1、第七章 特征值与特征向量的数值求法7.2 幂法和反幂法幂法和反幂法7.2.2 反幂法和原点位移反幂法和原点位移7.2.1 幂法和加速方法幂法和加速方法第七章 特征值与特征向量的数值求法7.2.1 幂法和加速方法幂法和加速方法个特征值满足的设矩阵nRAnn*,.21n (7.2.1),.,.,121为主特征值称模最大的特征值线性无关个特征向量对应的nxxxn.1为主特征向量称对应的特征向量 x幂法用于主特征值和特征向量幂法用于主特征值和特征向量.它的基本思想是任取一个非零的初始向量它的基本思想是任取一个非零的初始向量构造一向量序列由矩阵Av,0.2,1,01kvAAvvkkk可表示为由假设0v.
2、22110nnxxxv (7.2.2)第七章 特征值与特征向量的数值求法则有个分量的第为若记,)(ivvkikikiinikkxvAv10),()(11112111Kkikiinikxxx,)()()()(1111111ikikikikxxvv。知则由，。若其中111111112lim,lim0lim0,0ikikkkkkkkiikiniikvvxvxx似于主特征值。对应非零分量的比值近的与近似于主特征值，充分大时，可见，当kkkvvvk1第七章 特征值与特征向量的数值求法趋于零，时，范化。因为当需要对计算结果进行规在实际计算中kv1,1或上溢。从而计算时会出现下溢的非零分量趋于无穷。时当kv
3、,11我们有这样其中记对为此,.,)max(,),.,(,21iinTnzzRzzz如下幂法的实用的计算公式如下幂法的实用的计算公式:。,.2,1),max(/,0100kvvuAuvuvkkkkk (7.2.3)并且有对满足的特征值设定理)1.2.7(),.,2,1(4.7*niRAinn，。给定初值向量个线性无关的特征向量应的iiniixvnixn10),.2,1(生成的向量序列有，则由（)3.2.70i。111)max(lim,)max(limkkkkvxxu第七章 特征值与特征向量的数值求法有由证)3.2.7(:。vAvAuvAvAvkkkkkk)max(,)max(00010有由)2
4、.2.7()(max)()max(),()(11111100111121110kkkkkkkkkikiinikkxxvAvAuxxxvA。)()max()max(111111kxxxxkk同理同理,可得到可得到。)()max()max()max(,)max()()(max)(111111111111111111111kxxvxxxxvkkkkkkkkkk定理得证。定理得证。第七章 特征值与特征向量的数值求法的特征的大小确定。若幂法的收敛速度由由定理的证明可见A12/,，且果，将有不同的情况。如值不满足（121.)1.2.7rrr有和计算公式对初始向量可以作类似的分析)3.2.7()2.2.7(
5、,。111)max(lim,)max(limkkiiriiirikkvxxu况，讨论较为复杂。量。对特征值的其他情仍收敛于一个主特征向可见ku,各种情况的判断。完整的幂法程序要加上例例7.1 用幂法求矩阵用幂法求矩阵225.05.025.0115.011A的主特征值和主特征向量的主特征值和主特征向量.第七章 特征值与特征向量的数值求法。的的计计算算结结果果如如表表按按取取初初始始向向量量解解17)3.2.7(,)1,1,1(:0 Tu K 0 (1.0000,1.0000,1)1 (0.9091,0.8182,1)2.7500000 5 (0.7651,0.6674,1)2.5887918 1
6、0 (0.7494,0.6508,1)2.5380029 15 (0.7483,0.6497,1)2.5366256 20 (0.7482,0.6497,1)2.5365323 表表7-1Tku)max(kv,5365258.2)8(1 分分别别为为位位数数字字的的准准确确值值的的主主特特征征值值和和特特征征向向量量矩矩阵阵A位位有有次次后后，所所得得的的主主特特征征值值。可可见见迭迭代代520)1,64966116.0,74822116.0(*1Tx 有效数字。有效数字。第七章 特征值与特征向量的数值求法。有有充充分分大大时时当当的的证证明明中中易易见见从从定定理理kkcvk121/)max
7、(,4.7 时时，收收敛敛很很慢慢。这这时时，接接近近于于。当当幂幂法法是是线线性性收收敛敛的的方方法法因因此此12,法法。简简要要的的介介绍绍两两种种加加速速方方加加速速收收敛敛的的方方法法。下下面面一一个个补补救救的的办办法法是是采采用用行行外外推推加加速速：。对对幂幂法法的的计计算算结结果果进进记记外外推推法法)max(.1kkvmAitken km)(jku，32)(2121 kmmmmmmkkkkkm。，1)()()(2)()()()(2121jkjkjkjkjkjkjkuuuuuuu2.Rayleigh商加速商加速商商给给出出的的得得的的规规范范化化向向量量为为对对称称矩矩阵阵，则
8、则幂幂法法所所若若RayleighuRAknn*较较好好的的近近似似值值，特特征征值值1。)(),(),(2121kkkkkOuuuAu 第七章 特征值与特征向量的数值求法7.2.2 反幂法和原点位移反幂法和原点位移,0.121nn (7.2.4)满足，的特征值则112111.,nA,.11111nn的按模最应用幂法可得矩阵的主特征值。因此，对是即AAAn111公式为量，称为反幂法，计算小的特征值及其特征向。.2,1),max(/,01100kvvuuAvuvkkkkk (7.2.5)得到。可以通过解方程组中，向量在1)5.2.7(kkkuAvv满足奇异矩阵，它的特征值为非征向量。设模最小的特
9、征值及其特反幂法用来计算矩阵按nnRA*第七章 特征值与特征向量的数值求法),4.2.7(),.,2,1(5.7*满足的特征值：设非奇异矩阵定理niRAinn。给定初始向量个线性无关的特征向量并且有对应的),.,2,1(nixni生成的向量序列有则由)5.2.7(,0,10niinixv。nkknnkkvxxu1)max(lim,)max(lim征值求指定点附近的某个特是利用“原点位移”，反幂法的一个重要应用和对应的特征向量。,.,2,1,)()(11nipPIAi存在，显然其特征值为如果矩阵的一个的特征值是。如果对应的特征向量仍然是jiApnix),.,2,1(近似值，且,jippij(7.
10、2.6)法计算相应的特征值和的主特征值，可用反幂是即11)()(PIApj特征向量，计算公式为第七章 特征值与特征向量的数值求法。,.2,1),max(/,)(,0 1100kvvuuPIAvvukkkkk(7.2.7)iinnxniRA对应的特征向量的特征值设定理),.,2,1(6.7*存在。的近似值，满足为线性无关，1)(),6.2.7(),.,2,1(PIApnij生成的向量序列有则由给定初始向量)7.2.7(,0,10jiinixv。pvxxujkkjjkk1)max(lim,)max(lim特征的近似值，对应的近似是特征值由该定理可知，jkvp1)max(来确定。迭代收敛速度由比值向
11、量为)/()(maxppuijjik是通过解方程组中的反幂法迭代公式kv)7.2.7(1)kkuvpIA（第七章 特征值与特征向量的数值求法进行三角分解工作量，可以先将求得的，为了节省计算)(PIA,)(LUpIAP为排列阵。其中 P很般征值分离情况较好，一的一个较好的近似且特是只要选择的iP是较好的：选选择实验表明，按下述方法小，收敛将是较快的。00uv使0u,)1,.,1,1(011TPuLUv。用回代求解可得1v例例7.2 用反幂法求下列矩阵的接近于用反幂法求下列矩阵的接近于P=1.2679的特征值的特征值(精确特征值精确特征值),5()333位浮点数进行计算用及其特征向量。410131
12、012A第七章 特征值与特征向量的数值求法分解为解将用列选主远元的三角分解pIA:,)(LUpIAP其中其中。ULP31029405.0007321.21017321.11,126807.07321.0010001,001100010得由TUv)1,1,1(1。，），TTuv)26795.0,73198.0,1(8.34003.929012692(11得由12PuLUv。TTuv)26796.0,73206.0,1(,)4.5467,14937,20404(22第七章 特征值与特征向量的数值求法的近似值由此可得特征值)2679492.1(3。267949.12040412679.1对应的特征向量是3。TTx)26795.0,73205.0,1()32,31,1(3的相当好的近似。是由此可见32,xu
