1、第二章 插值与拟合2.5 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合 总结总结2.5.3 正交多项式拟合正交多项式拟合2.5.2 多项式的拟合多项式的拟合2.5.1 最小二乘拟合最小二乘拟合第二章 插值与拟合2.5 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合学习目标：学习目标：了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线性拟合和二次多项式拟合的方法。性拟合和二次多项式拟合的方法。第二章 插值与拟合2.5 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合2.5.1 最小二乘拟合最小二乘拟合对于已知的对于已知的m+1的离散数据的离散数据 和权数和权数 ，记，记 在连续函数空间在连续函数空间Ca
2、,b中选定中选定n+1个线性无关的基函数个线性无关的基函数 ，并记由它们生成的子空间并记由它们生成的子空间 。如果。如果存在存在miiiyx0,mii0imiimixbxa00max,minmkkx0)()(),(),(10 xxxspann使得使得,)(0*nkkxa)(*x(2.5.1)niiixniiixyxy02)(02*)(min)(则称则称 为离散数据为离散数据 在子空间中带权在子空间中带权 的的最小二乘拟合最小二乘拟合。)(*x miiiyx0,mii0 函数函数 在离散点处的值为在离散点处的值为)(x.,1,0,)()(0mixaxnkkki 第二章 插值与拟合因此，（因此，（
3、2.5.1）右边的和式是参数）右边的和式是参数 的函数，记作的函数，记作naaa,10.)(),(20010 minkikkiinxayaaaI （2.5.2）这样，求极小值问题（这样，求极小值问题（2.5.1）的解）的解 ,就是求多元二次函数就是求多元二次函数的极小点的极小点 使得使得)(*x),(10naaaI),(*1*0naaa).,(min),(10,*1*010nRaaanaaaIaaaIn 由求多元函数极值的必要条件有由求多元函数极值的必要条件有.,1,0,0)()(200njxxayaIijminkikkiij 按内积的定义，上式可写为按内积的定义，上式可写为.,1,0),()
4、,(0njyajnkjkk （2.5.3）第二章 插值与拟合可以证明，这样得到的可以证明，这样得到的 ，对于任何，对于任何 ，都有，都有)(*x)(x,)()(0202*niiiniiixyxy 这方程称为这方程称为法方程法方程(或或正规方程正规方程)。这里，。这里，.,1,0,)(niyxyii 由于由于 线性无关，故（线性无关，故（2.5.3）的系数矩阵非奇异，方程）的系数矩阵非奇异，方程组（组（2.5.3）存在唯一的解）存在唯一的解 从而得从而得,00n ,1,0,*nkaakk .)()(0*xaxknkk 故故 是所求的最小二乘拟合。记是所求的最小二乘拟合。记 ，显然，平方误差，显然
5、，平方误差 或或 均方误差均方误差 越小，拟合的效果越好。平方误差有与（越小，拟合的效果越好。平方误差有与（2.4.15）相同）相同形式的表达式。形式的表达式。)(*x)(*xy 22 2 第二章 插值与拟合2.5.2 多项式的拟合多项式的拟合 例例 2.13 用多项式拟合表用多项式拟合表2-7中的离散数据。中的离散数据。yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 0 1 2 3 4表表2-7即在多项是空间即在多项是空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。中作曲线拟合，称为多项式拟合。这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的
6、方法求解。子空间这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基得基函数为函数为 前面讨论了子空间前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离散说据散说据 的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式 miiiyx0,.)(10nnxaxaax ,1nxxspan n。kxxkk,1,0,)(第二章 插值与拟合解解 作数据点的图形如图作数据点的图形如图2-2，从图形看出用二次多项式拟合比较合适。这，从图形看出用二次多项式拟合比较合适。这时时n=2，子空间，子空间
7、 的基函数的基函数 。数据中没有给。数据中没有给出权数，不妨都取为出权数，不妨都取为1，即，即 。2210)(,)(,1)(xxxxx 4,1,0,1 ii o y 1.961 x*图图2-2按（按（2.5.3）有）有 7975.227.331.43828.15625.1875.15625.1875.15.2875.15.25210aaa 解此方程组得解此方程组得 。从而，拟合多项式为。从而，拟合多项式为2114.1,5726.0,1214.0*2*1*0 aaa,2114.15726.01214.0)(2*xxxx 第二章 插值与拟合其平方误差其平方误差 。拟合曲线。拟合曲线 的图形见图的图
8、形见图2-2。0337.022 )(*x 在许多实际问题中，变量之间的关系不一定能用多项式很好的拟在许多实际问题中，变量之间的关系不一定能用多项式很好的拟合。如何找到更符合实际情况的数据拟合，一方面要根据专业知识和合。如何找到更符合实际情况的数据拟合，一方面要根据专业知识和经验来确定拟合曲线的形式，另一方面要根据数据点的图形性状及特经验来确定拟合曲线的形式，另一方面要根据数据点的图形性状及特点来选择适当的曲线拟合这些数据。点来选择适当的曲线拟合这些数据。例例 2.14 已知函数已知函数y=f(x)的数据如表的数据如表2-8。试选择适当的数学模型进行拟合。试选择适当的数学模型进行拟合。yi 4.
9、00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 10.53 10.61xi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表表2-8第二章 插值与拟合 解解 (1)观察数据点的图形观察数据点的图形(见图见图2-3),选择二次多项式作为拟合模型。选择二次多项式作为拟合模型。取所有权数为取所有权数为1，按（，按（2.5.3）有）有.01.853059.75749.881404341039682610396826768267610210 aaa解得解得 ，从而拟合函数为，从而拟合函数为048320.01436.11490.
10、4*2*1*0 aaa，2*048320.01436.11490.4)(xxx平方差平方差 的图形见图的图形见图2-3。有平方误差和。有平方误差和 的的图形可见，拟合的效果不佳。因此，不宜直接选用多项式作拟合。图形可见，拟合的效果不佳。因此，不宜直接选用多项式作拟合。)(,9486.3*22x )(*x y113o116 T*第二章 插值与拟合(2)从数据的图形看，可以选用指数函数进行拟合。设从数据的图形看，可以选用指数函数进行拟合。设 ，其中其中 。这是一个非线性模型，。这是一个非线性模型，不能直接用上面讨论的方法求解。不能直接用上面讨论的方法求解。对于一般的非线性最小二乘问题对于一般的非线
11、性最小二乘问题.，用常规方法求解的难度较大。这里的非，用常规方法求解的难度较大。这里的非线性模型比较简单，可以把它转化成线性模型，然后用上面讨论的方法求解。线性模型比较简单，可以把它转化成线性模型，然后用上面讨论的方法求解。0,0 xex )(对说函数对说函数 的两边取之然对数，得的两边取之然对数，得 。若令，则有若令，则有z=A+t。这是一个线性模型。这是一个线性模型。将本题离散数据作相应的转换，见表将本题离散数据作相应的转换，见表2-9。xex )(xxln)(ln ln),(ln,1 Axzxtti 1.0000 0.5000 0.33333 0.2500 0.1667 0.1250 0
12、.1000 0.0833 0.0714 0.0625 zi 1.3863 1.8575 2.0807 2.1736 2.2544 2.2885 2.3351 2.3437 2.3542 2.3681 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表表2-9第二章 插值与拟合对表对表2-9种的数据，作线性拟合，这时种的数据，作线性拟合，这时n=1，子空间，子空间的基函数为的基函数为 。易得发方程。易得发方程,1)(0 xxx)(1.9586.44362.2149302.16923.26923.210A解得解得A=2.4284,=-1.0579,从而从而 。于是，所求的拟合函数为。于是，所求的拟合函
13、数为3411.11Ae,3411.11)(0579.1*xex平方误差为平方误差为 。它比方法（。它比方法（1）的）的 小得多，拟小得多，拟合效果较好。合效果较好。1109.022 9486.322 第二章 插值与拟合2.5.3 正交多项式拟合正交多项式拟合 一般地，用最小二乘法得到的方程组（一般地，用最小二乘法得到的方程组（2.5.3），其系数矩阵是病态的。实用），其系数矩阵是病态的。实用的曲线拟合办法是采用正交函数作的曲线拟合办法是采用正交函数作的基。的基。若点集若点集 中至少有中至少有n+1个互异，那么可用三项递推公式个互异，那么可用三项递推公式(2.4.4)和和(2.4.5)求出正交多
14、项式序列求出正交多项式序列 ,它们可以作为子空间它们可以作为子空间=span 的的一组基。求出多项式序列一组基。求出多项式序列 后，可以建立拟合模型后，可以建立拟合模型 miix0 nkkx0nxx,1 nkkx0 nkkkxax0 此时，对应的法方程为此时，对应的法方程为 有有由于按法方程由于按法方程。它的解为它的解为。aynkyankyajnkjkkjkkkkkkkk,3.5.2 ,1,0,1,0,0 第二章 插值与拟合 按上述求离散数据按上述求离散数据 的拟合多项式的拟合多项式 的方法，称为的方法，称为正交多项正交多项式拟合式拟合。根据惟一性，所得结果与用前面的方法所得的结果相同，但数值
15、计算。根据惟一性，所得结果与用前面的方法所得的结果相同，但数值计算比前者稳定。比前者稳定。miiiyx0,x 。因而平方误差为。因而平方误差为即即njyj,1,0,0,。2222022202222,-y yayyayyyyynkkkknkkk解解 已知离散数据为已知离散数据为 .96.1,09.1,81.0,35.0,1.0,1,75.0,5.0,25.0,00440iiiiyx例例 2.15 用正交化方法求例用正交化方法求例2.13中的离散数据的二次多项式拟合。中的离散数据的二次多项式拟合。第二章 插值与拟合最后得拟合多项式最后得拟合多项式。211428571.1a 784.1a ,862.0a 210 ,06625.0,115.1,31.4y,210 yy 进而有进而有 对权数对权数 ,在例在例2.10中已求出了点集中已求出了点集 上的正上的正交多项式交多项式 1,1,1,1,140ii 04iix ,125.05.0,5.0,12210 xxxxx并且有并且有0546875.0,625.0,5,2,21,100 xaxaxax221100125.05.0(2114.1)5.0(784.1826.02xx.2114.15726.01214.02xx所得结果与例所得结果与例2.13相同相同.
