1、2022年11月8日星期二定理定理1.如果如果Rba,，那么，那么abba222（当且仅当当且仅当ba 时取时取“=”）1指出定理适用范围：Rba,2强调取“=”的条件：ba 一、复习引入：一、复习引入：定理定理2.如果如果 那么那么 ba,是正数，是正数，abba2（当且仅当（当且仅当ba 时取时取“=”号）号）注意：1这个定理适用的范围：,a bR 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。它们的几何平均数。关于关于“平均数平均数”的概念及性质：的概念及性质：如果*12,1na aaRnnN且 则：naaan21 叫做这n个正数的算术平均数。nnaa
2、a21叫做这n个正数的几何平均数。基本不等式：naaan21 nnaaa21niRaNni1,*22222222(1)2(,)(2)(,)2(3)2()?(4)+()?(5)()(,)0?22ababa bababa bababbaabcab+bc+caa,b,cabRRababaRRb基本不等式及其常用变式222,2a,b2ababababa+Rb试证明：如：二、新课讲解：二、新课讲解：例例1.1 如果积 已知yx,都是正数，求证：xy是定值,P那么当 yx 时,和 yx 有最小值 2 P2 如果和 yx是定值,S那么当 yx 时,积 xy有最大值 214S证：证：Ryx,xyyx21当 x
3、yP（定值）时，2xyP 上式当 yx 时取“=”当 yx 时，xy有最小值2 Pyx2 P注意：注意：1 最值的含义（最值的含义（“”取最小值，取最小值，“”取最大值）取最大值）2 用极值定理求最值的三个必要条件：用极值定理求最值的三个必要条件：一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”2当 xyS(定值)时，2Sxy 214xyS 上式当 yx 时取“=”当 yx 时，214xyS有最大值例例2.证明：210loglgxx（1）)1(x证：证：1x 0lgx010logx于是 210lglg210loglgxxxxlglog 10_ 2xx（2）(01)x解解：10 x0lgx010
4、logx于是 2)10log()lg(xx从而 210loglgxx例例3.若 1,x 则 为何值时 x11xx有最小值，最小值为几？解解：1x 01x011x 11xx=112111)1(21111xxxx 当且仅当 111xx即 0 x时 11xx有最小值1注意：用均值不等式求最值的条件注意：用均值不等式求最值的条件:一正二定三相等一正二定三相等用均值不等式求最值的规则用均值不等式求最值的规则:和定积最和定积最大大,积定和最积定和最小小例例4.已知 Ryxba,且 1ybxa，求yx 的最小值解：yx yxbxaybaybxayxyx)(1)(2)(2bayxbxayba当且仅当 yxbx
5、ay即 bayx时 2()xyab取最小值思考思考：已知 Ryxba,且 abxy，求1xy 的最小值.11(sin)(cos)sincos例5.设 为锐角,求的最小值.练习练习:22251(1),()44451?219(2),1,1,12xf xxxxx yRxyxyba bRaab已知:求函数的最大值.若呢已知:且求的最小值.(3)已知:且求的最大值.课堂小结课堂小结2222222222221.,2|;()()().22abababcabbccaabcdacbdababab均值定理的应用范围广泛 要关注变量的取值要求和等号能否成立,还要注意它的变式的运用,如:等课堂小结课堂小结2.(0).3.(0;(0.ayxaxx,y,+),xy=Px=yx+yx,y,+),x+y=Sx=yxy2等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性的角度考虑,力图转化为的形式利用极值求最大(小)值时,(1)且(定值),那么当时,有最值2 P(2)且(定值),S那么当时,大有最值4小课堂练习：课堂练习：书书P11练习练习3.4作业：书P11习题6.2（3,4,5,6,7）
