1、1.11.1n n阶行列式阶行列式 1.1.1 1.1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 n n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：设二元线性方程组设二元线性方程组 （1 1）22221211212111bxaxabxaxa其中其中021122211aaaa现在讨论线性方程组（现在讨论线性方程组（1 1）的求解公式，）的求解公式，对（对（1 1）作加减消元得）作加减消元得:第一章第一章 n n阶行列式阶行列式211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx22211211,aaaa（2 2）式（式（
2、2 2）就是式（）就是式（1 1）的解，但（）的解，但（2 2）不易记忆，）不易记忆，因此有必要引进新的符号因此有必要引进新的符号-“-“行列式行列式”来表示来表示（2 2）式。）式。定义定义:设设 是四个数，称代数和是四个数，称代数和21122211aaaa为二阶行列式，记作为二阶行列式，记作22211211aaaa21122211aaaa 称为这个二阶行列式的元素，称为这个二阶行列式的元素，的的两个下角标两个下角标 分别表示所在的行和列的序号，分别表示所在的行和列的序号，常称常称 是行列式的（是行列式的（）元素。）元素。)2,1,(jiaijijaji,ijaji,对线性方程组（对线性方程
3、组（1 1），记），记D22211211aaaa021122211aaaa 1D212221222121baababab2112112211112abbababaD(1)(1)的解（的解（2 2）可写成）可写成 .;2211DDxDDx例如，对线性方程组例如，对线性方程组 221532121xxxx由于由于0)1(5232153D;,8252122511D,7)1(12321132D 为了得出关于三元线性方程组为了得出关于三元线性方程组 .117;1182211DDxDDx则方程组的解可以写成333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
4、的类似解法，我们引入三阶行列式。的类似解法，我们引入三阶行列式。333231232221131211aaaaaaaaa=332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa定义定义:称称为三阶行列式。为三阶行列式。例如例如100123214114000122114030987654321为了研究为了研究n n元线性方程组我们把二阶和三阶行列式元线性方程组我们把二阶和三阶行列式加以推广，引入加以推广，引入n n阶行列式。阶行列式。1.1.2 1.1.2 全排列的逆序数、对换全排列的逆序数、对换为了给出为了给出n n阶行列式的定义，首先介绍全
5、排列阶行列式的定义，首先介绍全排列的的“逆序数逆序数”与全排列的与全排列的“对换对换”。定义定义:把把n n个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这n n个个元素的全排列，或元素的全排列，或n n阶排列（简称排列）。阶排列（简称排列）。n n个不同个不同元素的排列共有元素的排列共有 种种!n例如例如:自然数自然数1 1，2 2，3 3的排列共有六种：的排列共有六种：123123，132132，213213，231231，312312，321321 为了方便起见，今后把自然数为了方便起见，今后把自然数 视为视为n n个不同的元素的代表。用个不同的元素的代表。用 表示这表示这n n
6、个不同的个不同的元素中的一个元素中的一个 ，且，且 时时 于于是是 便是便是 的一个排列。的一个排列。ip),2,1(npi ji jipp npppp 321n ,2,1n ,2,1对于排列对于排列 ，称排在称排在 前且比前且比 大的大的数的个数数的个数 为为 的逆序数，把这个排列中各数的逆序数，把这个排列中各数的逆序数之和称为这个排列的逆序数，的逆序数之和称为这个排列的逆序数，npppp 321ipipipit逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为逆序数为偶数的排列称为偶排列；偶数的排列称为偶排列；(npppp 321).()123n =0；n 123(2)1(
7、)1(321)321)2)(1(nnnnnn；;413000)23514(.541000)23541(自然排列自然排列:记作：记作：的逆序数为的逆序数为自然排列自然排列:排列排列321)2)(1(nnn的逆序数为的逆序数为例例1:1:求排列的逆序数求排列的逆序数定义定义 n n2 2个元素排成个元素排成n n行行n n列，称列，称（)2n 定义定义:在一个排列中，将某两个数的位置对调在一个排列中，将某两个数的位置对调（其他数不动）的变动叫做一个对换。（其他数不动）的变动叫做一个对换。定理定理1.1 1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列一个排列中的任意两个数对换后，排列改变奇偶性。改变奇偶
8、性。定理定理1.2 1.2 在全部在全部n n 阶排列中，阶排列中，奇偶排列各占奇偶排列各占1.1.3 n1.1.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义一半。一半。nnnpppnppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(为为n n阶行列式，其中阶行列式，其中 nppp21是对所有是对所有n n阶排列阶排列npppp 321取和。取和。此行列式可简记此行列式可简记)(ija或或 。记一阶行列式记一阶行列式 ；1111aanijaD nnnnnnaaaaaaaaaD 221122211211000；11,212)1(1,2121,21)1(000
9、00nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD 例例1.5 1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于三角形行列式（或对角形行列式）等于主对角线上主对角线上n n个元素的乘积。个元素的乘积。例例1.6 1.6 负三角形行列式负三角形行列式n n阶行列式的等价定义：阶行列式的等价定义：nnnnnjijijijjjjjjiiinijaaaaD 2211212121)()()1(nnnnnjijijijjjjjjiiiaaa 2211212121)()()1()1(；niiiiiiiiinijjijijiiiiiiiijjnijnnnnnnnjnaaaaDaaaaD 21)()()(2121
10、212211212121)1()1()1(1.2 n 1.2 n 阶行列式的性质阶行列式的性质定义定义:设设nijaD，称，称nnnnnnTaaaaaaaaaD 212221212111为为 D D 的转置行列式。的转置行列式。性质性质1 1 行列式与转置行列式相等行列式与转置行列式相等.n n 阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该如果行列式有两行（列）完全相同，则该行列式为零行列式为零.性质性质3 3 把行列式的某一行（列）的所有元素同乘把行列式的某一行（列）的所有元素
11、同乘 以数以数c c，等于用数，等于用数c c乘以这个行列式乘以这个行列式推论推论1 1 如果行列式某一行（列）有公因子如果行列式某一行（列）有公因子k k时，时，则该公因子则该公因子k k可以提到行列式的符号外面可以提到行列式的符号外面 nnnnininiiiinaaabababaaaa21221111211nnnniniinaaaaaaaaa 212111211+nnnniniinaaabbbaaa 212111211性质性质4 4 如果行列式某行（列）的所有元素都是两如果行列式某行（列）的所有元素都是两数之和，则该行列式为两行列式之和，即数之和，则该行列式为两行列式之和，即推论推论2 2
12、 如果行列式有两行（列）成比例，如果行列式有两行（列）成比例，则该行列式为零。则该行列式为零。性质性质5 5 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以把行列式的某一行（列）的各元素同乘以 数数c c加到另一行（列）的对应元素上去，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式的值不变则行列式的值不变 下面讨论将下面讨论将n n阶行列式转化为阶行列式转化为n-1n-1阶行列式计算阶行列式计算的问题，即：的问题，即：行列式展开定理。行列式展开定理。定义定义1.6 1.6 在给定的在给定的n n阶行列式阶行列式 中，把元素中，把元素 所在的所在的i i行和行和j j列的元素划去列的元素划去,剩余元素构成的剩余
13、元素构成的n-1n-1阶行列式称为元素阶行列式称为元素 的余子式，记作的余子式，记作 ;而元素而元素 的代数余子式记作的代数余子式记作 ，定义定义nijaD ijaijaijaijMijA.)1(ijjiijMA 10531852174324321D12)1(;121053852432.11)1(;1110538527432112212111111111MAMMAM例如例如 在行列式在行列式中中性质性质6 n6 n阶行列式阶行列式 等于它的任意一行（列）等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即nijaD).,2,1();,2
14、,1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 推论推论 n n阶行列式阶行列式 ，则，则nijaD jijiDAaAaAajninjiji02211利用利用Kronecker Kronecker 符号函数符号函数.221101ijjninjijiijDAaAaAajiji 证明：由证明：由021212111211 nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaaG及性质及性质6 6将将G G按按 j j 行展开有行展开有02211 jninjijiAaAaAaG411220110221190110022011901031011012114103103113123rrrrD例例1.71.7
