1、6.3 正方形回顾：1、矩形的定义？2、菱形的定义？有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.有一组邻边相等的有一组邻边相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形.你能描述一下正方形是什么样的图形吗?结合我们前面对矩形和菱形定义的思想方法，你认为我们如何给正方形定义更好一些呢？正方形的定义正方形的定义 有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角有一个角是直角是直角的的平行四边形平行四边形叫做正方叫做正方形。形。平行四边形，矩形，平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系？菱形，正方形的关系？有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等有一个直角有一个直角一个
2、角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等正正方方形形四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形基于这些关系基于这些关系,你认为判定一个图形是正方形能有哪些方法呢？你认为判定一个图形是正方形能有哪些方法呢？正方形正方形判定判定：1、有一组邻边相等，并且有一个角是、有一组邻边相等，并且有一个角是直角的直角的平行四边形平行四边形是正方形；是正方形；2、有一组邻边相等的、有一组邻边相等的矩形矩形是正方形；是正方形；3、有一个角是直角的、有一个角是直角的菱形菱形是正方形。是正方形。正方形是特殊的平行四边正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特形，也是特殊的矩形，也是特殊
3、的菱形。殊的菱形。正方形的性质正方形的性质=正方形性质正方形性质:1、边、边:对边平行对边平行 四边相等四边相等 2、角、角：四个角都是直角四个角都是直角3、对角线：、对角线：相等且互相垂直平分相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。4、对称性：、对称性：正方形既是中心对称图形，也是正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有四条对称轴。轴对称图形，它有四条对称轴。选择题：选择题：1 1、正方形具有而菱形不一定有的性质是（、正方形具有而菱形不一定有的性质是（）。）。（A A）四条边相等；）四条边相等；（B B）对角线互相垂直平分；）对角线互相垂直平分；（C C）对角
4、线平分一组对角；）对角线平分一组对角；（D D）对角线相等。）对角线相等。2 2、正方形具有而矩形不一定有的性质是（、正方形具有而矩形不一定有的性质是（）。）。（A A）四个角相等；）四个角相等；（B B）对角线互相垂直平分；）对角线互相垂直平分；（C C）对角线相等；）对角线相等；（D D）对角互补。）对角互补。练习：判断练习：判断（1）四个角都相等的四边形是正方形。）四个角都相等的四边形是正方形。（2）四条边都相等的四边形是正方形。）四条边都相等的四边形是正方形。（3）对角线相等的菱形是正方形。）对角线相等的菱形是正方形。（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。）对角线互相垂直的矩形是正方形。
5、（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形。）对角线垂直且相等的四边形是正方形。（6）四边相等，有一个角是直角的四边形是）四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。正方形。探索探索已知：如图正方形已知：如图正方形ABCD对角线对角线AC、BD 相相交于点交于点O。求证：求证：ABO BCO CDO ADO 正方形的两条对角线把正方形分成四个正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。全等的等腰直角三角形。证明：证明：正方形正方形ABCDABCD，AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD，ABO ABO BCO BCO CDO CDO A
6、DOADO（SSSSSS）。）。例例1.已知已知:如图如图,ABC中中.ABC=90,BD是角平分是角平分线线,DEAB,DFBC,垂足分别是垂足分别是E、F.FABCDE求证：四边形求证：四边形DEBF是正方形是正方形.证明证明:DFBC,DEAB,DEB=DFB=90,而而ABC=90,四边形四边形DEBF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）BD平分平分ABC,DFBC,DEAB,DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）角平分线上的点到角的两边距离相等）,四边形四边形DEBF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方是正方形（有一组邻边相等的矩形是正
7、方形）形）.练习练习1已知：已知：如图，如图，在正方形在正方形ABCD中，中，对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O，且，且AC6 cm。求：正方形的面积求：正方形的面积S。2练习练习2 2：如图，在正方形：如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E在在BCBC的延长线上，且的延长线上，且CE=ACCE=AC，AEAE交交CDCD于于F F，则，则求求AFCAFC的度数。的度数。ABDCFE小结你能概括一下我们这节课的内容吗？正方形正方形性质性质判定判定 正方形性质正方形性质:1、边、边:对边平行对边平行 四边相等四边相等 2、角、角：四个角都是直角四个角都是直角3、对角线：、对角线：相等
8、且互相垂直平分相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。0D:我的文档左信举j2040600.swf4、对称性：、对称性：正方形既是中心对称图形，也是正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有四条对称轴。轴对称图形，它有四条对称轴。正方形正方形判定判定：1、有一组邻边相等，并且有一个角是、有一组邻边相等，并且有一个角是直角的直角的平行四边形平行四边形是正方形；是正方形；2、有一组邻边相等的、有一组邻边相等的矩形矩形是正方形；是正方形；3、有一个角是直角的、有一个角是直角的菱形菱形是正方形。是正方形。活动：活动：在在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是
9、BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线,无需证明无需证明)F FE ED DC CB BA A例例2如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O，分析：分析：要证明要证明BMCN，大家观察，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等图形可以考虑证哪两个三角形全等?MNAB且且MN分别交分别交
10、OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。你能完成证明吗你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？条件够吗？还需要的条件是还需要的条件是 AMBNABM BCN你所要证明的两个三角形已经满足你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：由正方形可以得到的条件有：例例2如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：，求证：BMCN。证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 OAOB,12345 又又MNAB OMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即即AMBN又又A
11、B=BC，ABM BCN（SAS）BM=CN练习练习3如图，在线段如图，在线段AB上取一点上取一点C，以以AC、BC为正方形的一边在同一侧作为正方形的一边在同一侧作正方形正方形ACDE和和BGFC连结连结AF、BD，延长延长BD交交AF于于H。求证：求证：(1)ACF DCB (2)BHAF例例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要
12、证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只须证得哪两个三角形全等?试一试试一试看能不能完成证明看能不能完成证明?CMD ADF例3已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线上一点，延长线上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45证明：证明：CEAF ADCAEM90 又又CMDAME 12又又CDAD，ADFMDCRtCDM RtADF(AAS)DM=DF 下面的证明请大家完成下面的证明请大家完成做一做：做一做：（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。例例4如图如图(6)，ABC的外面作正方形的外面作正方形ABDE和和ACFG，连，连结结BG、CE，交点为，交点为N。求证：求证：CEAABG 分析：分析：欲证欲证CEAABG，大家想一想证明两个角相等的方法，大家想一想证明两个角相等的方法，你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？证明：证明：四边形四边形ABDE和四边形和四边形ACFG是正方形。是正方形。AEABAGAC1290又又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BACEACBAGAEC ABG(SAS)CEAABG
