1、1.3 逆矩阵逆矩阵概念的引入概念的引入逆矩阵的概念和性质逆矩阵的概念和性质可逆矩阵的判定及其求法可逆矩阵的判定及其求法小小 结结 思考题思考题,111 aaaa,11EAAAA 则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.A1 A 一、概念的引入一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a（或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，E单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得例例 设设
2、,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB定义定义1对于对于n阶阶方阵方阵A,如果存在如果存在n阶阶方阵方阵B，使得使得 AB=BA=E,则称方阵则称方阵A是可逆的是可逆的,B 称为称为A的逆矩阵的逆矩阵,记作记作 B=A-1.如果不存在满足如果不存在满足AB=BA=E 的矩阵的矩阵B,则称则称A是不可逆的是不可逆的.可逆矩阵可逆矩阵及其及其逆矩阵逆矩阵都是都是方阵方阵.二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.AA若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，BCA,EC
3、AACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC.CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB ,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质三、可逆矩阵的判定及其求法三、可逆矩阵的判定及其求法 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若,0,2AA .111 AA 证证 因因A可逆可逆,所以所以A-1存在存在,且且AA-1=A-1A=E,由逆矩阵的定义知由逆矩阵的定义知A-1可逆可逆,且且 ,111111EAAAA 比较上述两式得比较上述两式得 AA 11证证 由于由于 EAAAA 1111 ,3亦亦可可逆逆则则为为同同阶阶方方阵阵且且均
4、均可可逆逆若若ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A所以所以 11111 AAA 且且(4)若若A可逆，则可逆，则AT亦可逆亦可逆,且且 T11TAA 证证由于由于 E,AAAAT1T1T 所以所以 T11TAA 推广推广:若若A1,A2,As 为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵,则则A1 A2 As可逆可逆,且且.)(111211s1s1s21 当当A 可逆时可逆时,还可定义还可定义 ,10 AAAAAEARR其中其中R,均为正整数均为正整数.AA 2、初等变换法初等变换法在在2中我们曾学过标准形的概念中我们曾学过标准形的概念.即对
5、任意即对任意1100nnAF 初 等 变 换00标准形标准形而对于而对于可逆方阵可逆方阵A,则则F只能是只能是单位阵单位阵E.于是有于是有定理定理n阶方阵阶方阵A可逆的可逆的充分必要条件充分必要条件是是A可以可以表示成一些初等矩阵的乘积表示成一些初等矩阵的乘积.证证 必要性必要性 设方阵设方阵A可逆，则可逆，则AE，故，故E经有限次初经有限次初 等变换可变成等变换可变成A，即存在有限个初等矩阵，即存在有限个初等矩阵 ,21lPPP 充分性充分性 若若A可表示成一些初等矩阵的乘积可表示成一些初等矩阵的乘积,因初等因初等矩阵可逆矩阵可逆,其乘积也可逆其乘积也可逆,所以所以A可逆可逆.证毕证毕.AP
6、EPPPPlrr 121使使lPPPA21 即即推论推论1mn 矩阵矩阵AB的的充分必要条件充分必要条件是是:存在存在 m 阶矩阵阶矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q,使使PAQ=B.推论推论2 任一可逆矩阵只用初等行任一可逆矩阵只用初等行(或列或列)变换变换可化为单位矩阵可化为单位矩阵.证证 因为因为A可逆可逆,则则A可表示为若干个初等矩阵可表示为若干个初等矩阵之积之积.lPPPA21 于是于是 111211211 PPPPPPAll因此因此EAAPPPAEAAAPPPll 111121111121)()(综上可得初等变换求逆阵的方法：综上可得初等变换求逆阵的方法：，有有时时，由由当
7、当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll ,111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 .)(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对例例1设矩阵设矩阵.1122133241 AA求求，解解 100112010213001324EA2111111 03 1 201 02 1100 1rr 121332rrrr 122110043120011111 04312012211001111132rr22321r rr r 201100122110
8、11100132(1)2100111010121001102r rr 2011211111A故故注注 利用利用初等变换法初等变换法求求逆矩阵逆矩阵时时,不必不必先判断先判断该矩阵该矩阵是否可逆是否可逆,在作变换时在作变换时,若出现若出现两行元素相两行元素相同同或成或成比例比例,或者有或者有一行为一行为0,则则 A 就就不可逆不可逆.例例2设矩阵设矩阵，1111145212142121A用初等变换法用初等变换法,判断判断A是否可逆是否可逆?如果可逆如果可逆,求出求出A-1.解解 10001111010014520010121400012121EA 可见可见,左矩阵左矩阵A的二、四行元素对应成比例
9、的二、四行元素对应成比例,所以所以A不可逆不可逆,A-1不存在不存在.10013230010236900014969000012121121342rrr r14rr同理同理,由等式由等式 1111111AEAEAPPPEAll知知,用初等列变换将用初等列变换将EA时时,那么单位矩阵那么单位矩阵 E 就变成了就变成了A的逆矩阵的逆矩阵A-1.中的中的A变成单位矩阵变成单位矩阵 定理：设A为n阶矩阵，则下列命题等价：1）A可逆；2)齐次线性方程组AX=0只有零解；3)A与E等价;4)A可表示为有限个初等矩阵的乘积。推论：非齐次线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件A可逆。.B BA AB的解XB
10、的解X于求解矩阵方程AX于求解矩阵方程AX的方法，还可用的方法，还可用利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵1 1 BAEBA1 初初等等行行变变换换事实上，由定理事实上，由定理3，EAPPPPll 1112111，得，得上式两边同时右乘上式两边同时右乘BA1 BEABAAPPPPll111112111 BABPPPPll11112111 即即三、用初等变换法求解矩阵方程三、用初等变换法求解矩阵方程即即)(BABA1 初等行变换初等行变换E例例3解矩阵方程解矩阵方程AX=B，其中，其中 341352,343122321BA解解若若A可逆，则可逆，则 X=A-1B.12131 2 3 2 51
11、232522 2 1 310251933 4 3 4 3026212r rA Br r3121233210214100322025190204650011300113r rr rr rr r 313223X 311003201023001)21(2)1(3rr.1 CAY即即可可得得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA),)(,(),1TTTTCAECA（行变换行变换TT1C)(AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得,1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换例例4解矩阵方程解矩阵方程
12、YA=C，其中，其中 3,2,1,121011322 CA解解12TT211121112122023330133013r rA C111222331323211111111222222330233012235311500022244rrr rr r142132111111102224433330 10122220 01 1500115r rr所以所以 TTCA1524,4,1 31323124111 01 0 04440 1 0240 1 0240 0 1150 0 115r rr r .152441，故故 CAY三、小结三、小结1.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:.,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初等行变换施行初等行变换对对 或或构造矩阵构造矩阵EA1;EA
