1、甘肃高台高三数学上册期中试卷文 1 / 7 甘肃省高台县第一中学 2020 届高三数学上学期期中试题 文 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 若集合，则 （ ） A B C D 2复数对应的点位于复平面的 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A B C D 4函数的大致图象是（ ） A B C D 5已知某超市年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示： 根据该折线图可知，下列说法错误的是 （ ） A该超市年的 1
2、2 个月中的 7 月份的收益最高 B该超市年的 12 个月中的 4 月份的收益最低 C该超市年 16 月份的总收益低于年 712 月份的总收益 D该超市年 712 月份的总收益比年 16 月份的总收益增长了 90 万元 6. 已知，且，则 （ ） A B C D 7. 已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，且到双 曲线左顶点的距离是，则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 8. 在平行四边形中，若是的中点，则（ ） A B C D 9. 甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动.甲说： “乙去我就肯定去.” ；乙说： “丙去我就不 去.” ；丙说： “无论丁去不去，我都去.” ；丁说： “甲
3、乙中至少有一人去，我就去.”以下哪项推论 可能是正确的 （ ） A 乙、丙两个人去了 B甲一个人去了 C甲、丙、丁三个人去了 D四个人都去了 10将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 的图象，若的图象都经过点，则的值可以是( ) A B C D 11. 已知向量，向量，则的最大值、最小值分 别是 （ ） A ， B ， C， D， 12已知函数，若函数在定义域内存在零点，则 实数的取值范围为 （ ） A B C D 第卷（非选择题，共 90 分） 支出 收入 1 月份 90 80 70 60 50 40 30 20 10 O 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 万元 甘肃高台
4、高三数学上册期中试卷文 2 / 7 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量，若且方向相反，则 14. 已知函数，则 15. 直线与曲线相切，则 16我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥.已知半径为的半球内有一个方锥， 方锥的所有顶点都在半球所在的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥体积为，则 半球的表面积为 _. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.（本小题满分 12 分） 已知数列满足，且. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数
5、列的前项和. 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）设的内角的对边分别为边，若，成等差 数列，且，求的值 19.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点 （1）证明：平面； （2）若平面，求到平面的距离 20. （ 本 小 题 满 分12分 ） 已 知 离 心 率 为的 椭 圆 的一个焦点为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，且 . （1）求此椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求 的值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数. （1）当时，求的极大值； （2）证明：当时，存在，使得.
6、 （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. . 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B2B 铅笔在答题卡上将所铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑，多答按所答第一题评分。选题目对应的题号方框涂黑，多答按所答第一题评分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点为极点， 以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的普通方程； （2）已知，直线 与曲线交于，两点，求的最大值 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式
7、选讲 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围 E D CA A1C1 B1 B 甘肃高台高三数学上册期中试卷文 3 / 7 高台一中 2019 年秋学期高三年级期中考试 数学（文科）答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C D A C D C B D B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70
8、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知数列满足，且. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 【解析】 （1）方法 1：证明：由，得 3 分 即 又 .5 分 数列是以 为首项，为公比的等比数列6 分 方法 2：证明：由已知得 . 3 分 又 5 分 数列是以 为首项，为公比的等比数列. .6 分 （2）由（1）知， .7 分 则 .10 分 .12 分 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）设的内角的对边分别为边，若，成等差 数列，且，求的值 【解析】 （1） .3 分 甘肃高台高三
9、数学上册期中试卷文 4 / 7 的最小正周期. .4 分 由得 的单调递减区间为 .6 分 （2）由，得 .7 分 .8 分 又成等差数列 由正弦定理得 10 分 由余弦定理得 解得 .12 分 19. （本小题满分 12 分） 如图， 在直三棱柱中， 分别为的中点 （1）证明：平面； （2）若平面，求到平面的距离 平面 甘肃高台高三数学上册期中试卷文 5 / 7 20.（本小题满分 12 分） 已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过 且与轴垂直的直线交椭圆于两点，且. （1）求此椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求 的值. 【解析】 甘肃高台高三数学上册期中
10、试卷文 6 / 7 21.（本小题满分 12 分） 已知函数. （1）当时，求的极大值； （2）证明：当时，存在，使得. 2 甘肃高台高三数学上册期中试卷文 7 / 7 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点为极点， 以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的普通方程； （2）已知，直线 与曲线交于，两点，求的最大值 【解析】 （1）， ，即 .4 分 （2）将直线 的参数方程（ 为参数）代入的普通方程， 得， .6 分 则，7 分 所以，.9 分 所以，即的最大值为 .10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，求实数，的值 【解析】 （1）当时，原不等式可化为，无解； 当时，原不等式可化为，从而； 当时，原不等式可化为，从而， 综上，原不等式的解集为 （2）由得， 又， 所以，即，解得， 所以的取值范围为
