1、2022-2023学年湖南省湖湘名校教育联合体高三（上）联考数学试卷（9月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|x+1x-20，集合Bx|x24x+30，则AB（）Ax|1x1Bx|1x3Cx|1x2Dx|1x22（5分）已知复数z满足z（a29）+（a+3）i（a，bR），则“a3”是“z为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不充要条件3（5分）已知四边形ABCD，设E为CD的中点，ACAD=10，|AE|=4，则|CD|=（）A26B6C22D24（5分）已知x（0，32
2、），设函数f（x）2cosx与函数g（x）3tanx的图象交于P1、P2两点，过点P1、P2作y轴的垂线，垂足分别为H、K，则四边形P1P2KH的面积为（）A3B32CD25（5分）“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为an，其中1n15且nN*，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如表所示（部分数据），a15是指每月的第1天可见部分占满月的5240，a8128是指每月的第8天可见部分占满月的1
3、28240，a15240是指每月的第15天（即农历十五）会出现满月已知在月相数列an中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的（）1234567891011121314155a2a3a4a5a6a7128a9a10a11a12a13a14240A124B112C16D136（5分）设aln15ln14，b=15196，c=tan(15196)，则（）AcbaBbacCacbDabc7（5分）设m为正整数，（x+y）2m的展开式中二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1的展开式中的二项式系数的最大值为b若15a8b，则m的值为（）A5B6C7D88（5分）已
4、知函数f（x）Acosx-3sinx（0）的部分图象如图，yf（x）的对称轴方程为x=56+k4，k为正整数，则将函数f（x）向左平移6个单位长度，得到函数g（x），则g（0）（）A2B2C-32D1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x10，y10），则下列结论正确的是（）A若求得的经验回归方程为y0.4x+1，则变量y和x之间具有正的线性相关关系B若其经验回归方程ybx+a必
5、过点（3，2.25），则x1+x2+x3+x10y1+y2+y3+y10+6.5C若根据这组数据得到样本相关系数|r|0.96，则说明样本数据的线性相关程度较强D若用相关指数R2来刻画回归效果，回归模型I的相关指数R 12=0.32，回归模型2的相关指数R 22=0.68，则模型1的合效果更好（多选）10（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中（）AAC与BD1的夹角为60B二面角D1ACB1的正弦值为13CAB1与平面ACD1所成角的正切值为2D点B1到平面ACD1的距离为233（多选）11（5分）已知抛物线C：y22px（p0），直线l与抛物线C交于A，B两点，且A（x1
6、，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OAOB，若直线l恒过点（4，0），则下列说法正确的是（）A抛物线方程为y24xBx1x216，y1y216COAB的面积的最小值为32D弦AB中点的轨迹为一条抛物线（多选）12（5分）已知函数f（x）x（lnxax），则（）A当a0或a=1e时，f（x）有且仅有一个零点B当a0或a=12时，f（x）有且仅有一个极值点C若f（x）为单调递减函数，则a12D若f（x）与x轴相切，则a=1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数f（x）2ln（2x）x2+14，则函数f（x）的零点个数为 14（5分）在ABC中，内角A，B，C
7、所对的边分别是a，b，c，已知bc=14a，2sinB3sinC，则cosA的值为 15（5分）设数列an的每一项均为正数，且a11，且有4（n+1）an+12nan2+2anan+10，则a6 16（5分）已知点P在双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）上，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，且PF1F2的面积为c2（c为双曲线E的半焦距），则双曲线E的离心率为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（10分）记各项均为正数的数列an的前n项和是Sn，已知an2+an2Sn，n为正整数（1
8、）求an的通项公式；（2）设bntan（an）tan（an+1），求数列bn的前n项和Tn18（12分）在ABC中，内角A，B，C满足2a2+b22c2且B90（1）求证：tanC3tanA；（2）求1tanA+1tanB+1tanC的最小值19（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，BD8，AC6，将ACD沿AC折到PAC的位置使得PD4（1）证明：PBAC（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值20（12分）世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区这让某国某州的医疗一度濒临崩遗某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺
9、炎确诊病例数新增46%，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种新冠疫苗与否/人数感染Delta病毒未感染Delta病毒未接种新冠疫苗2030接种新冠疫苗1060（1）是否有99.5%的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；（2）以样本中结束医学观察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其
10、中至少有2人感染Delta病毒的概率；（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行Delta病毒检测每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0p1）且相互独立记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为f（p）求当p为何值时，f（p）最大？附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（2k0）0.10.050.0100.0050.001k02.7063.841
11、6.6357.87910.82821（12分）已知椭圆C：x22+y2=1，F1为右焦点，直线l：yt（x1）与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q（1）当t2时，求|QF1|；（2）当t0时，求|QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由22（12分）设函数f（x）=1x-x+alnx（1）当a2时，求f（x）的单调区间；（2）任意正实数x1，x2，当x1+x22时，试判断f（x1）+f（x2）与-12(a-2)2的大小关系，并证明2022-2023学年湖南省湖湘名校教育联合体高三（上）联考数学试卷（9月份）参考答
12、案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|x+1x-20，集合Bx|x24x+30，则AB（）Ax|1x1Bx|1x3Cx|1x2Dx|1x2【解答】解：集合Ax|x+1x-20x|1x2，集合Bx|x24x+30x|1x3，则ABx|1x2故选：C2（5分）已知复数z满足z（a29）+（a+3）i（a，bR），则“a3”是“z为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不充要条件【解答】解：当a3时，z6i为纯虚数，充分性成立，z（a29）+（a+3）i为纯虚数，则a2-9=
13、0a+30，解得a3，故必要性成立，故“a3”是“z为纯虚数”的充要条件故选：C3（5分）已知四边形ABCD，设E为CD的中点，ACAD=10，|AE|=4，则|CD|=（）A26B6C22D2【解答】解：由题意得ACAD=（AE+EC）（AE+ED）=AE2+AE（ED+EC）+ECED=AE2-EC2=10，所以|EC|=6，故|CD|26故选：A4（5分）已知x（0，32），设函数f（x）2cosx与函数g（x）3tanx的图象交于P1、P2两点，过点P1、P2作y轴的垂线，垂足分别为H、K，则四边形P1P2KH的面积为（）A3B32CD2【解答】解：由已知得2cosx3tanx，化简得
14、2sin2x+3sinx20，解得sinx=12或2（舍），由x（0，32）可知x=6或56，故交点为P1(6，3)，P2（56，-3），则H（0，3），K（0，-3），由题意可知该四边形为以HP1，KP2为底边，KH为高的直角梯形，所以S梯形P1P2KH=12(|HP1|+|KP2|)|KH|=12(6+56)(3-(-3)=3故选：A5（5分）“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为an，其中1n15且n
15、N*，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如表所示（部分数据），a15是指每月的第1天可见部分占满月的5240，a8128是指每月的第8天可见部分占满月的128240，a15240是指每月的第15天（即农历十五）会出现满月已知在月相数列an中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的（）1234567891011121314155a2a3a4a5a6a7128a9a10a11a12a13a14240A124B112C16D13【解答】解：设第5项到第15项构成的等差数列的公差为d，则7da15a8240128112，解得d16，a5a83d1284
16、880，设前5项构成的等比数列的公比为q，则a32=a1a5=580=400，a30，a320，a3240=20240=112，第3天可见部分占满月的112故选：B6（5分）设aln15ln14，b=15196，c=tan(15196)，则（）AcbaBbacCacbDabc【解答】解：aln15ln14ln1514=ln（1+114），b=15196=1141514，c=tan(15196)=tan（1141514），先比较a与b的大小：令h（x）xln（x+1）（x1），则h（x）1-1x+1=xx+1，令h（x）0，则x0，当x（1，0）时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递减，当
17、x（0，+）时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增，h（x）minh（0）0，h（114）=114-ln（1+114）0，1141514114ln(114+1)，ba，再比较b与c的大小：令f（x）xcosxsinx（x（0，2），则f（x）cosxxsinxcosxxsinx，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）在（0，2）上单调递减，f（x）f（0）0，f（15196）=15196cos15196-sin151960，15196tan15196，bc，综上，abc故选：D7（5分）设m为正整数，（x+y）2m的展开式中二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1的展开式中的二项式系
18、数的最大值为b若15a8b，则m的值为（）A5B6C7D8【解答】解：因为（x+y）2m的展开式中二项式系数的最大值为a，且展开式共有2m+1项，所以二项式系数最大值为C 2mm=a，又因为（x+y）2m+1的展开式中的二项式系数的最大值为b，且展开式共有2m+2项，所以二项式系数的最大值为C 2m+1m+1=C2m+1m=b，由15a8b可得：15C 2mm=8C2m+1m，解得m7，故选：C8（5分）已知函数f（x）Acosx-3sinx（0）的部分图象如图，yf（x）的对称轴方程为x=56+k4，k为正整数，则将函数f（x）向左平移6个单位长度，得到函数g（x），则g（0）（）A2B2C
19、-32D1【解答】解：由于函数yf（x）的对称轴方程为x=56+k4，（kZ），故T=24=2，故4；即f（x）Acos4x-3sin4x=A2+3cos(4x+），当x=56+k4，（kZ）时，|f（x）|=A2+3，所以f(56+k4)=Acos(103+k)-3sin(103+k)，当k为偶数时，f（x）=-A2+32，当k为奇数时，f（x）=A2+32；所以|A2-32|=A2+3，解得A1所以f（x）=-2cos(4x-3)，g（x）f（x+6）2cos（4x+3），所以g（0）1故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选
20、对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x10，y10），则下列结论正确的是（）A若求得的经验回归方程为y0.4x+1，则变量y和x之间具有正的线性相关关系B若其经验回归方程ybx+a必过点（3，2.25），则x1+x2+x3+x10y1+y2+y3+y10+6.5C若根据这组数据得到样本相关系数|r|0.96，则说明样本数据的线性相关程度较强D若用相关指数R2来刻画回归效果，回归模型I的相关指数R 12=0.32，回归模型2的相关指数R 22=0.68，则模型1的合效果更好【
21、解答】解：在经验回归方程中y=bx+a，b0，则y与x之间具有正的线性相关关系，故A正确；在经验回归方程中y=bx+a恒过样本中心(x，y)，则x=3，y=2.25，故10x=10y+7.5，故B错误；|r|1，则样本数据的线性相关程度越强，故C正确；相关系数R2越大，模型拟合效果越好，故D错误故选：AC（多选）10（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中（）AAC与BD1的夹角为60B二面角D1ACB1的正弦值为13CAB1与平面ACD1所成角的正切值为2D点B1到平面ACD1的距离为233【解答】解：在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD1，ACDD1，且
22、BDDD1D1，BD，DD1平面BDD1，所以AC平面BDD1，又BD1平面BDD1，ACBD1，故A错误；过D1作AC垂线，垂足为H，连接B1H，易知H为AC中点，在等边三角形AB1C中，B1HAC，所以D1HB1为二面角D1ACB1的平面角，cosD1HB1=D1H2+B1H2-B1D122D1HB1H=13，故B错误；易知DB1平面ACD1，设直线AB1与平面ACD1所成角为，直线AB1与直线DB1所成角为，则tan=1tan=2，故C正确；由C知，sin=63，所以B1到ACD1的距离为223=223，故D正确故选：CD（多选）11（5分）已知抛物线C：y22px（p0），直线l与抛物
23、线C交于A，B两点，且A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OAOB，若直线l恒过点（4，0），则下列说法正确的是（）A抛物线方程为y24xBx1x216，y1y216COAB的面积的最小值为32D弦AB中点的轨迹为一条抛物线【解答】解：已知抛物线C：y22px（p0），直线l与抛物线C交于A，B两点，且A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OAOB，若直线l恒过点（4，0），设直线l：xky+4，联立x=ky+4y2=2px得y22pky8p0，所以y1+y22pk，y1y28p，因为OAOB=0，则x1x2+y1y20，利用x1x2=(y1y2)24p2=16代
24、入，解得p2，所以拋物线方程为y24x，且x1x216，y1y216，故A，B正确：SOAB=124|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1y2=216k2+6416（当且仅当k0时取等号），故C错误；设AB的中点为M，则xM=x1+x22=k(y1+y2)+82=2k2+4，yM=y1+y22=2k，所以xM=yM22+4，即yM2=2xM-8，所以M点的轨迹为一条抛物线，故D正确，综上ABD正确故选：ABD（多选）12（5分）已知函数f（x）x（lnxax），则（）A当a0或a=1e时，f（x）有且仅有一个零点B当a0或a=12时，f（x）有且仅有一个极值点C若f（x）为单调递减函数，则
25、a12D若f（x）与x轴相切，则a=1e【解答】解：令f（x）0可得x（lnxax）0，化简可得lnxx=a，设h(x)=lnxx，则h(x)=1-lnxx2，当xe，h（x）0，函数h（x）在（e，+）单调递减，当0xe，h（x）0，函数h（x）在（0，e）单调递增，又h(1)=0，h(e)=1e，由此可得函数h(x)=lnxx图像如下：所以当a0或a=1e时，lnxx=a有且仅有一个零点所以当a0或a=1e时，f（x）有且仅有一个零点，A对，函数f（x）x（lnxax）的定义域为（0，+），f（x）lnx2ax+1，若f（x）与x轴相切，设f（x）与x轴相切相切于点（x0，0），则f（x0
26、）0，f（x0）0，所以lnx0ax00，lnx02ax0+10所以x0=e，a=1e，故D正确；若f（x）为单调递减函数，则f（x）0在（0，+）上恒成立，所以lnx+12xa在（0，+）上恒成立，设g(x)=lnx+12x，则g(x)=-lnx2x2，当x1时，g（x）0，函数g(x)=lnx+12x单调递减，当0x1时，g（x）0，函数g(x)=lnx+12x单调递增，且g(1)=12，g(1e)=0，当x1e时，g（x）0，由此可得函数g(x)=lnx+12x的图像如下：所以若f（x）为单调递减函数，则a12，C错，所以当a=12时，函数f（x）在（0，+）上没有极值点，B错，故选：A
27、D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数f（x）2ln（2x）x2+14，则函数f（x）的零点个数为 2【解答】解：已知函数f（x）2ln（2x）x2+14，f(x)=2x-2x=2-2x2x(x0)，令f（x）0，则x1，当x（0，1）时，f（x）0，则f（x）在（0，1）上单调递增；当x（1，+）时，f（x）0，则f（x）在（1，+）上单调递减，所以f(x)max=f(1)=2ln2-340，当x0，f（x）；当x+，f（x），如下图所示：所以x1（0，1），使得f（x1）0，x2（1，+），使得f（x2）0，则函数f（x）的零点个数为2个故答案为：214（5分
28、）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=14a，2sinB3sinC，则cosA的值为 -14【解答】解：在ABC中，bc=14a，2sinB3sinC，2b3c，由可得a2c，b=3c2再由余弦定理可得 cosA=b2+c2-a22bc=9c24+c2-4c23cc=-14，故答案为：-1415（5分）设数列an的每一项均为正数，且a11，且有4（n+1）an+12nan2+2anan+10，则a61192【解答】解：数列an的每一项均为正数，且a11，且有4（n+1）an+12nan2+2anan+10，2（n+1）an+1nan（2an+1+an）0，可得：2（n
29、+1）an+1nan，an+1=n2(n+1)an，a6=526a5=526425a4.=526425.122a1=1625=1192故答案为：119216（5分）已知点P在双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）上，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，且PF1F2的面积为c2（c为双曲线E的半焦距），则双曲线E的离心率为 62【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n，根据对称性，不妨设P为右支上的点，则根据题意可得m+n=4cm-n=2a，m=2c+an=2c-a，又PF1F2的面积为c2，又PF1F2的周长一半p=2c+a+2c-a
30、+2c2=3c，根据海伦公式可得：PF1F2的面积S=3c3c-(2c+a)3c-(2c-a)(3c-2c)=3c2(c2-a2)=c2，2c23a2，e2=c2a2=32，e=62故答案为：62四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（10分）记各项均为正数的数列an的前n项和是Sn，已知an2+an2Sn，n为正整数（1）求an的通项公式；（2）设bntan（an）tan（an+1），求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）各项为正数的数列an的前n项和是Sn，已知：an2+an2Sn，当n1时，解得a11；当n2时，an-12+an-1=2Sn
31、-1，得：anan11（常数），故数列an是以1为首项，1为公差的等差数列；所以ann（2）由（1）得：tan1=tan(n+1)-n=tan(n+1)-tann1+tan(n+1)tann，所以tan（n+1）tann=tan(n+1)-tanntan1-1；故Tnb1+b2+.+bn=1tan1tan(n+1)-tann+tann-tan(n-1)+.+tan2-tan1-n，故Tn=1tan1tan(n+1)-tan1-n=tan(n+1)tan1-n-118（12分）在ABC中，内角A，B，C满足2a2+b22c2且B90（1）求证：tanC3tanA；（2）求1tanA+1tanB+
32、1tanC的最小值【解答】（1）证明：因为2a2+b22c2且B90，所以2（ca）（c+a）b2，由正弦定理可得2（sinCsinA）（sinC+sinA）sin2Bsin2（A+C），所以8（sinC-A2cosC+A2）（cosC-A2sinC+A2）sin2（A+C），即2sin（CA）sin（C+A）sin2（A+C），因为sin（A+C）0，故2sin（CA）sin（C+A），所以2sinCcosA2sinAcosCsinCcosA+sinAcosC，整理得tanC3tanA；（2）解：设tanAt，则tanC3t，由（1）得tanBtan（A+C）=tanA+tanCtanAta
33、nC-1=4t3t2-1，1tanA+1tanB+1tanC=1t+13t+3t2-14t=1312t+3t4132（t0，t33），当且仅当t=133时取等号，所求最小值为13219（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，BD8，AC6，将ACD沿AC折到PAC的位置使得PD4（1）证明：PBAC（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：因为ABCD是菱形，所以ACBD，则BEAC，PEAC因为BE平面PBE，PE平面PBE，且BEPEE，所以AC平面PBE因为PB平面PBE，所以PBAC（2）解：取DE的中点O，连接OP，取CD的中点F，连接OF
34、因为BD8，所以DEPE4因为PD4，所以PDPE，所以PODE由（1）可知AC平面PBE，所以平面PBD平面ABCD，则PO平面ABCD故以O为坐标原点，OF，OD，OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由题中数据可得A（3，2，0），B（0，6，0），C（3，2，0），D（0，2，0），P(0，0，23)，则AB=DC=(3，-4，0)，BP=(0，6，23)，DP=(0，-2，23)设平面PAB的法向量为m=（x1，y1，z1），则mAB=3x1-4y1=0mBP=6y1+23z1=0，令x14，得m=(4，3，-33)设平面PCD的法向量为n=（x2
35、，y2，z2），则nDC=3x2-4y2=0nDP=-2y2+23z2=0，令x24，得n=(4，3，3)设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则cos=|mn|m|n|=44+33-33342+32+(-33)242+32+(3)2=4919120（12分）世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区这让某国某州的医疗一度濒临崩遗某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺炎确诊病例数新增46%，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大对该国家120个接种与
36、未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种新冠疫苗与否/人数感染Delta病毒未感染Delta病毒未接种新冠疫苗2030接种新冠疫苗1060（1）是否有99.5%的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；（2）以样本中结束医学观察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对
37、其家庭成员逐一进行Delta病毒检测每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0p1）且相互独立记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为f（p）求当p为何值时，f（p）最大？附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（2k0）0.10.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【解答】解：（1）K2=120(6020-1030)25070309010.297.879，有99.5%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天
38、花疫苗有关；（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为14，设在随机抽取的4人中感染病毒的人数为X至少有2人感染病毒的为事件A，P（A）P（X2）+P（X3）+P（X4），P（X2）=C42（14）2（34）2=27128，P（X3）=C43（14）3（34）=364，P（X4）（14）4=1256，P（A）=27128+364+1256=67256（3）f（p）（1p）p+（1p）2+pp33p2+2p，则f（p）3p26p+2，令f（p）0，则p1=3-33，p2=3+33（舍去），随着p的变化，f（p），f（p）的变化如下表：p（0，p1）p1（p1，1）f（p）+0f（p）单
39、调递增极大值单调递减综上，当p=3-33时，f（p）最大21（12分）已知椭圆C：x22+y2=1，F1为右焦点，直线l：yt（x1）与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q（1）当t2时，求|QF1|；（2）当t0时，求|QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点M（x0，y0），联立方程组y=2(x-1)x2+2y2-2=0，消去y，整理得9x216x+60，则x1+x2=169，x1x2=69，所以x0=89，代入直线AB的方程：yM=-29，因
40、为Q为ABS三条中垂线的交点，所以MQAB，所以kMQkAB1，所以直线MQ的方程：y+29=-12(x-89)，令y0，xQ=49，|QF1|=59，所以|QF1|的值59；（2）|QF1|AB|为定值，定值为24理由如下，设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点M（x0，y0），由x122+y12=1x222+y22=1，两式相减，y1-y2x1-x2=-12x1+x2y1+y2=-x02y0所以kABkOM=-12，又因为Q为ABC的外心，故MQAB，所以kMQkAB1，所以kMG=2kOM=2y0x0，直线MQ的方程：y-y0=2y0x0(x-x0)，令y0，xQ=x02=x
41、1+x24，所以x1，x22，所以|QF1|=1-14(x1+x2)，|AF1|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+1-x122=x122-2x1+2=2-12x1，同理可得|BF1|=2-12x2，所以|AB|=|AF1|+|BF1|=22-12(x1+x2)，所以|QF1|AB|=1-14(x1+x2)22-12(x1+x2)=24，所以|QF1|AB|为定值，定值为2422（12分）设函数f（x）=1x-x+alnx（1）当a2时，求f（x）的单调区间；（2）任意正实数x1，x2，当x1+x22时，试判断f（x1）+f（x2）与-12(a-2)2的大小关系，并证明【解答】解：（1）
42、当a2时，f(x)=1x-x+2lnx（x0），则f(x)=-x2-2x+1x20故函数f（x）在（0，+）恒减，故函数f（x）的减区间为（0，+），无增区间；（2）结论为f(x1)+f(x2)-12(a-2)2，证明过程如下：f(x1)+f(x2)=1x1-x1+alnx1+1x2-x2+alnx2，将x1+x22代入化简可得：f(x1)+f(x2)=2x1x2-2+alnx1x2，设tx1x2，由x1，x2均为正数且x1x2(x1+x2)24=1，（当且仅当x1x2时，t1），可知0t1，构造：g(t)=2t-2+alnt，（0t1），则g(t)=at-2t2，当a2时，由0t1，得at20，所以g（t）0，故g（t）单调递减，所以g（t）g（1）0，又因为：-12(a-2)20，此时f(x1)+f(x2)-12(a-2)2成立，当a2时，g（t）在(0，2a)上单调递减，在(2a，1)上单调递增，所以g（t）的最小值为g(2a)=a-
