1、1.1.2 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的加法矩阵的加法 数乘矩阵数乘矩阵 矩阵的乘法矩阵的乘法 方阵的幂方阵的幂矩阵的转置矩阵的转置小结小结一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义定义1注意注意，只有两个，只有两个同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算.定义定义2 矩阵的矩阵的负矩阵负矩阵，记作，记作-A.由此可定义矩阵的减法运算，设矩阵由此可定义矩阵的减法运算，设矩阵 其对应其对应与与设矩阵设矩阵，nmijnmijbBaA 称为称为元素相加所得到的矩阵元素相加所得到的矩阵nmijijbaC 为为称矩阵称矩阵设矩阵设矩阵，nmijnmijaaA .BACB 的和，记作的和，记作与与A阵阵矩矩
2、 则则，nmijnmijbBaA 矩阵的加法满足如下运算律矩阵的加法满足如下运算律(设设A,B,C,0都都（1）A+B=B+A（加法交换律）；（加法交换律）；nmijijbaBABA 是同型矩阵是同型矩阵):（2）(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律）；（加法结合律）；（4）A+(-A)=0.（3）A+0=0+A；例例1 设设 320011,112603BA求求 A+B 与与 A-B.解解 43261231)2()1(020610)1(3BA 21261431)2()1(020610)1(3BA 二、数乘矩阵二、数乘矩阵 定义定义3 以数以数k乘矩阵乘矩阵A的每一个元素所得的每一个元素所
3、得 到的矩阵到的矩阵,称为数称为数k与矩阵与矩阵A的数量乘积，简称的数量乘积，简称 数乘，记为数乘，记为kA或或Ak.如果如果 A=(aij)mn,那么那么 kA=Ak=(kaij)mn.数乘运算有如下运算律（设数乘运算有如下运算律（设A、B为同型为同型 矩阵，矩阵，k，l 为常数）：为常数）：.)()4(;)()3(;)()()2(;1)1(lAkAAlkkBkABAkAkllAkAA 例例2，设设 22121203BA解解，061822121203223BAX，且且BXA 32.X求求矩矩阵阵）得得两两端端同同加加上上（在在ABXA232 .02313831 X）得）得两端同乘以（两端同乘
4、以（三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 例例3设甲、乙两家公司生产设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算机，月产量（单位：台）为三种型号的计算机，月产量（单位：台）为 271624182025A甲甲乙乙 232221131211aaaaaa 如果生产这三种型号的计算机每台的利润如果生产这三种型号的计算机每台的利润 (单位：万元台单位：万元台)为为 7.02.05.0A 那么这两家公司的月利润那么这两家公司的月利润(单位：万元单位：万元)应应 为矩阵为矩阵C:312111bbb 1.341.297.0272.0165.0247.0182.0205.025312321221121311321121111b
5、abababababaC 甲公司每月的利润为甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的万元，乙公司的 利润为利润为34.1万元万元.从例题可以看到矩阵从例题可以看到矩阵A、B、C的元素之间的元素之间 有下列关系有下列关系 2111312321221121311321121111ccCbabababababa定义定义4 矩阵矩阵ijijm ss nAaBb ，那么由定义，一个由定义，一个行矩阵与一个行矩阵与一个 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数一个数：并把此乘积记作并把此乘积记作），；，（，其中，其中.212112211njmibabababacckjik
6、sjisjijiijnmij CnmB矩矩阵阵的的乘乘积积是是一一个个矩矩阵阵与与矩矩阵阵 定义定义4中矩阵中矩阵(=AB)的元素的元素cij是矩阵是矩阵A 的的 第第i 行行元素与矩阵元素与矩阵B的的第第j 列列对应元素乘积之和对应元素乘积之和.注意注意 只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵(左左矩阵矩阵)的的列列数等数等 于第二个矩阵于第二个矩阵(右右矩阵矩阵)的的行行数时，数时，两个矩阵才两个矩阵才 能相乘能相乘.sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 22112121,nkijkjikcba1 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxa
7、bxaxaxabxaxaxa按照矩阵的乘法，线性方程组按照矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积 Ax=b 的形式，其中的形式，其中 mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,例例4 103132213312134B与与求求矩矩阵阵.BAAB与与的积的积解解 103132213312134AB 123123021123133122031122113324011324 1171051811 由于由于的的列数列数不等于不等于的的行数行数，所以，所以BA 无意义无意义.例例5设矩阵设矩阵,6342,2142 BA解解 168321663
8、422142AB.,8502BAACABC、求求 168321685022142AC由以上两例，不难看出：由以上两例，不难看出：（1）AB有有意义意义时，时，BA不一定不一定有意义；有意义；（2）即使）即使AB与与BA都有意义都有意义也可能也可能ABBA，矩阵乘法矩阵乘法不满足不满足交换律交换律,因此矩阵相乘时必须因此矩阵相乘时必须 注意顺序注意顺序，然而对于个别矩阵也可能出现，然而对于个别矩阵也可能出现AB=BA,这时这时称称A与与B是可交换的是可交换的.000021426342BA （3）两个）两个非零非零矩阵的乘积可能是矩阵的乘积可能是零零矩阵，矩阵，而两个非零数的乘积是不会等于零的；而
9、两个非零数的乘积是不会等于零的；（4）若）若AB=AC，且，且A0，一般不能推，一般不能推 矩阵的乘法满足如下运算律矩阵的乘法满足如下运算律(假设运算假设运算 都是可行的都是可行的)(1)(AB)C=A(BC);(结合律结合律)(2)(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB;(分配律分配律)出出 B=C，即在等式两边，即在等式两边不能消去同一矩阵不能消去同一矩阵.nmnnmnmnmmAEAAAE ,或简记为或简记为 EA=AE=A例例6解矩阵方程解矩阵方程 41212112X其中为二阶矩阵其中为二阶矩阵 (3)k(AB)=(kA)B=A(kB).(其中其中k 为常数为常数)对于单位矩
10、阵容易验证对于单位矩阵容易验证 412122222212211122122111xxxxxxxx得得解解,22211211 xxxxX设设 4121211222211211xxxx则则由由由矩阵相等，可得由矩阵相等，可得 422212122212221221112111xxxxxxxx和和解之得解之得四、方阵的幂四、方阵的幂 如果如果A 是是n 阶方阵，那么阶方阵，那么 AA 有意义有意义,个个mAAA.201122122111 xxxx，.2101为所求为所求所以所以 X也有意义，因次有下述定义：也有意义，因次有下述定义：定义定义5设设A 是是 n 阶矩阵，阶矩阵，m 是正整数，是正整数，m
11、个个A 相乘称为相乘称为A 的的 m 次幂，记为次幂，记为Am，即，即 个个mmAAAA 方阵的幂满足以下运算律方阵的幂满足以下运算律.)()2(,)1(为正整数为正整数，其中其中lkAAAAAkllklklk 例例7试证试证),2,1(101101 kkk 证明证明用数学归纳法证用数学归纳法证当当 n=1时，等式显然成立时，等式显然成立.设设 n=k 时成立，即时成立，即 101101 nn 又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以 对于两个对于两个n 阶方阵阶方阵A与与B，一般说来，一般说来 (AB)kAkBk.等式成立等式成立.要证要证 n=k+1 时成立，此
12、时有时成立，此时有 1011011011 kk 10)1(1101101 kk五、矩阵的转置五、矩阵的转置定义定义6将将矩阵矩阵A 的的行行与与列列互换互换所所得到的得到的矩阵，称为矩阵，称为的转置矩阵的转置矩阵，记，记 mnnnmmTmnmmnnaaaaaaaaaAaaaaaaaaaA212221212111212222111211则则为为AT或或A.如果转置矩阵如果转置矩阵AT的元素记作的元素记作aijT，那么根据定义那么根据定义,AT=(aij)T=(aijT)=(aji),即若即若 矩阵的矩阵的转置转置也是也是一种运算一种运算，满足下述运，满足下述运 算律算律(假设运算都是可行的假设运
13、算都是可行的)(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT (k为数为数);(4)(AB)T=BTAT .我们只证明我们只证明(4)式式.例如矩阵例如矩阵 101231113021TAA则则例例8,3412,543201 BA已知已知,)()(,)()(nkjinkTijTmnjimnijTbbBaaA 则则kmijknijnmijcCABbBaA )(,)(,)(设设.)()()(mkjimkTijTTccCAB .,)(TTTABAB求求解解 19281116123412543201AB因为因为 1911128162TAB）（所所以以TTTTTABABAB
14、 )(19111281625304213142可见可见而且而且 对称矩阵对称矩阵：设：设A为为n 阶方阵，如果阶方阵，如果AT=A，即即aij=aji (i,j=1,2,n),那么称那么称A为为对称矩阵对称矩阵.其特点是其特点是：它的元素以：它的元素以主对角线为对称轴主对角线为对称轴对应相等对应相等.如如 0211223113101101 反对称矩阵反对称矩阵:设设A为为n阶方阵如果满足阶方阵如果满足AT=-A,即即 aij=-aji,则称则称A为反对称矩阵为反对称矩阵.它的它的主要特点是主要特点是:主对角线上的元素为主对角线上的元素为0,其余其余的元素关于主对角线的元素关于主对角线互为相反数
15、互为相反数.如如 因为因为(A+B)T=AT+BT,(kA)T=kAT,所以两所以两 个个同阶同阶的的对称矩阵对称矩阵的的和和还是还是对称矩阵对称矩阵,对称矩阵对称矩阵 与与数的乘积数的乘积也是也是对称矩阵对称矩阵.但但两个对称矩阵两个对称矩阵的乘的乘 积积不一定不一定是是对称矩阵对称矩阵.032301210 反对称矩阵的反对称矩阵的和和及及数量乘积数量乘积还是还是反对称反对称 矩阵矩阵,但两个反对称矩阵的但两个反对称矩阵的积积不一定是不一定是反对称反对称 矩阵矩阵.六、共轭矩阵六、共轭矩阵定义定义8 ijijnmijaaaA若若为复数为复数其中其中设设,.的的共共轭轭矩矩阵阵阵阵为为矩矩的的共共轭轭复复数数，则则称称矩矩阵阵表表示示AaAaijij (1);(2);(3);(4);(5)(),;TTTTTAAkAkAABABABABAAABBA共轭矩阵有如下性质：共轭矩阵有如下性质：矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵对称阵共轭矩阵共轭矩阵问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?思考题解答思考题解答答答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 BABABA 22.BAAB
