1、1.2 1.2 排列与组合排列与组合1.2.2 1.2.2 组合组合第二课时第二课时复复习习复复习习 一般地，从一般地，从n n个个不同不同元素中取出元素中取出m(mn)m(mn)个元素合成一组，叫做从个元素合成一组，叫做从n n个不同元素中个不同元素中 取出取出mm个元素的个元素的一个组合。一个组合。从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素 的所有组合的个数，叫做从的所有组合的个数，叫做从n n个不同元个不同元 素中取出素中取出mm个元素的个元素的组合数组合数。用符号。用符号 表示表示mnC组合的概念：组合的概念：组合数的概念：组合数的概念：1.2 1.2
2、排列与组合排列与组合组合数计算公式：组合数计算公式：(1)(2)(1)(1)!mmnnnmAn nnnmCAm!(2)!()!mnnCmnm复复习习1.2 1.2 排列与组合排列与组合引引入入问题问题1 1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？怎样对这一结果进行解释？从从1010个元素中取出个元素中取出7 7个元素后，还剩下个元素后，还剩下3 3个元素，个元素，就是说，从就是说，从1010个元素中每次取出个元素中每次取出7 7个元素的一个组合，个元素的一个组合，与剩下的与剩下的(10-7)(10-7)个元素的组合是一一对应的。因此，个
3、元素的组合是一一对应的。因此，从从1010个元素中取个元素中取7 7个元素的组合，与从这个元素的组合，与从这1010个元素中个元素中取出取出(10-7)(10-7)个元素的组合是相等的。个元素的组合是相等的。练习：练习：请计算两个组合数请计算两个组合数 和和 的值的值710c310c1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质710-73101010CCC即：即：1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质问题问题2 2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出mm个元素后，个元素
4、后，剩下剩下n-mn-m个元素。因为从个元素。因为从n n个不同元素中取出个不同元素中取出mm个个元素的每一个组合，与剩下的元素的每一个组合，与剩下的n-mn-m个元素的每一个个元素的每一个组合一一对应，所以从组合一一对应，所以从n n个不同元素中取出个不同元素中取出mm个元个元素的组合数，等于从这素的组合数，等于从这n n个元素中取出个元素中取出n-mn-m个元素个元素的组合数。的组合数。mnmnncc 即：即：性性质质11.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质说明：说明：2 2、为了使性质、为了使性质1 1在在mmn n时也能成立，时也能成立，规规定定 ；0nC=11 1、为
5、简化计算，当、为简化计算，当mm 时，通常将计算时，通常将计算 改为计改为计 算算 ；2nCmnCn mn请构造一个生活实例进行解释性质请构造一个生活实例进行解释性质1.1.xynnCC xyxyn 或或3 3、。性性质质1组合数性质组合数性质1 1：-mn mnnCC1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质组合数性质组合数性质2 2引例：引例：一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球和个白球和1 1个黑球个黑球从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？个球，
6、使其中含有一个黑球，有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？个球，使其中不含黑球，有多少种取法？323877C=C+C从引例中可以发现一个结论：从引例中可以发现一个结论：对上面等式的发现应该如何解释？对上面等式的发现应该如何解释？性性质质21.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质 一般地，从一般地，从a a1 1,a,a2 2,a an n,a,an+1n+1这这n+1n+1个不同的元个不同的元素中取出素中取出m m个元素的组合数是个元素的组合数是1mnC 这些组合可以分成两类：一类含有这些组合可以分成两类：一类含有a a1 1，另一类不，
7、另一类不含含a a1 1；含有；含有a a1 1的组合是从的组合是从a a2 2,a,a3 3,a an n,a,an+1n+1，这这n n个元个元素中取出素中取出m-1m-1个元素与个元素与a a1 1组成的，共有组成的，共有 个；不含个；不含a a1 1的组合是从的组合是从a a2 2,a an n,a,an+1n+1这这n n个元素中取出个元素中取出m-1m-1个个元素组成的共有元素组成的共有 个。个。-1mnCmnC 性性质质2-11mmmnnnCCC组合数性质组合数性质2 2：由分步计数原理得：由分步计数原理得：1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质说明：说明：1 1
8、、公式特征：下标相同而上标差、公式特征：下标相同而上标差1 1的两个组合数之和，的两个组合数之和，等于下标比原下标多等于下标比原下标多1 1而上标与原组合数上标较大而上标与原组合数上标较大 的相同的一个组合数的相同的一个组合数 2 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习 “二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用 -11mmmnnnCCC组合数性质组合数性质2 2：请构造一个生活实例进行解释性质请构造一个生活实例进行解释性质2.2.性性质质21.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质性性质质应应用
9、用例例1 1、计算、计算22002001991990021 C 31001009998161700321 C 3322388888562()CCCCC198200(1);C329999(2);CC 332898(3).2CCC1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质性性质质应应用用例例2 2、证明、证明111111mmmmnnnnCCCC、1111mmmnnnCCC证明：由组合数的性质证明：由组合数的性质2得右边得右边即左边即左边=右边右边1mmnnCC 1111()mmmnnnCCC1mnC 1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质1112nnnnnnn mn m
10、CCCC、性性质质应应用用证明：由组合数的性质证明：由组合数的性质2及及 得左边得左边11nnnnCC 1nnnnnn mCCC111()nnnnnn mCCC 122()nnnnnn mCCC 1nnn mn mCC 111()nnnn mn mn mCCC 11nn mC =右边右边1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质小小结结组合数性质组合数性质1 1：-mn mnnCC-11mmmnnnCCC组合数性质组合数性质2 2：2 2、为了使性质、为了使性质1 1在在mmn n时也能成立，时也能成立，规规定定 ；0nC=11 1、为简化计算，当、为简化计算，当mm 时，通常将计
11、算时，通常将计算 改为计算改为计算 ；2nCmnCnmnxynnCC xyxyn 或或3 3、。1 1、公式特征：下标相同而上标差、公式特征：下标相同而上标差1 1的两个组合数之和，等于下标的两个组合数之和，等于下标 比原下标多比原下标多1 1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定二项式定 理理”时，我们会看到它的主要应用。时，我们会看到它的主要应用。1.2.1.2.2 2组合数的重要性质组合数的重要性质作业作业:P P120120 B B2 2、3 3、5 5 作作业业
