1、7 7 一阶方程组初值问题数值方法一阶方程组初值问题数值方法7.1 7.1 数值方法推广到方程组数值方法推广到方程组,)(,),(1 xyxyyn其中其中 考虑问题：考虑问题：bxayxFy),()1.7(0)(yay 以前讨论过的求解以前讨论过的求解 bxayxfy),()(ay)2.1()1.1(,),(10 ny .),(,),(),(1 yxfyxfyxFn的各种效方法都可以推广到的各种效方法都可以推广到求解求解方程组方程组(7.1)(7.1)。例如例如（1 1）显式等步长）显式等步长EulerEuler方法方法推推广广方程方程(1.1)的解的解方程组方程组(7.1)的解的解 ），（n
2、y 10),(1kkkkyxFhyy ,2,1,0 k)2.7(0y,2,1,0 k),(1kkkkyxhfyy 方程组方程组(7.1)的解写成分量形式的解写成分量形式),(,1,1,knkkikikiyyxhfyy ,2,1,0,2,1 kni（2 2）经典）经典Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方程方程(1.1)的解的解).22(643211kkkkhyykk ),(1kkyxfk )2,21(12khyhxfkkk ),(34hkyhxfkkk )2,21(23khyhxfkkk )13.3(方程组方程组(7.1)的解的解)3.7().22(643211kkkkhyyk
3、k ),(1kkyxFk)2,21(12khyhxFkkk ),(314khyxFkkk ,2,1,0 k)2,21(23khyhxFkkk 推广推广方程组方程组(7.1)的解的分量形式的解的分量形式),(3,3,1,114,nknkkiihkyhkyxfk ),2,2,21(2,2,1,13,nknkkiikhykhyhxfk ),2,2,21(1,1,1,12,nknkkiikhykhyhxfk ),(,11,knkkiiyyxfk),22(64,3,2,1,1,iiiikikikkkkhyy ,2,1,0 k ,2,1,0,2,1 kni（3 3）显式）显式4 4阶阶AdamsAdams
4、方法方法)9375955(243211 kkkkkkffffhyy方程方程(1.1)的解的解方程组方程组(7.1)的解的解)9375955(243211 kkkkkkFFFFhyy推广推广方程组方程组(7.1)的解的分量形式的解的分量形式),(59),(55(241,1,111,1,1,knkkkiknkkkikikiyyxfyyxfhyy),(9),(373,3,133,1,1,122,knkkkiknkkkiyyxfyyxf其它方法也可类似写出。其它方法也可类似写出。（2 2）高阶常微分方程初值问题，通过转化为一阶常微分方程组）高阶常微分方程初值问题，通过转化为一阶常微分方程组说明说明:(
5、1)(1)隐式方法应用于方程组时，得到的是一组关于隐式方法应用于方程组时，得到的是一组关于 的的1 kyn个分量个分量 的方程组的方程组 ,通过解方程组来求得通过解方程组来求得 。1,1,21,1,knkkyyy1 ky初值问题来求解（见初值问题来求解（见1 1）。）。7.27.2*刚性方程组刚性方程组考虑问题：考虑问题：101,22100199999910012121xyyyydxd)5.7(1)0(,3)0(21 yy 1)(1)(220002220001xxxxeexyeexy方程的解为方程的解为)6.7(其中其中e-2000-2000 x与与e-2-2x都趋于都趋于0 0，但二者衰减速
6、度大不一样，但二者衰减速度大不一样，e-2000-2000 x在在x=0.01=0.01时就衰减到了时就衰减到了e-20-20，而，而e-2-2x要到要到x=10=10才降到才降到e-20-20。若用经典。若用经典。（经典。（经典Runge-KuttaRunge-Kutta方法的绝对稳定区间为方法的绝对稳定区间为(-2.785,0)，Runge-KuttaRunge-Kutta方法来求解，考虑到数值稳定性，必须取步长方法来求解，考虑到数值稳定性，必须取步长 2000785.2 h00139.0 要使其要使其具有数值稳定性，必须选取步长具有数值稳定性，必须选取步长h使使 落在绝对落在绝对稳定区间
7、稳定区间h 内，即内，即 ，这里，这里 。）。）若取若取h=0.001，则计算到，则计算到785.2 h 2000 x=0.01时，时，e-2000 x对应的数值解部分已小于对应的数值解部分已小于1.710-5,计算到计算到x=0.02时小于时小于2.710-10,在以后的计算中，快速衰减部分已可忽略。在以后的计算中，快速衰减部分已可忽略。刚性方程组的定义：刚性方程组的定义：则称则称(7.7)是是刚性的刚性的，或，或坏条件坏条件的。的。S 称为称为刚性比刚性比。对常系数微分方程组初值问题：对常系数微分方程组初值问题：)7.7(),()(),(21naybxaxyAy 如果矩阵如果矩阵A的特征值
8、的特征值 满足满足n ,21nii,2,1,0)Re()1(1)Re(min)Re(max)2(Siiii )8.7(但由于但由于快速衰减部分的影响，步长不可快速衰减部分的影响，步长不可大于大于0.001390.00139，这样从，这样从x=0计算计算到到x=10=10，至少要算近，至少要算近72007200步步，工作量很大。而且当，工作量很大。而且当x0.020.02时，时，每前每前进一步，由于进一步，由于e-2-2x的影响的影响,数值解变化不大。这种现象数值解变化不大。这种现象就是所谓就是所谓的的“刚性刚性”现象现象。这是因为。这是因为20002000与与2 2的差别太大。的差别太大。若单
9、对缓慢衰减部分若单对缓慢衰减部分e-2-2x，步长可以取得较大，步长可以取得较大()()。39.12785.2 h)9.7(结论：结论：对于方程组对于方程组 ，若其，若其Jacobi阵阵),(yxFy nnnnnnyyfyfyfyfyfyfyfyfyfyxF212221212111),(的特征值的特征值 在区间在区间I上满足上满足(7.8)，则称该方程组在，则称该方程组在 I)(,),(1xxn 说明：说明：刚性方程组的解法刚性方程组的解法,可用隐式可用隐式Euler方法、梯形方法、方法、梯形方法、1)Re(min)Re(max)2(Siiii )8.7(上是上是刚性刚性的。的。Gear（吉尔
10、）方法和（吉尔）方法和Runge-Kutta方法来解。方法来解。8 8*二阶常微分方程边值问题数值方法二阶常微分方程边值问题数值方法考虑方程：考虑方程：bxayyxfy ),()1.8(;)(,)(byay)2.8(结合下述三种边界条件之一：结合下述三种边界条件之一：)3.8()4.8(;)(,)(byay;)()(,)()(1010 bybyayay边界问题的解法：边界问题的解法：8.1 8.1 打靶法打靶法 将将边值边值问题转化为问题转化为初值初值问题考虑。或者说适定选择初始值使初问题考虑。或者说适定选择初始值使初 基本思路：基本思路：第三边界问题第三边界问题。(8.4)式中式中0,0,0
11、0000 。它们分别称为。它们分别称为第一第一、第二第二、有限差分法有限差分法打靶法打靶法、值问题的解满足边值条件。然后用求解值问题的解满足边值条件。然后用求解初值初值问题的任一种有效的数问题的任一种有效的数值方法求解。值方法求解。以第一边界条件为例以第一边界条件为例 )(,)(),(byaybxayyxfy考虑边值问题：考虑边值问题：)5.8(00)(,)(),(yayyaybxayyxfy 0y取取 ,考虑考虑初值初值问题问题)6.8()(),(000ygyyyynn 待定，由数值解法求解待定，由数值解法求解(8.5)得到在得到在 处的解处的解 ，bxxn 0y),(00yyyynn ,)
12、(0 yg使使 ，这里，这里 为给定允许误差界，就停止迭代改进为给定允许误差界，就停止迭代改进 )(0yg0 0)(0 yg时，求非线性方程时，求非线性方程。若。若 ，则得所求数值解。当，则得所求数值解。当 )(0yg该方程可用二分法、正割法或该方程可用二分法、正割法或Newton法等来求解。若求得法等来求解。若求得,0y 进，输出作为数值解。进，输出作为数值解。对第二类边界问题，也可转化为考虑初值问题对第二类边界问题，也可转化为考虑初值问题(8.5)，取，取,0 y对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取，取 0010yy 8.2 8.2
13、 有限差分法有限差分法则离散化成差分方程则离散化成差分方程nihyyyxfhyyyiiiiiii,2,1),2,(211211 )8.8(,1 nabh将区间将区间a,b进行等分：进行等分：nihyyyiii,2,1,211 )7.8(1,1,0,nixxi以以 为待定参数。为待定参数。0y，以，以 为待定参数。为待定参数。0y设在设在,1,1,0,niihaxi处的数值解为处的数值解为 。iy用中心差分近似微分，即用中心差分近似微分，即 nihyyyyiiii,2,1,2211 二阶中心差商二阶中心差商 对应的边界条件也离散成对应的边界条件也离散成 10,nyy)9.8(第一边界问题：第一边
14、界问题：hyyhyynn 101,)10.8(第二边界问题：第二边界问题：第三边界问题：第三边界问题：,)1(1001hyhy )11.8()()()()()(),(xrxyxqxyxpyyxf 其中其中 为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过)(),(),(xrxqxp )(,)()()()()(byayxrxyxqxy则近似差分方程成离散差分方程为则近似差分方程成离散差分方程为 10211,2niiiiiiyyryqhyyy.,2,1),(),(nixrrxqqiiii 其中其中变量替换总可以消去方程中的变量替换总可以消去方程中的 项，不妨设变换后
15、的方程为项，不妨设变换后的方程为y 若若 是是 的线性函数时，的线性函数时，f 可写成可写成),(yyxf yy,hyyhn1110)1(;)(,)(byay;)(,)(byay;)()(,)()(1010 bybyayay将以上方程合并同类项整理得方程组将以上方程合并同类项整理得方程组 0y Ny),2,1(ni 其中只要其中只要 ，则方程组的系数矩阵为，则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵弱对角占优的三对角阵，0 iq)(24)(2iiiiixbaxhMyxyR 其中其中 。)(max)4(,xyMbax 而且还有而且还有误差估误差估 若若 不是不是 的线性函数时，所得方程组是非线性的线性函数时，所得方程组是非线性),(yyxf yy,2121)2(hryyhqyiiiii 方程组为三对角线方程组，可以用方程组为三对角线方程组，可以用追赶法追赶法求解。求解。计计：组，可以用解非线性方程组的方法求解。例如，可用组，可以用解非线性方程组的方法求解。例如，可用简单迭代法简单迭代法、Newton迭代法迭代法求解。求解。10211,2niiiiiiyyryqhyyyu 理解理解一阶方程组初值问题数值方法及刚性方程组的定义一阶方程组初值问题数值方法及刚性方程组的定义;u 理解理解二阶常微分方程边值问题数值方法二阶常微分方程边值问题数值方法:打靶法打靶法、有限差分法有限差分法.
