1、山西长治长子高三数学下册拓展练习试卷理 1 / 23 山西省长治市长子县第一中学 2020 届高三数学下学期拓展练习试题 理 函数、导数与不等式 一、选择题 1.(考点:集合与不等式,)已知集合A=x|2xx 2,B= ,则AB=( ). A. B.(-,2) C.(0,+) D. 【解析】因为A=(0,2),B=,所以AB=(-,2).故选 B. 【答案】B 2.(考点:函数的零点,)下列函数中是奇函数且有零点的是( ). A.f(x)=x+|x| B.f(x)=x -1+x C.f(x)= +tan x D.f(x)=sin 【解析】依据函数的奇偶性可排除 A、D,依据函数是否有零点可排除
2、 B,故选 C. 【答案】C 3.(考点:定积分,)已知汽车运动的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)之间的关系式为v=3t+2,则汽车在 第 1 s 至第 2 s 之间的 1 s 内经过的路程是( ). A.5 m B. m C.6 m D. m 【解析】所求路程S=(3t+2)dt=6+4- -2=(m),故选 D. 【答案】D 4.(考点:线性规划,)已知实数x,y满足则目标函数z=x 2+y2的最大值与最小值之和为( ). A.5 B. C.6 D.7 【解析】 画出实数x,y满足的可行域,如图所示,目标函数z=x 2+y2的几何意义为坐标原点 O与可行域内点的距离 的平方. 山
3、西长治长子高三数学下册拓展练习试卷理 2 / 23 由图可知,坐标原点O到直线x+y-1=0 的距离为点O与可行域内点的距离的最小值,最小值为,可行域 内的点B(1,2)与坐标原点O的距离最大,最大值为=. 故目标函数z=x 2+y2的最大值与最小值之和为 5+ = .故选 B. 【答案】B 5.(考点:函数的奇偶性,)已知函数y=f(x)是奇函数,当x0 时,f(x)=log2x,则f(x-1)0 时,令f(x)1,-1a B.cab C.bac D.abc 【解析】a=log23log22=1,b=log47log44=1,00,方程无解,故 aa3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件
4、. 其中为真命题的是( ). A.p1,p3 B.p2,p3 C.p2,p4 D.p3,p4 【解析】对于p1,当a=-1,b=1 时,满足aa3,则a1a1qa1q 2,若 a10,则 1qq 2,得 0c B.cab C.abc D.acb 【解析】因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数f(x)是奇函数. 构造函数g(x)=xf(x),则当x(0,+)时,g(x)=f(x)+xf(x)2 0.2ln 20,函数 g(x)在(0,+)上单调递减,所以g(2)4 C.(a-1) 2+(b-1)22 D.a 2+b22, ab2,即ab4.故 A,B 正确. (a-1) 2
5、+(b-1)22 等价于 a 2+b22(a+b),又 a 2+b22ab,且 a+b=ab,故 C 正确. a 2+b22ab,ab4,a2+b28,故 D 错误. 故选 D. 【答案】D 6.(考点:函数图象的对称性,)已知定义在 R 上的函数f(x)满足f(x)=且 f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间-5,1上的所有实数根之和为( ). A.-10 B.-9 C.-8 D.-7 【解析】由题意知,f(x)是以 2 为最小正周期的周期函数,g(x)=3+. 作出函数f(x)与g(x)的图象, 如图所示,两个函数的图象都关于点(-2,3)对称,由图象可得y=f
6、(x)和y=g(x)的图象在区间-5,1上有 3 个交点,各交点的横坐标之和为-3+(-2)2=-7,即方程f(x)=g(x)在区间-5,1上的所有实数根之和为-7. 故选 D. 【答案】D 山西长治长子高三数学下册拓展练习试卷理 8 / 23 7.(考点:线性规划,)已知M(-4,0),N(0,4),设点P的坐标为(x,y),且x,y满足则 的最小值为( ). A.- B. C. D.- 【解析】 作出可行域,如图所示. =(x+4,y),=(x,y-4), =x 2+4x+y2-4y=(x+2)2+(y-2)2-8, 的最小值为点(-2,2)与可行域内点的距离的平方 的最小值再减去 8.
7、由图象可知,点A(-2,2)与可行域内点的最短距离为其到直线 3x-4y+12=0 的距离d, 且d=, ()min=-8=-=-. 【答案】A 8.(考点:切线与最值问题,)已知a0,曲线f(x)=3x 2-4ax 与g(x)=2a 2ln x-b 有公共点,且在公共点处 的切线相同,则实数b的最小值为( ). A.0 B.- C.- D.- 【解析】由f(x)=3x 2-4ax,得 f(x)=6x-4a,由g(x)=2a 2ln x-b,得 g(x)=. 设两曲线的公共点为P(x0,y0),x00, 因为两曲线在公共点处的切线相同,所以 由 6x0-4a=,解得x0=a或x0=-,又a0,
8、所以x0=a,消去y0得b=2a 2ln a+a2. 山西长治长子高三数学下册拓展练习试卷理 9 / 23 设b=h(a)=2a 2ln a+a2,则 h(a)=4aln a+4a,令h(a)=0,解得a= .当a时,h(a)0,故函数h(a)在 上单调递增;当 0;. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】对于,设f(x)=eln x-x,x0,则f(x)= -1=. 当 0e 时,f(x)2,故正确. 对于,8e 2,ln 8ln e2,3ln 22,即 ln 2 ,故正确. 对于,设g(x)=,则g(x)=, 当 0e 时,g(x)0,所以函数f(x)在(1,+)上 单调递增. 可得f
9、(x)在x=1 处取得极小值,也为最小值,最小值为-1,且f(0)=1, 故可作出函数f(x)的图象,如图所示. g(x)=3f(x) 2-10f(x)+3,可令 g(x)=0,t=f(x), 山西长治长子高三数学下册拓展练习试卷理 11 / 23 则 3t 2-10t+3=0,解得 t=3 或t= . 当t=,即f(x)=时,函数g(x)有 3 个零点; 当t=3,即f(x)=3 时,函数g(x)有 1 个零点. 综上所述,函数g(x)共有 4 个零点.故选 A. 【答案】A 二、填空题 13.(考点:导数的几何意义,)设点P在曲线y=ln x上,点R在直线y=x上,则|PR|的最小值 为
10、. 【解析】由题意知,函数y=ln x的导函数为y=,设曲线y=ln x与直线y=x的平行线相切的切点为 (m,n),则=1,即m=1,可得切点为(1,0),此时|PR|的最小值为=. 【答案】 14.(考点:函数的单调性与值域,)已知aZ,若m(0,e),x1,x2(0,e)且x1x2,使得(m-) 2+3=ax 1- ln x1=ax2-ln x2,则满足条件的实数a的取值个数为 . 【解析】因为m(0,e),所以y=(m-) 2+33,5). 由题意得函数f(x)=ax-ln x在(0,e)上不单调, 因为f(x)=a-,令f(x)=0,得x=,所以 00. 要使得f(x)存在两个不同的
11、极值点x1,x2,则要求方程h(x)=0 有两个不同的正实数根,则 x1+x2=0,x1x2=0,=4-8a0,解得 01),则g(t)=, 所以函数g(t)在(1,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增.故函数g(t)在t=e 处取得极小值,也是最小值,最 小值为=e,所以函数g(t)在(1,+)上的值域为e,+),故ae,+). 【答案】e,+) 三角函数、平面向量 与解三角形(A) 一、选择题 1.(考点:三角函数值符号的判断,)点A(sin 2020,cos 2020)在直角坐标平面上位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由 2020=3605+
12、(180+40)可知,2020角的终边在第三象限,所以 sin 20200)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以 sin=, 且 00)的两个相 邻的零点.若对任意x,都有|f(x)-m|1,则实数m的取值范围为. 【解析】f(x)=-= =sin. 由题意可知,f(x)的最小正周期T=,=, 又0,=1,f(x)=sin. 对任意x,都有|f(x)-m|1,即f(x)-1mf(x)+1, 当x时,mf(x)max-1 且mf(x)min+1. -x0,-1sin,-m1-. 故实数m的取值范围为. 【答案】 数列、推理与证明(A) 一、选择题 1.(考点:通项公式,)数列 , , ,
13、 ,的一个通项公式为( ). 山西长治长子高三数学下册拓展练习试卷理 22 / 23 A.an= B.an= C.an= D.an= 【解析】数列 , , , ,可化为 , , , ,所以该数列的一个通项公式为an=,故选 B. 【答案】B 2.(考点:等比中项,)在等比数列an中,若a4a5a6=8,且a6=1,则公比q=( ). A.- B. C.2 D.-2 【解析】在等比数列an中,a4a5a6=8,则a5=2,又a6=1,故q=,故选 B. 【答案】B 3.(考点:等比数列的基本运算,)设正项等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,a3+a4=12,则公比q=( ). A.5 B.
14、4 C.3 D.2 【解析】由题意得即解得q 2=4. 又因为q0,所以q=2.故选 D. 【答案】D 4.(考点:等差数列,)已知等差数列an的各项均为正数,a1+a2+a3=12,a1a2a3=48,则数列an的通项公 式为( ). A.an=2n B.an=3n+2 C.an=3n-2 D.an=-2n+8 【解析】设等差数列an的公差为d, 由a1+a2+a3=12,可得 3a2=12,即a2=4. a1a2a3=48,a1a3=12. 又a1+a3=8,a1,a3是方程x 2-8x+12=0 的两个根. 又等差数列an的各项均为正数,a1=2,a3=6,d=2. 故数列an的通项公式
15、为an=2+2(n-1)=2n.故选 A. 【答案】A 5.(考点:等差数列的性质,)在等差数列an中,若a1+a4+a8+a12+a15=120,则a9- a11的值是( ). A.18 B.17 C.16 D.15 【解析】由a1+a4+a8+a12+a15=120,得 5a8=120,即a8=24, 所以a9- a11=(3a9-a11)=(a9+a7+a11-a11)=(a9+a7)= a8= 24=16. 故选 C. 【答案】C 6.(考点:等差数列的应用,)周髀算经中记录了一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长
16、依次成等差数列,若冬至、立春、春分 的日影长的和是 37.5 尺,芒种的日影长为 4.5 尺,则冬至的日影长为( ). A.8.5 尺 B.10.5 尺 C.12.5 尺 D.15.5 尺 山西长治长子高三数学下册拓展练习试卷理 23 / 23 【解析】从冬至起,各节气的日影长依次记为a1,a2,a3,a12,根据题意,有a1+a4+a7=37.5,即 3a4=37.5,解 得a4=12.5. 又a12=4.5,设等差数列的公差为d,则有解得 所以冬至的日影长为 15.5 尺.故选 D. 【答案】D 7.(考点:数列的综合应用,)设等差数列an的公差为d,若a1+1,a2+1,a4+1 成以d
17、为公比的等比数列,则 d=( ). A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】将a1+1,a2+1,a4+1 转化为a1+1,a1+1+d,a1+1+3d, 因为这三个数成以d为公比的等比数列,所以=d,=d,且d0, 根据两式相等,化简得a1+1=d,代入=d,得=2=d.故选 A. 【答案】A 8.(考点:数学归纳法,)用数学归纳法证明 1+2+3+n 2= ,则当n=k+1 时,等式左端为( ). A.1+2+k 2+k2+1 B.1+2+k 2+(k+1)2 C.1+2+k 2+k2+1+k2+2+(k+1)2 D.1+2+k 2+k2+1+(k+1)2 【解析】因为当n=k时,等式左端
18、为 1+2+k 2, 所以当n=k+1 时,等式左端为 1+2+k 2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.故选 C. 【答案】C 9.(考点:等比数列的性质,)已知等比数列an的各项均为正数,向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且ab=4,则 log2a1+log2a2+log2a10=( ). A.12 B.10 C.5 D.2+log25 【解析】ab=4,a4a7+a5a6=4,由等比数列的性质,可得a4a7=a5a6=2,则 log2a1+log2a2+log2a10=log2(a1a2a10)=log22 5=5.故选 C. 【答案】C 10.(考点:数列求和,)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n2,nN *,满足 Sn+1+Sn- 1=2(Sn+1),则S10的值为( ).
