1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年江苏省高考数学信息预测试卷（一）年江苏省高考数学信息预测试卷（一） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.把答案填在答题卡上把答案填在答题卡上. 1 （5 分）已知集合0A，1，2，3，4，5，3B ，4，5，6，7，则AB 2（5分） 已知i为虚数单位， 若复数 22 ()(23)mmmmi是纯虚数， 则实数m的值是 3 （5 分）若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 4 （5 分）已知样本数据 2，5，x，6，6 的平均数是 5，则此样本数据的方差为 5 （5 分） 孙老师家中
2、藏有一套中国古典四大名剧(西厢记 桃花扇 牡丹亭 长生殿 )分别标有编号 1，2，3，4 若从这四大名剧中任意取出两剧，则取出的两剧编号不相邻的 概率是 6 （5 分）已知a，b，c均为正实数，若 1 2 2log a a， 1 2 2log b b ， 2 1 ( )log 2 c c则a， b，c的大小关系为 （用“ “连接） 7 （5 分）若等差数列 n a满足 26 16aa，则 938 aaa 8 （5 分）已知函数 32 ( )23f xxaxa的图象在点(1，f（1）)处的切线过点(2,7)， 则a 9 （5 分）在直三棱柱 111 ABCABC中，若四边形 11 AAC C是边
3、长为 4 的正方形，且3AB ， ABAC，M是 1 AA的中点，则三棱锥 11 BMBC的体积为 10 （5 分）已知 1 sin2 2 ，则tan() 4 的值为 第 2 页（共 16 页） 11 （5 分）已知点P是直线:0l xyb上的动点，过点P向圆 22 :1O xy作切线，切 点分别为M，N，且90MPN，若点P有且只有一个，则实数b 12 （5 分） 已知过双曲线 22 2 1 9 xy b 的右焦点F作圆 22 9xy两条切线的切点分别为C， D，且双曲线的右顶点为E，若105CEF，则该双曲线的离心率为 13 （5 分）已知四边形ABCD满足ABDC且| | |ABADAB
4、ADa，P是线段BD上 一点，则()PA PCPD的最小值是 14 （5 分）已知函数 2 1,0 ( ) |2|,0 xx f x xx ，若关于x的方程 2( ) ( )0fxaf x有且只有 3 个 不同的实数根，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（14 分） 已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且s i n23 s i n s i nABC， 4bc ，2 3a （1）求角A的大小； （2）求ABC的周长 16 （14
5、分） 如图， 在四棱锥EABCD中， 平面ABE 平面ABCD，/ /ABCD，ABBC， 22ABCDBC，EAEB （1）求证：ABDE； （2）线段EA上是否存在点F使/ /EC平面FBD？若存在，确定点F的位置；若不存在， 请说明理由 17（14 分） 已知点O为坐标原点， 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 离心率为 2 2 ， 点I，J分别是椭圆C的右顶点、 上顶点， 且IOJ的边IJ上的中线长为 3 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点( 2,0)H 的直线交椭圆C于A，B两点，若 11 AFBF，求直线AB的方程 第
6、 3 页（共 16 页） 18 （16 分）自 20 世纪以来，战争灾害、自然灾害给人类带来巨大损失某地为解决重大 紧急情况时人群疏散的需要， 对一矩形ABMN广场区域进行改造， 其中AB的长为60米，AN 的长为 120 米现设计从边BM上一点C处，将CB沿着直线CE（点E在边AB上）折叠，使点B落 在边AD上点F处，其中CEF区域建在地上，CBE区域往地下开挖并和其他区域相通， 分地上地下用于疏散人群，令BCE （1）求的取值范围； （2）若CE的长最小时，人群疏散效果最佳，求人群疏散效果最佳时线段CE的长 19 （16 分）已知函数 2 ( )()f xxaxlnx aR （1）若函数(
7、 )f x在1x 处取得极值，求实数a的值； （2） 令函数 2 ( )( )(0, )g xf xxxe， 是否存在实数a使函数( )g x的最小值是 4？若存在， 求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）证明： 2 5 (0, ) 22 lnx e xlnxxe 20 （16 分）已知各项均为正数数列 n a满足 3332 1212 () nn aaaaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若等比数列 n a满足 12 ba， 24 ba，求 121321 21nnnnn a ba ba baba b 的值 （用含n的式子表示） ； （3）若 11 3(*) nnn accnN
8、， 23 52cc，求证：数列 n c是等差数列 第 4 页（共 16 页） 2020 年江苏省高考数学信息预测试卷（一）年江苏省高考数学信息预测试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.把答案填在答题卡上把答案填在答题卡上. 1 （5 分）已知集合0A，1，2，3，4，5，3B ，4，5，6，7，则AB 3，4， 5 【解答】解：集合0A，1，2，3，4，5，3B ，4，5，6，7， 则3AB ，4，5， 故答案为：3，4，5 2 （5 分）已知i为虚数单位，若复数 22 ()(2
9、3)mmmmi是纯虚数，则实数m的值是 0 【解答】解：复数 22 ()(23)mmmmi是纯虚数， 2 0mm， 2 230mm， 解得：0m 故答案为：0 3 （5 分）若执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 1 【解答】解：分析程序的运行过程知， 程序运行后输出 ,1 2 ,1 x e xlnx y ex ； 又21xln， 第 5 页（共 16 页） 所以221 2 e yxlnlnlneln 故答案为：1 4 （5 分）已知样本数据 2，5，x，6，6 的平均数是 5，则此样本数据的方差为 12 5 【解答】解：样本数据 2，5，x，6，6 的平均数是 5， 1 (2566)5
10、5 x， 解得6x ， 此样本数据的方差为： 22222 112 (52)(55)(56)(56)(56) 55 故答案为： 12 5 5 （5 分） 孙老师家中藏有一套中国古典四大名剧(西厢记 桃花扇 牡丹亭 长生殿 )分别标有编号 1，2，3，4 若从这四大名剧中任意取出两剧，则取出的两剧编号不相邻的 概率是 1 3 【解答】解：孙老师家中藏有一套中国古典四大名剧(西厢记 桃花扇 牡丹亭 长 生殿)分别标有编号 1，2，3，4， 若从这四大名剧中任意取出两剧， 基本事件总数 2 4 6nC， 取出的两剧编号不相邻的包含的基本个数2m ， 取出的两剧编号不相邻的概率 21 63 m p n
11、故答案为： 1 3 6 （5 分）已知a，b，c均为正实数，若 1 2 2log a a， 1 2 2log b b ， 2 1 ( )log 2 c c则a， b，c的大小关系为 abc （用“ “连接） 【解答】解：由题意可知， 1 2 2alog a， 1 2 1 ( ) 2 b log b， 2 1 ( ) 2 c log c， 利用函数2xy ， 1 ( ) 2 x y ， 1 2 logyx， 2 logyx的图象交点的位置， 即可判断：abc， 故答案为：abc 7 （5 分）若等差数列 n a满足 26 16aa，则 938 aaa 8 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：
12、设等差数列 n a的公差为d， 261 162(3 )aaad， 1 38ad， 则 9381 38aaaad， 故答案为：8 8 （5 分）已知函数 32 ( )23f xxaxa的图象在点(1，f（1）)处的切线过点(2,7)， 则a 1 【解答】解： 32 ( )23f xxaxa，f（1）25a， 2 ( )62fxxax， ( )f x在点(1，f（1）)处切线的斜率k f （1）26a， ( )f x在点(1，f（1）)处切线的切线方程为(25)(26)(1)yaax ( )f x在在点(1，f（1）)处的切线过点(2,7)， 7(25)(26)(2 1)aa ，1a 故答案为：1
13、 9 （5 分）在直三棱柱 111 ABCABC中，若四边形 11 AAC C是边长为 4 的正方形，且3AB ， ABAC，M是 1 AA的中点，则三棱锥 11 BMBC的体积为 8 【解答】解：如图，因为4AC ，3AB ，ABAC，5BC 1 1 11 11 5410 22 BB C SBBBC ， M到面 11 BBC的距离等于A到面 11 BBC的距离 在直三棱柱 111 ABCABC中，过A作ADBC于D， 根据面面垂直的性质可得AD 面 11 BBC， 11 22 ACABBCAD， 12 5 AD 则三棱锥 11 BMBC的体积为 112 108 35 V 故答案为：8 第 7
14、 页（共 16 页） 10 （5 分）已知 1 sin2 2 ，则tan() 4 的值为 3 【解答】解： 222 2sincos2tan1 sin2 12sincostan ， 整理可得： 2 tan4tan10 ，解得tan23 1tan tan()3 41tan 故答案为：3 11 （5 分）已知点P是直线:0l xyb上的动点，过点P向圆 22 :1O xy作切线，切 点分别为M，N，且90MPN，若点P有且只有一个，则实数b 2 【解答】解：解：过原点O作0xyb的垂线yx，垂足为A， 由对称性可知当P在A处时，90MPN， OA平分MPN， 45OAMOAN ， 过A的水平线与竖直
15、线为圆的两条切线， 故(1,1)A或( 1, 1)A ， 代入0xyb可得2b 故答案为：2 12 （5 分） 已知过双曲线 22 2 1 9 xy b 的右焦点F作圆 22 9xy两条切线的切点分别为C， 第 8 页（共 16 页） D，且双曲线的右顶点为E，若105CEF，则该双曲线的离心率为 2 【解答】 解：由题意可得C，E在圆上，OCOE， 由105CEF可得75OECOCE ，所以30COE，在OCF中，CF为切线， 即OCCF，所以22cOFOCa， 所以双曲线的离心率为：2 2 c ， 故答案为：2 13 （5 分）已知四边形ABCD满足ABDC且| | |ABADABADa，
16、P是线段BD上 一点，则()PA PCPD的最小值是 2 25 8 a 【解答】解：四边形ABCD满足ABDC且| | |ABADABAD， 所以ABD是正三角形，四边形ABCD是菱形， 画出图形如图，建立如图所示的坐标系，设2ABa，(,0)Aa，( ,0)D a，(0, 3 )Ba， (2 , 3 )Caa， 设(,3)BPBDaa，0，1，则(,33 )Paaa， 所以(, 33 )PAaaaa ，(, 33 )PDaaaa，(2, 3)PCaaa (32PCPDaa，2 33 )aa 则 22 ()(810 )PA PCPDa，当 5 8 时，()PA PCPD取得最小值为： 2 25
17、 8 a 故答案为： 2 25 8 a 第 9 页（共 16 页） 14 （5 分）已知函数 2 1,0 ( ) |2|,0 xx f x xx ，若关于x的方程 2( ) ( )0fxaf x有且只有 3 个 不同的实数根，则实数a的取值范围是 (,0)2，) 【解答】解：由题意，可知 2 2 1,0 1,0 ( )(2),02 |2|,0 2,2 xx xx f xxx xx xx ， 函数( )f x大致图象如右： 关于x的方程 2( ) ( )0fxaf x有且只有 3 个不同的实数根， ( ) ( )0f xf xa有且只有 3 个不同的实数根， 即( )0f x 与( )f xa一
18、共有 3 个不同的实数根， ( )0f x 有1x 与2x 两个实数根， ( )f xa有且只有 1 个实数根， 0a，或2a 实数a的取值范围为(,0)2，) 故答案为：(,0)2，) 第 10 页（共 16 页） 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（14 分） 已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且s i n23 s i n s i nABC， 4bc ，2 3a （1）求角A的大小； （2）求ABC的周长 【解答】解： （1）sin2 3sin
19、sinABC，显然sin0A ， 2 sin2 3sinsinsinAABC， 由正弦定理可得： 2 2 3sinabcA， 又4bc ，2 3a ， 128 3sin A，解得： 3 sin 2 A， (0,) 2 A ， 3 A ， （2）由（1）可知 3 A ，可得： 1 cos 2 A ， 由余弦定理可得： 22222 121 cos 282 bcabc A bc ， 22 16bc， 222 ()224bcbcbc，解得2 6bc， ABC的周长2 32 6abc 16 （14 分） 如图， 在四棱锥EABCD中， 平面ABE 平面ABCD，/ /ABCD，ABBC， 第 11 页（
20、共 16 页） 22ABCDBC，EAEB （1）求证：ABDE； （2）线段EA上是否存在点F使/ /EC平面FBD？若存在，确定点F的位置；若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）证明：取AB中点O，连结EO，DO 因为EBEA， 所以EOAB 因为四边形ABCD为直角梯形，22ABCDBC，ABBC， 所以四边形OBCD为正方形， 所以ABOD 所以AB 平面EOD 所以ABED （2）线段EA上存在点F使/ /EC平面FBD， 证明：连接AC、BD交于点M，面ACE面FBDFM 因为/ /EC平面FBD， 所以/ /ECFM 在梯形ABCD中，有DMCBMA，可得2MAMC， 所以
21、2AFFE， 所以， 1 3 EFEA 第 12 页（共 16 页） 17（14 分） 已知点O为坐标原点， 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 离心率为 2 2 ， 点I，J分别是椭圆C的右顶点、 上顶点， 且IOJ的边IJ上的中线长为 3 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点( 2,0)H 的直线交椭圆C于A，B两点，若 11 AFBF，求直线AB的方程 【解答】解： （）由题意可得： 2 2 c a ， 222 abc， 22 13 22 ab， 联立解得： 2 2a ，1bc 椭圆C的标准方程为： 2 2 1 2 x y （
22、）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，过点( 2,0)H 的直线方程为2xky，代入椭圆方程中， 消x可得 22 (2)420kyky 则 22 168(2)0kk，解得2k 或2k ， 12 2 4 2 k yy k ， 12 2 2 2 y y k ， 2 12121212 (2)(2)2 ()4x xkykyk y yk yy， 1212 ()4xxk yy， 11 AFBF， 11 0AF BF ， 22 1212121212121212121212 (1)(1)()12 ()4()41(1)()10xxy yx xxxy yk y yk yyk yyy yky
23、yk yy 即 22 22 2(1)4 10 22 kk kk ， 解得2k ， 故直线AB的方程的方程为22xy ，即220xy 18 （16 分）自 20 世纪以来，战争灾害、自然灾害给人类带来巨大损失某地为解决重大 紧急情况时人群疏散的需要， 对一矩形ABMN广场区域进行改造， 其中AB的长为60米，AN 第 13 页（共 16 页） 的长为 120 米现设计从边BM上一点C处，将CB沿着直线CE（点E在边AB上）折叠，使点B落 在边AD上点F处，其中CEF区域建在地上，CBE区域往地下开挖并和其他区域相通， 分地上地下用于疏散人群，令BCE （1）求的取值范围； （2）若CE的长最小时
24、，人群疏散效果最佳，求人群疏散效果最佳时线段CE的长 【解答】解： （1）设CEl，由题意可知Rt CFERt CBE， 2 BECFEC ， 2FEAFECBEC， sinBEl，cossincos2AEEFFEAl， sincos2sin60ll， 23 606030 sin (1cos2 )sin (22)sin l sinsin ，(0,) 2 ， 2 30 sin60 1 BEl sin ， 2 1 2 sin，0 4 ， 又 3 30cos60 cos120 sinsin2 BCl sin ， 1 sin2 2 ，又(0,) 2 ，2 62 剟，即 124 剟， 综上所求，, 12
25、 4 ； （2）令sint，, 12 4 ， 62 4 t ， 2 2 ， 则 3 30 l tt ， 设 3 ( )g ttt ， 62 4 t ， 2 2 ， 2 33 ( )133()() 33 g tttt ， 当 62 4 t ， 3) 3 时，( )0g t，函数( )g t单调递增；当 32 (, 32 x时，( )0g t， 第 14 页（共 16 页） 函数( )g t单调递减， 当 3 3 t 时，( )g t取到最大值，最大值为 32 3 () 39 g， l的最小值为 30 45 3 2 3 9 ， 即人群疏散效果最佳时线段CE的长为45 3 19 （16 分）已知函数
26、 2 ( )()f xxaxlnx aR （1）若函数( )f x在1x 处取得极值，求实数a的值； （2） 令函数 2 ( )( )(0, )g xf xxxe， 是否存在实数a使函数( )g x的最小值是 4？若存在， 求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）证明： 2 5 (0, ) 22 lnx e xlnxxe 【解答】解： （1） 1 ( )2fxxa x ，函数( )f x在1x 处取得极值， f （1）210a ，解得1a （2） 2 ( )( )g xf xxaxlnx，(0, )xe，假设存在实数a使函数( )g x的最小值是 4 即 4lnx a x ，(0, )xe，
27、 令 4 ( ) lnx h x x ，(0, )xe， 2 3 ( ) lnx h x x ，可得 3 1 x e 时，函数( )h x取得极大值即最大值 3 3 1 ()he e 3 a e 存在实数 3 ae，使函数( )g x的最小值是 4 （3）证明：令 2 5 ( ) 22 lnx u xe xlnx，(0x， e 2 3 ( ) 2 u xe x ，令 2 3 ( )0 2 u xe x ，解得 2 3 2 x e 可得函数( )u x的极小值即最小值 2 333531 ()( 32)23(43 3)0 222222 ulnlnln e 2 5 0 22 lnx e xlnx，(
28、0x， e 即 2 5 (0, ) 22 lnx e xlnxxe 20 （16 分）已知各项均为正数数列 n a满足 3332 1212 () nn aaaaaa 第 15 页（共 16 页） （1）求数列 n a的通项公式； （2）若等比数列 n a满足 12 ba， 24 ba，求 121321 21nnnnn a ba ba baba b 的值 （用含n的式子表示） ； （3）若 11 3(*) nnn accnN ， 23 52cc，求证：数列 n c是等差数列 【解答】解： （1）各项均为正数数列 n a满足 3332 1212 () nn aaaaaa 32 11 aa，解得 1
29、 1a 2n时，可得： 322 12121 ()() nnn aaaaaaa ， 化为： 3 121 (222) nnnn aaaaaa ， 2 2 nnn aSa 2n 时， 2 111 2 nnn aSa 相减可得： 1 1 nn aa 数列 n a为等差数列 11 n ann （2）等比数列 n a满足 12 2ba， 24 4ba可得公比 4 2 2 q 2n n b 231 121321 21 2(1) 2(3) 22 22 nn nnnnnn Taba ba baba bnnn ， 231 22(1) 22 22 nn n Tnn ， 23112 4(21) 2222 222222
30、4 21 n nnnn n Tnnn （3）证明： 11 13(*) nnn naccnN ， 可得： 23 33cc， 12 23cc，又 23 52cc 解得 1 5 16 c ， 2 9 16 c ， 3 13 16 c ， 2n 时， 1 3 nn ncc 第 16 页（共 16 页） 相减可得： 11 123 nnn ccc 12 123 nnn ccc ， 相减可得： 2111 3()2()() nnnnnn cccccc 设 1nnn dcc ，化为： 11 32 nnn ddd 又 12 1 4 dd，可得 3 1 4 d 以此类推可得： 1 4 n d 即 1 1 4 nnn dcc 数列 n c是等差数列
