1、1 第二章第二章 基本初等函数基本初等函数( ) 核心速填 1根式的性质 (1)(na)na(nN*)； (2)nana(n 为奇数，nN*)； n an|a| a，a0， a，a0，m，nN*，且 n1)； (2)a m n1 a m n 1 n am (a0，m，nN*，且 n1)； (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3对数的运算性质 已知 a0，b0，a1，M0，N0，m0. (1)logaMlogaNloga(MN)； (2)logaMlogaNlogaM N； (3)logambnn mlogab. 4换底公式及常用结论 已知 a0，a1，b0，b1，N0
2、，c0，c1. (1)logablogcb logca. (2)logab logba1，logab logbc logca1. (3)a logaN N. 5指数函数的图象与底数的关系 (1)底数的取值与图象“升降”的关系： 当 a1 时，图象“上升”；当 01c0. 2 图 2- 1 6对数函数的图象与底数的关系 (1)对于底数都大于 1 的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近 x 轴；对于底数都大于 0 而小于 1 的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离 x 轴 (2)作直线 y1 与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小，如图 2- 2，ab1cd0. 图 2- 2 体
3、系构建 题型探究 指数与对数的运算 例 1 (1)2log32log332 9 log385 log53 ； (2)0.064 1 3 7 8 0 (2)3 4 3160.750.01 1 2. 3 【答案】(1)原式log32 28 32 9 3231. (2)原式0.4 3 1 3 12 424 3 4 0.15 21 1 16 1 8 1 10 143 80 . 规律方法 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分 式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要
4、等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧 跟踪训练 1设 3x4y36，则2 x 1 y的值为( ) A6 B3 C2 D1 【答案】D 由 3x4y36 得 xlog336，ylog436， 2 x 1 y2log363log364log369log364log36361. 基本初等函数的图象 例 2 (1)若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图 2- 3 所示，则下列函数正确的是( ) 图 2- 3 A B C D (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x) 1 2 x . 4 图 2- 4 如图
5、2- 4，画出函数 f(x)的图象； 根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域 【答案】(1)B (1)由已知函数图象可得，loga31，所以 a3.A 项，函数解析式为 y3 x，在 R 上单调递 减，与图象不符；C 项中函数的解析式为 y(x)3x3，当 x0 时，ybc Bbac Cacb Dcba 【答案】C alog2log221，b 2 1 logb，故选 C. 基本初等函数的性质 例 4 (1)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是( ) A奇函数，且在(0,1)上是增函数 B奇函数，且在(0,1)上是减函数 C偶函数，且在(0,1)上是增函数 D偶函
6、数，且在(0,1)上是减函数 (2)已知 a0，a1 且 loga3loga2，若函数 f(x)logax 在区间a,3a上的最大值与最小值之差为 1. 求 a 的值； 若 1x3，求函数 y(logax)2logax2 的值域 【答案】(1)A 由题意可得，函数 f(x)的定义域为(1,1)，且 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故 f(x)为 奇函数又 f(x)ln1x 1xln 2 1x1 ，易知 y 2 1x1 在(0,1)上为增函数，故 f(x)在(0,1)上为增函数 (2)解 因为 loga3loga2，所以 f(x)logax 在a,3a上为增函数 又 f(x)在a,3a
7、上的最大值与最小值之差为 1， 所以 loga(3a)logaa1，即 loga31，所以 a3. 6 函数 y(log3x)2log3x2(log3x)21 2log3x2 log3x1 4 2 31 16. 令 tlog3x，因为 1x3， 所以 0log3x1，即 0t1. 所以 y t1 4 2 31 16 31 16， 5 2 ， 所以所求函数的值域为 31 16， 5 2 . 母题探究：1.把本例(1)的函数 f(x)改为“f(x)ln(x 1x2)”，判断其奇偶性 【答案】 f(x)ln(x 1x2)，其定义域为 R， 又 f(x)ln(x 1x2)， f(x)f(x)ln(x
8、1x2)ln(x 1x2)ln 10， f(x)f(x)，f(x)为奇函数 2把本例 2(2)中的函数改为“ya2xax1”，求其最小值 【答案】由题意可知 y32x3x1，令 3xt，则 t3,27， f(t)t2t1 t1 2 2 5 4，t3,27， 当 t3 时，f(t)minf(3)93111. 规律方法 1.研究函数的性质要树立定义域优先的原则 2.换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题本章中，常设 ulogax 或 uax，转化为一元二次 方程、二次函数等问题要注意换元后的取值范围 分类讨论思想的应用 例 5 设 a0 且 a1，若 Ploga(a31)，Qloga(a
9、21)，试比较 P，Q 的大小. 思路探究：分 0Q. 当 a1 时，有 a3a2，即 a31a21. 又当 a1 时，ylogax 在(0，)上单调递增， loga(a31)loga(a21)，即 PQ. 综上可得，PQ. 规律方法 本题中比较 P， Q 的大小， 主要是利用了对数函数、 幂函数的单调性及分类讨论的方法.一般地， 当指数、对数的底数含参数时，要按底数大于 1，大于 0 且小于 1 进行分类讨论。 跟踪训练 7 4已知函数 f(x)ax(a0，且 a1)在区间1,2上的最大值比最小值大a 2，求 a 的值 【答案】 若 a1，则 f(x)是增函数， f(x)在1,2上的最大值为 f(2)，最小值为 f(1)， f(2)f(1)a 2， 即 a2aa 2， 解得 a3 2. 若 0a1，则 f(x)是减函数， f(x)在1,2上的最大值为 f(1)，最小值为 f(2)， f(1)f(2)a 2，即 aa 2a 2， 解得 a1 2. 综上所述，a1 2或 a 3 2.
