1、第五章第五章 现代控制技术现代控制技术设线性定常系统被控对象的连续状态方程为)()()()()(tCxtytButAxtx)(|)(00txtxtt式中，x(t)是n维状态向量；u(t)是r维控制向量；y(t)是m维输出向量；A是nn维状态矩阵；B是nr维控制矩阵；C是nm维输出矩阵。(5.1.1)5.1 采用状态空间的输出反馈设计法采用状态空间的输出反馈设计法的目的是：利用状态空间表达式，设计出数字控制器D(z)，使得系统输出y(t)经过N拍后，跟踪参考输入函数r(t)的瞬变响应时间为最小。5.1.1 连续状态方程的离散化在u(t)的作用下，式（5.1.1）的解为dBuetxetxtttAt
2、tA)()()(0)(0)0(证明：dBuetxetxdBuetxetxetxetBuetxedtdtAxtxetButAxtxtButAxtxtttAttAttAAtAtttAtAtAtAt)()()()()()(|)()()()()()()()()()()(0)(0)0(0000由其中，为被控对象的状态转移矩阵；是初始状态向量。)(0tx)0(ttAe(5.1.3)零阶保持器和被控对象构成的广义对象的离散状态方程为dtBeGeFkCxkykGukFxkxTAtAT0,)()()()()1(1110)()()(nnAtAtAtIte当A的特征值 两两相异时n,21tnttnnnnnnneee
3、ttt211121222211211110111)()()(（5.1.6）（5.1.7）矩阵指数的计算0)()()(0NxrNCxNy（5.1.8）（5.1.9）5.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤)()1(nmrN最少拍数N应取满足式（5.1.12）的最小整数。（5.1.12）将连续状态方程进行离散化 求满足跟踪条件式（5.1.8）和（5.1.9）的控制序 列u(k)的z变换U(z)假定系统的初始条件x(0)=0，则有0)()1()1()0(002211rNuNuuuBAGCGGAFGCFGAFGCFNNNN（5.1.17）若方程（5.1.17）有解，并
4、设解为0)()(rjPju),1,0(Nj（5.1.18）求取误差序列e(k)的z变换E(z)010100101)()()()()()(rzzNPzkPrzNPzkPzkuzUNkNkkNkNkkkk则kNkkjjkNkkkkzrjGPCFIzkezkezE01010)1(100)()()()(（5.1.19）（5.1.20）求控制器的脉冲传递函数D(z)()()(zEzUzD)()()()()(tCxtytButAxtx 其中，,10,010101CBA，（5.1.21）例5.1 设二阶单输入单输出系统，其状态方程为采样周期T=1秒，试设计最少拍无纹波控制器D(z)。解：由 得A的特征根为
5、s=0,-10 AsItttTteeeett1111101110111111101)()(121110)1()()(21tttAteeAeIAtIte故1632.00368.011011011eeeeeFTTAT 368.0632.0111011100eedtBeedtBeGttTAt)()()()()1(kCxkykGukFxkx离散状态方程为要设计无纹波系统，跟踪条件应满足)()1(nmrN而n=2，r=1，m=1，取N=2 即可满足上式条件00)2()1()0(00ruuuBAGAFGCGCFG即00)2()1()0(0632.0232.01632.0232.00368.0768.00r
6、uuu进一步得00058.058.1)2()1()0()2()1()0(rrPPPuuu0)2(58.0)1(58.1)0(PPP，由式（5.1.19）和 N=2 知0101210101)58.058.1(1)2()1()0(1)()()(rzrzzPzPPrzzNPzkPzUNkNk010101010)1()418.01()0()()(rzrzCGPIIzrjGPCFIzEkNkkjjk由式（5.1.20）和 N=2 知11418.0158.058.1)()()(zzzEzUzD由式（5.1.20）和 N=2 知212)()()(asasbzUzYzG设被控对象传递函数模型为则buyayay
7、21 令121xxyx，则buxaxabuyayayx1221212 得ubxxaaxx010211221A特征方程为0212aaAI控制器由两部分组成，即状态观测器：根据所量测到的输出量y(k)重构出全部状态 。控制规律：直接反馈重构的全部状态。)(kx5.2 采用状态空间的极点配置设计法图5.4 调节系统(r(k)=0)中控制器的结构x(k)控制规律u(k)被控对象y(t)y(k)T控制器观测器零阶保持器u(t)T5.2.1 按极点配置设计控制规律设连续被控对象的状态方程为)()()()()(tCxtytButAxtx 图5.5 按极点配置设计控制规律控制规律u(k)Cy(t)x(k)TX
8、=Ax+Bu零阶保持器u(t)Tx(t)dtBeGeFkCxkykGukFxkxTAtAT0,)()()()()1(（5.2.2）（5.2.3）相应的离散状态方程为若图5.5中的控制规律为线性状态反馈，即)()(kLxku则闭环系统的状态方程为（5.2.4）)()()1(kxGLFkx闭环系统的特征方程为0|GLFzI设给定所需要的闭环系统的极点为),2,1(nizi则闭环系统特征方程为0)()()(1121nnnnzzzzzzzzz反馈控制规律 L 应满足如下方程)(|zGLFzInGFFGGrankN1可以证明，对于任意的极点配置，L 具有唯一解的充要条件是5.06.3n被控对象的微分方程
9、为)()(tuty 例5.2定义两个状态变量分别为)()()(),()(121tytxtxtytx得),()(21txtx)()()(2tutytx 被控对象的传递函数 ，采样周期T=0.1s，采用零阶保持器。现要求闭环系统的动态响应相当于阻尼系数为 ，无阻尼自然振荡频率 的二阶连续系统，用极点配置方法设计状态反馈控制规律L，并求u(k)。21)(ssG解：解：)()(01)()(10)()(0010)()(212121txtxtytutxtxtxtx故有1012122tAtItAAtIeAt101.01ATeF1.0005.0101.00|211.01011.001.001.00tdtBtB
10、dteGAt对应的离散状态方程为)()(01)()(1.0005.0)()(101.01)1()1(212121kxkxkykukxkxkxkx且,1.0005.0,101.01GF系统能控21.01.0015.0005.0rankFGGrank根据性能要求，得 s 平面上的两个期望的极点为12.38.1122,1jjsnn利用 的关系，可求得 z 平面上的两个期望的极点为sTez 312.02,1835.0jez7.06.1)()(221zzzzzzz若状态反馈控制规律为21LLL（5.2.10）于是得到期望的闭环系统特征方程为比较式（5.2.10）和（5.2.11）可得7.011.0005
11、.06.12005.01.02112LLLL求解上式，得5.3105.31021LLL，即，则闭环系统的特征方程为11.0005.0)2005.01.0(|21122LLzLLzGLFzI（5.2.11）)(5.310)()(kxkLxku 常用的状态观测器有三种：预报观测器、现时观测器和降阶观测器。预报观测器5.2.2 按极点配置设计状态观测器常用的观测器方程为)()()()()1(kxCkyKkGukxFkx其中 是 的状态重构，K 为观测器的增益矩阵。x x定义状态重构误差为xxx则观测器的误差动态方程为)()1()1()1(kxKCFkxkxkx（5.2.12）（5.2.13）（5.2
12、.14）若观测器期望的极点为 ，则观测器期望的特征方程为),2,1(nizi0)()()(1121nnnnzzzzzzzzz（5.2.15）nCFCFCrankn1为了获得期望的状态重构性能，由式（5.2.15）和（5.2.16）可得|)(KCFzIz（5.2.17）对于任意的极点配置，K 具有唯一解的充要条件是由式（5.2.14）可得观测器的特征方程为0|KCFzI（5.2.16）现时观测器)1()1()1()1()()()1(kxCkyKkxkxkGukxFkx)()1()1()1()()()1()1()1(kxKCFFkxCkCxKkxkGukFxkxkxkx状态重构误差为现时观测器状态
13、重构误差的特征方程为0KCFFzI为了获得期望的状态重构性能，可由下式确定K的值KCFFzIz)(系统必须完全能观时才能求得K。降阶观测器 预报和现时观测器都是根据输出量重构全部状态，即观测器的阶数等于状态的个数，因此称为全阶观测器。实际系统中，所能量测到的y(k)中，已直接给出了一部分状态变量，这部分状态变量不必通过估计获得。因此，只要估计其余的状态变量就可以了，这种阶数低于全阶的观测器称为降阶观测器。将原状态向量分成两部分，即其中，xa(k)是能够量测到的部分状态，xb(k)是需要重构的部分状态。据此，原被控对象的状态方程(5.2.2)式可以分块写成)()()(kxkxkxba)()()(
14、)1()1(kuGGkxkxFFFFkxkxbababbbaabaaba上式展开并写成)()()()1()()()()1(kuGkxFkxFkxkxFkuGkxFkxbababbbbbabaaaaa观测器方程为)()()()1()()()()1(kxFkuGkxFkxKkuGkxFkxFkxbabaaaaabababbbb)()()()1()1()1(kxKFFkxkxKFFkxkxkxbabbbbbabbbbbb状态重构误差为现时观测器状态重构误差的特征方程为0abbbKFFzI为了获得期望的状态重构性能，可由下式确定K的值abbbKFFzIz)(系统必须完全能观时才能求得K。5.2.3 按
15、极点配置设计控制器 控制器的组成设被控对象的离散状态方程为)()()()()1(kCxkykGukFxkx设控制器由预报观测器和状态反馈控制规律组合而成，即)()()()()()()1(kxLkukxCkyKkGukxFkx可以证明闭环系统的特征方程为 分离性原理由此可见，可以分别设计系统的控制规律和观测器。按极点配置设计状态反馈控制规律，计算L；0)()(|zzKCFzIGLFzI 按闭环系统的性能要求给定几个控制极点；状态反馈控制器的设计步骤 合理地给定观测器的极点，并选择观测器的类型，计算观测器增益矩阵K；最后根据所设计的控制规律和观测器，由计算机来实现。观测器及观测器类型选择控制极点是
16、按闭环系统的性能要求来设置的；观测器极点的设置应使状态重构具有较快的跟踪速度。如果量测输出中无大的误差或噪声-，则观测器极点可设置在z平面的原点；如果量测输出中含有较大 的误差或噪声-，则观测器极点可按其对应衰减速度比控制极点对应的衰减速度快约4或5倍的要求来设置。观测器类型选择：若控制器的计算延时与采样周期处于同一数量级，则可选用预报观测器，否则可用现时观测器；若量测输出比较准确，而且它是系统的一个状态，则可用降阶观测器，否则用全阶观测器。)(1.0005.0)(101.01)1(kukxkx系统的输出方程为例5.4 设系统的离散状态方程为)(01)(kxky系统的采样周期为0.1秒，试设计
17、状态反馈控制器，以使控制极点配置在，8.06.021zz使观测器的极点处。1.09.0j配置在解：设计控制规律而01.0005.01)21.0005.0(|21212LLzLLzGLFzI由|)(GLFzIz得48.01.0005.014.121.0005.02121LLLL6.5821LL解得故有6.58L048.04.1)8.0)(6.0()(2zzzzz控制极点对应的特征方程为 设计预报观测器观测器极点对应的特征方程为082.08.1)1.09.0)(1.09.0()(2zzjzjzz而01.01)2(|2112kkzkzKCFzI由|)(KCFzIz得82.01.018.12211kk
18、k2.02.021kk解得故有2.02.0K系统的状态反馈控制器为 设计控制器)()()()()()()1(kxLkukxCkyKkGukxFkx且有2.02.0,6.58KL以上讨论了调节系统的设计。在调节系统中，控制的目的在于有效地克服干扰的影响，使系统维持在平衡状态。对于阶跃型或常值干扰，上述设计，系统输出将存在稳态误差。克服稳态误差的一个有效方法是加入积分控制。5.2.4 跟踪系统设计图中，积分控制环节用于消除在常值参考输入以及在常值干扰作用下系统的稳态误差；参考输入的顺馈控制可进一步提高系统的无静差度。5.3 采用状态空间的最优化设计法 线性二次型高斯LQG（Linear Quadr
19、atic Gaussian）控制：在过程模型中考虑了高斯随机扰动的LQ控制问题。线性二次型LQ（Linear Quadratic）控制：系统性能指标选为状态和控制信号的二次型函数，并使此性能指标为最小的控制器设计问题。卡尔曼滤波器：对随机扰动过程，使估计误差的方差最小的最优估计器。5.3.1 LQ最优控制器设计图5.13 调节系统(r(k)=0)中LG最优控制器的结构LQ最优控制器u(k)Cy(k)y(k)X(k+1)=Fx(k)+Gu(k)-Lx(k)图5.12 调节系统(r(k)=0)中LGQ最优控制器的结构LQ最优控制规律u(k)被控对象y(k)Vc(k)零阶保持器最优装置状态最优估计器
20、x(k)TW(k)y(k)TLGQ最优控制器设被控对象的连续状态方程为TktkTkututCxtyxtButAxtx)1()()()()()0()()()(，给定，dtBeGeFkCxkykGukFxkxTAtAT0,)()()()()1(被控对象的离散状态方程为问题的描述：二次型性能指标函数的离散化系统控制的目的是按线性二次型性能指标函数dttuQtutxQtxNxQNxJNTTTT0210)()()()()()(为最小，来设计离散的最优控制器L，使)()(kLxku其中，加权矩阵 和 为非负定对称矩阵，为正定对称阵，为正整数。0Q1Q2QN有限时间最优调节器问题无限时间最优调节器问题102
21、1210)()()()(2)()()()(NkTTTTkuQkukuQkxkxQkxNxQNxJ 最优控制规律的计算其中TQBdtdeQdeBQBdtdeQeQdteQeQkuQkukuQkxkxQkxkJTtAtATTtAtAAtTtATTTTTT200102001120112121)()()()()()()(2)()()(012121212122121)()()()()()()1()()()1()1()()()()()()()()(2)()()(QNSkLQQkLQkLQkLkGLFkSkGLFkSQFkSGGkSGQkLkxkLkukuQkukuQkxkxQkxkJTTTTTTTTTT5
22、.3.2 状态最优估计器设计并有)0()0()0(minxSxJT其中，,2,1NNk设连续被控对象的状态方程为其中，是非负定对称阵，是正定对称阵，并假设 和 互不相关。)()()(0)()()()(0)()()()()()(tWwtwEtwEtVvtvEtvEwtCxtyvtButAxtxTcTcccc，cVW)(tvc)(tw 连续被控对象的状态方程的离散化TAcAkjTkjTdddTcAtdTAtATddeVeVWjwkwEkwEVjvkvEkvEdttTkTvekvdtBeGeFkwkCxkykvkGukFxkxT000)()(0)()()(0)()()()()()()()()()1(
23、，其中 Kalman滤波公式方差阵，一步预报估计误差协，一步预报估计误差，进一步预报估计)1|()1|()1|()1|()()1|()1|(kkxkkxEkkPkkxkxkkxkkxT引入Kalman滤波递推公式极小。)()(kxkxEJT设 的最小方差估计具有如下的形式)1|()()()1|()(kkxCkykKkkxkx)(kx状态估计器的设计问题：寻求 以使如下标量函数)(kK差阵时刻状态估计误差协方，时刻的状态估计误差，时刻的状态估计，kkxkxEkPkkxkxkxkkxT)()()()()()()(1)1|()1|()()1|()()()1|()()1()1()1|(WCkkCPCkkPkKkkxCkykKkkxkxkGukxFkkxTT5.3.3 LQG最优控制器设计，给定，和21)0()0()()()()1|()()()1()1|(kPxkWKkKCkKIkkPCkKIkPVFkFPkkPTTT Kalman滤波增益矩阵K(k)的计算 按分离性原理分别计算Kalman滤波器增益矩阵K和最优控制器L。被控对象模型可通过机理分析方法、实验方法和系统辨识方法来获取；V、W和二次型性能指标函数中加权矩阵一般凭经验或试凑给出。5.3.4 跟踪系统的设计
