1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 23 概率与统计真题汇编与预赛典型例题概率与统计真题汇编与预赛典型例题 1 【2019 年全国联赛】在 1，2，3，10 中随机选出一个数 a，在-1，-2，-3.，-10 中随机选出一个数 b， 则 a2+b 被 3 整除的概率为 . 【答案】 【解析】若 a1，2，4，5，7，8，10，. 若. 若 a3，6，9，. 若. a2+b 为 3 的倍数的概率为. 2 【2018 年全国联赛】将 1，2，3，4，5，6 随机排成一行，记为 a，b，c，d，e，f，则 abc+def
2、 是偶数的 概率为 . 【答案】 【解析】先考虑 abc+def 为奇数的情况，此时 abc，def 一奇一偶，若 abc 为奇数，则 a，b，c 为 1，3，5 的 排列，进而 d，e，f 为 2，4，6 的排列，这样有 3！ 3！=36 种情况，由对称性可知，使 abc+def 为奇数的 情况数为 36 2=72 种.从而 abc+def 为偶数的概率为. 3 【2016 年全国联赛】袋子 A 中装有两张 10 元纸币和三张 1 元纸币，袋子 B 中装有四张 5 元纸币和三张 1 元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之 和的概率为 _
3、. 【答案】 【解析】 一种取法符合要求， 等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值 a 小于从 B 中取走的两张纸币的总面值 b， 从而， .故只能从 A 中取走两张 1 元纸币，相应的取法数为. 又此时，即从 B 中取走的两张纸币不能均为 1 元纸币，相应有种取法 因此，所求的概率为. 4 【2015 年全国联赛】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为_. 【答案】 【解析】 设正方体为，共 12 条棱，从中任意取出三条棱的方法有种. 下面考虑使三条棱两两异面的取法数. 由于正方体棱共确定三个互不平行的方向（即的方向） ，具有相同方向的四条棱两两共面，因 此，取出的三条棱必属于三个不同
4、的方向.可先取定方向的棱，这有四种取法. 不妨设取的棱为.则方向只能取棱，共两种可能.当方向取棱时，方向取棱分别 只能为. 综上，三条棱两两异面的取法数为 8. 故所求概率为. 5 【2014 年全国联赛】设 A、B、C、D 为空间四个不共面的点，以 的概率在每对点之间连一条边，任意两 对点之间是否连边是相互独立的，则点 A 与 B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为 _. 【答案】 【解析】 每对点之间是否连边有 2 种可能，共有种情形.考虑其中点 A、B 可用折线连接的情形数. （1）有边 AB：共种情形. （2）无边 AB，但有边 CD：此时，点 A、B 可用折线连接当
5、且仅当点 A 与 C、D 中至少一点相连，且点 B 与 C、 D 中至少一点相连，这样的情形数为. （3）无边 AB，也无边 CD：此时，AC 与 CB 相连有种情形，AD 与 DB 相连也有情形，但其中 AC、CB、AD、 DB 均相连的情形被重复计了一次，故点 A 与 B 可用折线连接的情形数为. 综上，情形数的总和为. 故点 A 与 B 可用折线连接的概率为. 6 【2013 年全国联赛】从 1，2，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率是_. 【答案】 【解析】 设取自 1，2，20. 若互不相邻，则 . 由此知从 1，2，20 中取五个互不相邻的数的选法与从 1，2，1
6、6中取五个不同的数的选法相同，即 种.于是，所求的概率为. 7 【2012 年全国联赛】某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都 是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 种密码.那么， 第七周也使用 种密码的 概率是_（用最简分数表示）. 【答案】. 【解析】 用表示第 周用 种密码本的概率.则第 周末用 种密码的概率为. 故 . 8 【2010 年全国联赛】两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜， 否则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率是_. 【答案】 【解析】 同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为， 从而
7、，先投掷人的获胜概率为. 9 【2009 年全国联赛】某车站每天早上 8：009：00、9：0010：00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻 是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表 1一旅客 8：20 到站则他候车时间的数学期望 为_（精确到分） 表 1 到站时刻 8：109：10 8：309：30 8：509：50 概率 【答案】27 【解析】 旅客候车时间的分布如下表 候车时间（分） 10 30 50 70 90 概率 候车时间的数学期望为 1【2016 年陕西】 从 1， 2， ， 20 这 20个数中， 任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为 （ ） . A B
8、C D 【答案】D 【解析】 从这 20个数中任取三个数，可构成的数列共有个. 若取出的三个数 a、b、c成等差数列，则 a+c=2b. 故 a与 c的奇偶性相同，且 a、c 确定后，b 随之而定. 从而，所求概率为. 选 D. 2【2016 年天津】 掷两次色子,用 X 记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望最接近的数为( ) A4 B C5 D 【答案】B 【解析】 易知, ， ， ， ， ， 故, 与最接近. 3 【2018 年江苏】将 1，2，3，4，5，6，7，8，9这 9 个数随机填入的方格表中，每个小方格恰填写 一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概
9、率是_. 【答案】. 【解析】 要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满 足条件的填法共有种.因此所求的概率为. 故答案为： 4 【2018 年重庆】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率_ 【答案】 【解析】 如图，正 9 边形中包含中心的三角形有以下三种形状： 对于（1） ，有 3 种情况；对于（2） ，有 9 种情况：对于（3） ；有 18种情况；故所求概率为 ，故答案为： 5 【2018 年安徽】从 1，2，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_. 【答案】 【解析】 的样本方差，当且仅当
10、是连续的正整数. 故. 故答案为： 6 【2018 年甘肃】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的 知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概 率依次是. （1）求男生闯过四关的概率； （2）设 表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量 的分布列和期望. 【答案】 （1） ； （2）见解析 【解析】分析： （1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出； （2）记女生四关都闯过为事件 ，则的取值可能为 0，1，2，3，4，利用相互 独立事件的概率公式即可得出. 详解： （1）记男生四关都闯过为事件 ，则； （2）
11、记女生四关都闯过为事件 ，则， 因为 ， ， ， ， 所以 的分布如下： . 点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了 推理能力与计算能力. 7 【2016 年上海】设 n 为给定的大于 2的整数。有 n 个外表上没有区别的袋子，第 k(k=1,2, ,n)个袋中有 k 个红球，n-k 个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。求 第三次取出的为白球的概率。 【答案】 【解析】 设选出的是第 k 个袋子，连续三次取球的方法数为 n(n-1)(n-2). 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:
12、(白，白，白)取法数为 (n-k)(n-k-1)(n-k-2)， (白，红，白)取法数为 k(n-k)(n-k-1)， (红，白，白)取法数为 k(n-k)(n-k-1)， (红，红,白)取法数为 k(k-1)(n-k). 从而，第三次取出的是白球的种数为 （n-k） （n-k-1） （n-k-2）+k（n-k） （n-k-1）+k（n-k） （n-k-1）+k（k-1） （n-k） =（n-1） （n-2） （n-k）. 则在第 h 个袋子中第三次取出的是白球的概率为 而选到第 k 个袋子的概率为 ，故所求的概率为 8 【2016 年甘肃】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成 A、B、C
13、 三个项目.已知选手甲完成 A、B、 C 三个项目的概率分别为.每个项目之间相互独立. （1）选手甲对 A、B、C 三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率. （2）该活动要求项目 A、B 各做两次，项目 C 做三次.若两次项目 A 均完成，则进行项目 B，并获得积分 a； 两次项目 B 均完成，则进行项目 C，并获积分 3a；三次项目 C 只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分 6a（积分不累计） ，且每个项目之间互相独立.用 X 表示选手甲所获积分的数值，写出 X 的分布列并求数学 期望. 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 （1）设选手甲对 A、B、C 三个项目记为事件 A、B、C，且相互独立，至少完成一个项目为事件 D. 则. （2）X 的取值分别 0、a、3a、6a.则 ， ， ， . 于是，X 的分布列如表 1. 表 1 X 0 a 3a 6a P 故.
