，解得： 2 1a ， 2 3b ， 所以双曲线的方程为： 2 2 1 3 y x ； 故答案为： 2 2 1 3 y x 15 （5 分）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a ，公差2d ， 2 36 nn SS ，则n 8 【解答】解：等差数列 n a的首项 1 1a ，公差2d ， 则 2 2 (1) 2 n n n Snn ， 2 2 (2) n Sn ， 由 2 36 nn SS ，得 22 (2)2(22)36nnn，解得：8n 故答案为：8 16 （5 分）如果对于函数( )f x定义域内任意的两个自变
25、量的值 1 x， 2 x，当 12 xx时，都有 12 ()()f xf x，且存在两个不相等的自变量值 1 y， 2 y，使得 12 ()()f yf y，就称( )f x为 定义域上的不严格的增函数 则 ,1 ( )0, 11 ,1 x x f xx x x ， 1, 2 ( ) sin , 22 x f x xx ， 1,1 ( )0, 11 1,1 x f xx x ， ,1 ( ) 1,1 x x f x xx ， 四个函数中为不严格增函数的是 ， 若已知函数( )g x的定义域、 值域分别为A、B， 1A，2，3，BA，且( )g x为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的( )g
26、 x有 个 【解答】解：由已知中：函数( )f x定义域内任意的两个自变量的值 1 x， 2 x， 第 14 页（共 22 页） 当 12 xx时，都有 12 ()()f xf x， 且存在两个不相等的自变量值 1 y， 2 y，使得 12 ()()f yf y， 就称( )f x为定义域上的不严格的增函数 ,1 ( )0, 11 ,1 x x f xx x x ，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数； 1, 2 ( ) sin , 22 x f x xx ，当 1 2 x ， 2 ( 2 x ，) 2 ， 12 ( )()f xf x，故不是不严格的 增函数； 1,1 ( )0, 11 1
27、,1 x f xx x ，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数； ,1 ( ) 1,1 x x f x xx ，当 1 1 2 x ， 2 3 (1, ) 2 x ， 12 ( )()f xf x，故不是不严格的增函数； 故已知的四个函数中为不严格增函数的是； 函数( )g x的定义域、值域分别为A、B，1A，2，3，BA，且( )g x为定义域A上 的不严格的增函数， 则满足条件的函数( )g x有： g（1）g（2）g（3）1， g（1）g（2）g（3）2， g（1）g（2）g（3）3， g（1）g（2）1，g（3）2， g（1）g（2）1，g（3）3， g（1）g（2）2，g（3）3，
28、 g（1）1，g（2）g（3）2， g（1）1，g（2）g（3）3， g（1）2，g（2）g（3）3， 故这样的函数共有 9 个， 故答案为：；9 第 15 页（共 22 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 17 （13 分）已知 n a是各项为正数的等差数列， n S为其前n项和，且 2 4(1) nn Sa （）求 1 a， 2 a的值及 n a的通项公式； （）求数列 7 2 nn Sa的最小值 【解答】解： （） 2 4(1) nn Sa， 当1n
29、时， 2 11 4(1)aa，解得 1 1a ， 当2n 时， 2 22 4(1)(1)aa，解得 2 1a 或 2 3a ， n a是各项为正数的等差数列， 2 3a，得 n a的公差 21 2daa， 数列 n a的通项公式 1 (1)21 n aandn； （） 2 4(1) nn Sa， 2 2 (21 1) 4 n n Sn ， 222 777735 (21)7() 22224 nn Sannnnn， 当3n 或4n 时， 7 2 nn Sa取得最小值为 17 2 18 （14 分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD 平面ABE， 90AEB，BEBC，F为
30、CE的中点， （1）求证：/ /AE平面BDF； （2）求证：平面BDF 平面ACE； （3）2AEEB，在线段AE上找一点P，使得二面角PDBF的余弦值为 10 10 ，求AP 的长 第 16 页（共 22 页） 【解答】证明： （1）设ACBDG，连接FG，易知G是AC的中点， F是EC中点 在ACE中，/ /FGAE，（2 分） AE 平面BFD，FG 平面BFD， / /AE平面BFD（4 分） （2）平面ABCD 平面ABE，BCAB， 平面ABCD平面ABEAB， BC平面ABE，又AE 平面ABE， BCAE， 又AEBE，BCBEB， AE平面BCE，即AEBF，（6 分） 在
31、BCE中，BECB，F为CE的中点， BFCE，AECEE， BF平面ACE， 又BF 平面BDF， 平面BDF 平面ACE（8 分） （3）如图建立坐标系，设1AE ， 则(2B，0，0)，(0D，1，2)，(2C，0，2)，(1F，0，1)， 设(0P，a，0)，( 2,1,2)BD ，( 1,0,1)BF ，(2,0)PBa 设 1 n 面BDF，且 1111 ( ,)nx y z， 则由 1 nBD得 111 220xyz， 由 1 nBF得 11 0xz， 令 1 1z 得 1 1x ， 1 0y ，从而 1 (1,0,1)n （10 分） 设 2 n 面BDP，且 2222 (,)
32、nxyz，则 由 2 nBD得 222 220xyz， 由 2 nPB得 22 20xay， 第 17 页（共 22 页） 令 2 2y 得 2 xa， 2 1za，从而 2 ( ,2,1)naa， 12 22 12 |1|10 cos 10| | 24(1) n naa nn aa ， 解得0a 或1a （舍) 即P在E处（14 分） 19 （13 分）某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景 点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分每项评分最低分 0 分，最高分 100 分 每个景点总分为这五项得分之和， 根据考核评分结果， 绘制交通得分与安全
33、得分散点图、 交通得分与景点总分散点图如图： 请根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率； （2） 若从景点总分排名前6名的景点中任取3个， 记安全得分不大于90分的景点个数为， 求随机变量的分布列和数学期望； （3） 记该市 26 个景点的交通平均得分为 1 x， 安全平均得分为 2 x， 写出 1 x和 2 x的大小关系？ （只写出结果） 【解答】解： （1）由图象可知交通得分排名前 5 名的景点中，安全得分大于 90 分的景点有 第 18 页（共 22 页） 3 个， 从交通得分排名前 5 名的景点中任取
34、 1 个，其安全得分大于 90 分的概率为 3 5 （2）结合两图象可知景点总分排名前 6 名的景点中，安全得分不大于 90 分的景点有 2 个， 的可能取值为 0，1，2 3 4 3 6 1 (0) 5 C P C ， 21 42 3 6 3 (1) 5 C C P C ， 12 42 3 6 1 (2) 5 C C P C ， 的分布列为： 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 131 ( )0121 555 E （3）由图象可知 26 个景点的交通得分全部在 80 分以上，主要集中在 85 分附近， 安全得分主要集中在 80 分附近，且 80 分以下的景点接近一半，故而 12 xx 2
35、0 （14 分）已知函数 1 ( )f xxalnx x （）求( )f x在(1，f（1）)处的切线方程（用含a的式子表示） （）讨论( )f x的单调性； （）若( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 12 ( )() 2 f xf x a xx 【解答】解： （） 1 ( )(0)f xxalnx x x 2 2 1 ( )(0) xax fxx x 当1x 时，f（1）0，f（1）2a ， 设切线方程为( 2)ya xb ，代入(1,0)，得2ba， ( )f x在(1，f（1）)处的切线方程为2yxa （）函数的定义域为(0,)， 函数的导数 2 2 1 ( )
36、xax fx x ， 设 2 ( )1g xxax ，注意到(0)1g ， 当0a时，( )0g x 恒成立，即( )0fx恒成立，此时函数( )f x在(0,)上是减函数； 当0a 时，判别式 2 4a， 第 19 页（共 22 页） 1当02a 时，0，即( ) 0g x ，即( ) 0fx恒成立，此时函数( )f x在(0,)上是减函 数； 2当2a 时，令( )0fx，得： 22 44 22 aaaa x ； 令( )0fx，得： 2 4 0 2 aa x 或 2 4 2 aa x ； 当2a 时，( )f x在区间 2 4 ( 2 aa ， 2 4 ) 2 aa 单调递增，在 2 4
37、 (0,) 2 aa ， 2 4 ( 2 aa ，)单调递减； 综上所述，综上当2a时，( )f x在(0,)上是减函数， 当2a 时，在 2 4 (0,) 2 aa ， 2 4 ( 2 aa ，)上是减函数， 在区间 2 4 ( 2 aa ， 2 4 ) 2 aa 上是增函数 （） （2）由（1）知2a ， 12 01xx ， 12 1x x ， 则 121122 12 11 ( )()f xf xxalnxxalnx xx 2112 12 1 ()(1)()xxa lnxlnx x x 2112 2()()xxa lnxlnx， 则 1212 1212 ( )()() 2 f xf xa
38、lnxlnx xxxx ， 则问题转为证明 12 12 1 lnxlnx xx 即可， 即证明 1212 lnxlnxxx， 则 11 1 11 lnxlnx xx ， 即 111 1 1 lnxlnxx x ， 即证 11 1 1 2lnxx x 在(0,1)上恒成立， 设 1 1 ( )2h xlnxx x ，(01)x，其中h（1）0， 第 20 页（共 22 页） 求导得 22 222 2121(1) ( )10 xxx h x xxxx ， 则( )h x在(0,1)上单调递减， ( )h xh（1） ，即 1 20lnxx x ， 故 1 2lnxx x ， 则 12 12 ( )
39、() 2 f xf x a xx 成立 21 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆C的短 半轴长为半径的圆与直线60xy相切 （）求椭圆方程； （）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于)S， 直线PS，QS分别交直线4x 于A，B两点求证：A，B两点的纵坐标之积为定值 【解答】解（）由题意得： 1 2 c e a ， |006 | 3 2 b ， 222 abc，解得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的方程： 22 1 43 xy ； （）证明：由（）得，(2,0)S，右焦点(1,0)
40、F由题意得，直线l的斜率不为零，设直线 l为：1xmy，设( ,)P x y，(,)Q x y， 联 立 直 线l与 椭 圆 的 方 程 整 理 得 ： 22 (43)690mymy， 2 6 43 m yy m ， 2 9 43 y y m ； 2 PF y k x ，设直线:(2) 2 y FP yx x ，与4x 联立，得 2 2 y y x ，即 2 2 A y y x ， 同理可得： 2 2 B y y x ， 2 22 22 36 44436 43 9 96(2)(2)(1)(1)()14 1 4343 AB y yy yy y m y y mmxxmymym y ym yy m
41、mm ，为定值， 所以A，B两点的纵坐标之积为定值9 22 （13 分）给定一个n项的实数列 * 12 ,() n a aa nN，任意选取一个实数c，变换T（c） 第 21 页（共 22 页） 将数列 1 a， 2 a， n a变换为数列 1 |ac， 2 |ac，| n ac，再将得到的数列继 续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相 同，第 * ()k kN次变换记为() kk T c，其中 k c为第k次变换时选择的实数如果通过k次 变换后，数列中的各项均为 0，则称 11 ( )T c， 22 ()T c，() kk T c为“k次归零变换” （）
42、对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换” ，其中4k； （）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换” ； （）对于数列 1， 2 2， 3 3， n n，是否存在“1n 次归零变换”？请说明理由 【解答】解： （）方法 1 1:T（4） ：3，1，1，3； 2 T（2） ：1，1，1，1； 3 T（1） ：0，0，0， 0 方法 1 2:T（2） ：1，1，3，5； 2 T（2） ：1，1，1，3； 3 T（2） ：1，1，1，1； 4 T（1） ：0，0， 0，0 （4 分） （）经过k次变换后，数列记为 ( )( )( ) 12 , kkk n aaa，1k ，2， 取 112
43、 1 () 2 caa，则 (1)(1) 1212 1 | 2 aaaa，即经 11 ( )T c后，前两项相等； 取 (1)(1) 223 1 () 2 caa，则 (2)(2)(2)(1)(1) 12332 1 | 2 aaaaa，即经 22 ()T c后，前 3 项相等； 设 进 行 变 换() kk T c时 ， 其 中 (1)(1) 1 1 () 2 kk kkk caa ， 变 换 后 数 列 变 为 ( )( )( )( )( )( ) 12312 , kkkkkk kkn aaaaaa ，则 ( )( )( )( ) 1231 kkkk k aaaa ； 那么，进行第1k 次变换时，取 ( )( ) 112 1 () 2 kk kkk caa ， 则变换后数列变为 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 123123 , kkkkkkk kkkn aaaaaaa ， 显然有 (1)(1)(1)(1)(1) 12312 kkkkk kk aaaaa
