1、4.3 4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路源与电阻并联支路),),使分析和计算简化。戴维宁使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。方法。下 页上 页返
2、 回1.1.戴维宁定理戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻等效电阻Req）。）。下 页上 页abiu+-AiabReqUoc+-u+-返 回例例下 页上 页1010+20V+Uocab+10V1A52A+Uocab515VabReqUoc+-应用电源等效变换应用电源等效变换返 回
3、I例例(1)求开路电压求开路电压Uoc(2)求输入电阻求输入电阻ReqA5.0201020 I510/10 eqRV1510105.0 ocU下 页上 页1010+20V+Uocab+10V515VabReqUoc+-应用电戴维宁定理应用电戴维宁定理 两种解法结果一致，戴两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。维宁定理更具普遍性。注意返 回2.2.定理的证明定理的证明+替代替代叠加叠加A中中独独立立源源置置零零下 页上 页abi+uNAuab+Aocuu iRueq abi+uNuabi+AReq返 回iRuuuueqoc 下 页上 页i+uNabReqUoc+-返 回3.3.定理的应用定理的
4、应用（1 1）开路电压）开路电压Uoc 的计算的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零部置零(电压源短路，电流源开路电压源短路，电流源开路)后，所得无源后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：（2 2）等效电阻的计算）等效电阻的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算
5、。择前面学过的任意方法，使易于计算。下 页上 页返 回2 23 3方法更有一般性。方法更有一般性。当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和和Y互换的方法计算等效电阻；互换的方法计算等效电阻；开路电压，短路电流法。开路电压，短路电流法。外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；iuReq scoceqiuR 下 页上 页uabi+NReqiabReqUoc+-u+-abui+NReq返 回 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变
6、发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏伏-安特性等效安特性等效)。当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。源必须包含在被化简的同一部分电路中。下 页上 页注意例例1 计算计算Rx分别为分别为1 1.2、5.2时的电流时的电流IIRxab+10V4664解解断开断开Rx支路，将剩余支路，将剩余一端口网络化为戴维一端口网络化为戴维宁等效电路：宁等效电路：返 回求等效电阻求等效电阻ReqReq=4/6+6/4=4.8 Rx=1.2时时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.333ARx=5.2时时，I=Uoc/(Req+R
7、x)=0.2A下 页上 页Uoc=U1-U2 =-104/(4+6)+10 6/(4+6)=6-4=2V求开路电压求开路电压b+10V4664+-UocIabUoc+RxReq+U1-+U2-b4664+-Uoc返 回求电压求电压Uo例例2解解求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V求等效电阻求等效电阻Req方法方法1 1：加压求流：加压求流下 页上 页336I+9V+U0+6I36I+9V+U0C+6I36I+U+6IIo独立源置零独立源置零U=6I+3I=9II=Io6/(6+3)=(2/3)IoU=9 (2/3)I0=6IoReq=U/Io=6 返 回方法
8、方法2 2：开路电压、短路电流：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6 I1+3I=96I+3I=0I=0Isc=I1=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6 独立源保留独立源保留下 页上 页36I+9V+6IIscI1U0+-+-69V3等效电路等效电路V333690U返 回 计算含受控源电路的等效电阻是用外加计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。以计算简便为好。求负载求负载RL消耗的功率消耗的功率例例3解解求开路电压求开路电压Uoc下 页上 页注意10050+40VRL+50V
9、I14I150510050+40VI14I150返 回A1.01IV101001ocIU求等效电阻求等效电阻Req用开路电压、短路电流法用开路电压、短路电流法A4.0100/40scI254.0/10scoceqIUR下 页上 页10050+40VI150200I1+Uoc+Isc10050+40VI150200I1+40100200100111IIIIsc50+40V50返 回已知开关已知开关S例例41 A 2A2 V 4V 求开关求开关S打向打向3，电压，电压U等于多少。等于多少。解解V4A 2ocScUi2eqRV1141)52(U下 页上 页UocReq550VIL+10V25A230
10、6052550ocLUIW204552LLIPAV5U+S1321A线性线性含源含源网络网络+-5U+1A24V+返 回任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。于该一端口的输入电阻。4.4.诺顿定理诺顿定理一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维经电源等效变换得到。诺顿等效电路
11、可采用与戴维宁定理类似的方法证明。宁定理类似的方法证明。下 页上 页abiu+-AabReqIsc注意返 回例例1求电流求电流I求短路电流求短路电流IscI1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解解求等效电阻求等效电阻ReqReq=10/2=1.67 诺顿等效电路诺顿等效电路:应用分应用分流公式流公式I=2.83A下 页上 页12V210+24V4I+Isc12V210+24V+Req210I1 I24I-9.6A1.67返 回例例2求电压求电压U求短路电流求短路电流Isc解解 本题用诺顿定理求比较方便。因本题用诺顿定理求比较方便
12、。因a、b处的短处的短路电流比开路电压容易求。路电流比开路电压容易求。下 页上 页ab36+24V1A3+U666A363366/3242136/624scIIscab36+24V3666返 回 466/3/63/6eqR下 页上 页求等效电阻求等效电阻Reqab363666Req诺顿等效电路诺顿等效电路:V164)13(UIscab1A4U3A返 回下 页上 页若一端口网络的等效电阻若一端口网络的等效电阻 Req=0，该该一端口网一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。注意若一端口网络的等效电阻若一端口网络的等效电阻 Req=，该该一端口网一端口网
13、络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。abAReq=0UocabAReq=Isc返 回4.4 4.4 最大功率传输定理最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。值是多少的问题是有工程意义的。下 页上 页i+uA负负载载应用戴维宁定理应用戴维宁定理iUoc+ReqRL返 回2)(LeqocLRRuRPRL
14、P0P max0)()(2)(422LeqLeqLLeqocRRRRRRRuPeqLRR eqocRuP4 2max最大功率匹配条件最大功率匹配条件对对P求导：求导：下 页上 页返 回例例RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率为何值时能获得最大功率，并求最大功率求开路电压求开路电压Uoc2021RUIIA221IIV6020201022IUocA121 II下 页上 页解解20+20Vab2A+URRL1020RU20+20Vab2A+UR1020RUUocI1I2返 回求等效电阻求等效电阻Req20IUReqIIIU202/2010221III下 页上 页由最大功率传输定理得由最大功率传输
15、定理得:20 eqLRR时其上可获得最大功率时其上可获得最大功率W4520460422maxeqocRUP20+IabUR1020RUUI2I1+_返 回最大功率传输定理用于一端口电路给定最大功率传输定理用于一端口电路给定,负负载电阻可调的情况载电阻可调的情况;一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功因此当负载获取最大功率时率时,电路的传输效率并不一定是电路的传输效率并不一定是50%;计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便顿定理最方便.下 页上 页注意返
16、回 4.54.5*特勒根定理特勒根定理1.1.特勒根定理特勒根定理1 1 任何时刻，一个具有任何时刻，一个具有n个结点和个结点和b条支路的集总条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:bkkkiu10功率守恒功率守恒 任何一个电路的全部支路吸收的功率之任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。和恒等于零。下 页上 页表明返 回4651234231应用应用KCL:0654iii0421iii0632iii123bkkkiuiuiuiu1662211632524213323111)()()(iuuiuiuuiuiuuiunnnnnnn
17、nn支路电支路电压用结压用结点电压点电压表示表示下 页上 页定理证明：定理证明：返 回0)()()(632365424211iiiuiiiuiiiunnn下 页上 页46512342312.特勒根定理特勒根定理2 2 任何时刻，对于两个具有任何时刻，对于两个具有n个结点和个结点和b条支路条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足向下，满足:返 回bkkkiu10bkkkiu10),(kkiu),(kkiu下 页上 页4651234231465123423
18、1拟功率定理拟功率定理返 回定理证明：定理证明：对电路对电路2应用应用KCL:0654iii0421iii0632iii123bkkkiuiuiuiu1662211632524213323111)()()(iuuiuiuuiuiuuiunnnnnnnnn0)()()(632365424211iiiuiiiuiiiunnn下 页上 页返 回例例1 R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V R1=1.4,R2=0.8,Us=9V时,I1=3A,求此时的求此时的U2解解把两种情况看成是结构相同，参数不同的两把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理个电路，利用特勒根定理
19、2 2下 页上 页由由(1)得得：U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A222211)45(3 844139 :U/RUIAIV.U得得由由(2)+U1+UsR1I1I2+U2R2无源无源电阻电阻网络网络 返 回),()()(113221132211的的方方向向不不同同负负号号是是因因为为IUIIRIUIUIIRIUIUbkkkkbkkkk 128.425.123422UUV6.15.1/4.2 2U下 页上 页+4V+1A+2V无源无源电阻电阻网络网络 2A+4.8V+无源无源电阻电阻网络网络 3A2)45(U/2U返 回 例例2解解已知已知：U1=10V,I1=5A,U
20、2=0,I2=1AV102U.1U求求 )()(22112211IUIUIUIU112IUV11U )(2221111IUIUUU 110)5(21011UU下 页上 页+U1+U2I2I1P21U2U1I2I+P返 回应用特勒根定理：应用特勒根定理：电路中的支路电压必须满足电路中的支路电压必须满足KVL;电路中的支路电流必须满足电路中的支路电流必须满足KCL;电路中的支路电压和支路电流必须满足关联电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；参考方向；（否则公式中加负号）（否则公式中加负号）定理的正确性与元件的特征全然无关。定理的正确性与元件的特征全然无关。下 页上 页注意返 回4.64.
21、6*互易定理互易定理 互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。灵敏度分析和测量技术等方面。下 页上 页返 回1.1.互易定理互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路对一个仅含电
22、阻的二端口电路NR，其中一个端，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。励所产生的响应相同。下 页上 页返 回l 情况情况1 激励激励电压源电压源电流电流响应响应当当 uS1=uS2 时时，i2=i1 则端口电压电则端口电压电流满足关系：流满足关系：22112112 iuiuuiuiSSSS或或下 页上 页i2线性线性电阻电阻网络网络NR+uS1abcd(a)线性线性电阻电阻网络网络NR+abcdi1uS2(b)注意返 回证明证明
23、:由特勒根定理：由特勒根定理：0 011bkkkbkkkiuiu和和 0 32211322111bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu即：即：0 32211322111bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu两式相减，得：两式相减，得：iuiu iuiu22112211 下 页上 页返 回将图将图(a)与图与图(b)中端口条件代入，即中端口条件代入，即:即：即：证毕！证毕！,0 ,0 ,221211SSuuuuuu 0 0221211iuiiiuSS22112112 iuiuuiuiSSSS或或下 页上 页i2线性线性电阻电阻网络网络NR+uS1abcd(a)
24、线性线性电阻电阻网络网络NR+abcdi1uS2(b)返 回22112112 SSSSiuiuiuiu或或l 情况情况2 2 激励激励电流源电流源电压电压响应响应则端口电压电则端口电压电流满足关系：流满足关系：当当 iS1=iS2 时时，u2=u1 下 页上 页注意+u2线性线性电阻电阻网络网络NRiS1abcd(a)+u1线性线性电阻电阻网络网络NRabcd(b)iS2返 回22112112 iuiuuuiiSSSS或或l 情况情况3 3 则端口电压电流在则端口电压电流在数值上满足关系：数值上满足关系：当当 iS1=uS2 时时，i2=u1 下 页上 页激激励励电流源电流源电压源电压源图图b
25、图图a电流电流响响应应电压电压图图b图图a注意+uS2+u1线性线性电阻电阻网络网络NRabcd(b)i2线性线性电阻电阻网络网络NRiS1abcd(a)返 回 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，端口两个支路电压电流关系。励下，端口两个支路电压电流关系。互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；想电源搬移；互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致 （要么都关联，要么都非关联（要么都关联，要么都非关联)；含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，
26、互易定理一般不成立。应用互易定理分析电路时应注意：应用互易定理分析电路时应注意：下 页上 页返 回例例1求求(a)图电流图电流I ，(b)图电压图电压U解解利用互易定理利用互易定理A5.1216/6112IV623U下 页上 页16I+12V2(a)416I+12V2(a)4(b)124+U66A(b)124+U66A返 回例例2求电流求电流I解解利用互易定理利用互易定理I1=I 2/(4+2)=2/3AI2=I 2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3AA248 2/12/428I下 页上 页2124+8V2IabcdI1I2I2124+8V2Iabcd返 回例例3测得测得a图中图中
27、U110V，U25V，求求b图中的电流图中的电流I解解1利用互易定理知利用互易定理知c c图的图的）开路电压开路电压(V51u下 页上 页U1+U2线性线性电阻电阻网络网络NR2Aabcd(a)52A+I线性线性电阻电阻网络网络NRabcd(b)(c)+1U2A+线性线性电阻电阻网络网络NRabcd返 回结合结合a a图，知图，知c c图的等效电阻：图的等效电阻：521021uReq戴维宁等戴维宁等效电路效电路A5.0555I下 页上 页Req(c)线性线性电阻电阻网络网络NRabcd55+5VabI返 回解解2应用特勒根定理：应用特勒根定理：iuiu iuiu22112211 0)2(5 )
28、2(510211uiiA5.01 Ii下 页上 页U1+U2线性线性电阻电阻网络网络NR2Aabcd(a)52A+I线性线性电阻电阻网络网络NRabcd(b)返 回例例4问图示电路问图示电路与与取何关系时电路具有互易性取何关系时电路具有互易性解解在在a-b端加电流源，解得：端加电流源，解得：ScdIIIUIUU3)1(3)1(3在在c-d端加电流源，解得：端加电流源，解得：SSabIIIIUIIU)3()()3(3 下 页上 页131+UIabcdI+UIS131+UIabcdI+UIS返 回如要电路具有互易性，则：如要电路具有互易性，则：cdabUU)3(3)1(2一般有受控源的电路不具有互
29、易性。一般有受控源的电路不具有互易性。下 页上 页结论返 回4.74.7*对偶原理对偶原理 在对偶电路中，某些元素之间的关系在对偶电路中，某些元素之间的关系(或方程或方程)可以通过对偶元素的互换而相互转换。对偶原理可以通过对偶元素的互换而相互转换。对偶原理是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结。下 页上 页1.1.对偶原理对偶原理根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路式和结论，就等于解决了和它对偶的另一个电路中的关系式和结论。中的关系式和结论。2.2.对偶原理的应用对偶
30、原理的应用返 回下 页上 页+_R1R n+_u ki+_u1+_unuRkinR1R2RkRni+ui1i2ik_例例1 1串联电路串联电路和并联和并联电路的对偶电路的对偶uRRuRuiRRkknkk分压公式电流总电阻1iGGiGiuGGkknkk分流公式电压总电导1返 回 将串联电路中的电压将串联电路中的电压u与并联电路中的电流与并联电路中的电流i互换，电阻互换，电阻R与电导与电导G互换，串联电路中的公式互换，串联电路中的公式就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻R与电与电导导
31、G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对偶电路。偶电路。下 页上 页结论返 回下 页上 页im1R1us1us2R3R2im22S2m321m21S2m21m21)()(uiRRiRuiRiRR网孔电流方程网孔电流方程结点电压结点电压方程方程2S2n321n21S2n21n21)()(iuGGuGiuGuGG例例2 2网孔电流与结点电压网孔电流与结点电压的对偶的对偶un1G1is1is2G3G2un2返 回 把把 R 和和 G，us 和和 is，网孔电流和结点电压，网孔电流和结点电压等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。等对应元素互换，则上面两个方程彼此
32、转换。所以所以“网孔电流网孔电流”和和“结点电压结点电压“是对偶元素，是对偶元素，这两个平面电路称为对偶电路。这两个平面电路称为对偶电路。下 页上 页结论返 回定理的综合应用定理的综合应用例例1 图示线性电路，图示线性电路，当当A支路中的电阻支路中的电阻R0时，时，测得测得B支路电压支路电压U=U1,当当R时，时，UU2,已已知知ab端口的等效电阻为端口的等效电阻为RA，求，求R为任意值时的为任意值时的电压电压U下 页上 页U+RRAabAB线性线性有源有源网络网络返 回应用替代定理：应用替代定理：应用叠加定理：应用叠加定理：21kIkU220UkUIR2110kRUkUURUIRAocAoc
33、下 页上 页U+RRAabAB线性线性有源有源网络网络应用戴维宁定理：应用戴维宁定理：解解RabI+UocRAIU+RAabAB线性线性有源有源网络网络返 回解得：解得：22211 UkRUUUkAocAAAocAocRRRUUURRURUUUUU212212下 页上 页例例2图图a为线性电路，为线性电路，N为相同的电阻网络为相同的电阻网络,对称连对称连接接,测得电流测得电流 i1=I1,i2I2,求求b图中的图中的i1NNUSi2i1ba+-(a)NUSi1ba+-(b)返 回解解对图对图(c)应用叠加和互易定理应用叠加和互易定理211IIi 上 页NNUSi1ba+-(c)+-US对图对图(c)应用戴维宁定理应用戴维宁定理RUoci=0a+-Uoc+-R2111IIii 返 回
