1、2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A（，14，+），Bx|a1xa+1，若AB，则实数a的取值范围为（）A（2，3）B2，3）C（2，3D2，32（5分）已知i为虚数单位，则复数z=1-3i1+2i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知单位向量a，b满足|a-b|2，则a在b方向上的投影向量为（）AbB-bCaD-a4（5分）与直线3xy+10关于y轴对称的直线的方程为（）Ax3y+10B3x+y1
2、0Cx+3y+10D3x+y+105（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换后所得图象的对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换是f（x）的”同值变换”则下列正确的是（）Af（x）cos（x+6）：将函数f（x）的图象关于点（e，0）对称Bf（x）x22|x|：将函数f（x）的图象关于原点对称Cf（x）2x1：将函数f（x）的图象关于x轴对称Df（x）log2x：将函数f（x）的图象关于直线yx对称6（5分）椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）左右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1交椭圆E于B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是（）A22B33C12D557（5分）
3、定义在0，上的函数ysin（x-6）（0）存在极值点，且值域M-12，+），则的范围是（）A76，2B（23，43C（76，43D23，28（5分）当x0时，不等式x2exmx+2lnx+1有解，则实数m的范围为（）A1，+）B-1e，+）C2e，+）D2，+）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9（5分）已知a0，b0，且2a+b4，则下列结论正确的是（）Aab2B12a+1b1C4a+2b6D4a2+b28（多选）10（5分）已知向量a=（1，1），b=（cos，sin）（
4、0）则下列命题正确的是（）A若ab，则=4B存在，使得|a+b|a-b|C与a共线的单位向量为（22，22）D向量a与b夹角的余弦值范围是-22，1（多选）11（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）+|cosx|是奇函数，且f（x）sinx是偶函数则下列命题正确的是（）Af（34）=2Bf（2）1Cf（k+x）f（x）Df（2-x）f（2+x）（多选）12（5分）过点P（1，0）的直线l与圆C：x2+y24y120交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|27，则（）A|AB|的最小值为211BABC 面积的最大值为8CABC 面积的最大值为55D|PM+PN|的最小值为
5、625三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若cos（-4）=45，则sin2 14（5分）若“x1，2，都有2x2x+10成立”是假命题，则实数的取值范围是 15（5分）已知实数x，y满足x2y0，若zx2+2(x-2y)y，则z的最小值是 16（5分）椭圆E：x24+y23=1内有一个圆C，圆C与椭圆内切，圆C面积的最大值是 ；若切点是椭圆的右顶点，则圆C面积的最大值是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知Ax|log2（x22x4）2，Bx|(13)x-a127（1）当a2时，求ARB；（2）已知“xA”是“
6、xB”的必要条件，求实数a的取值范围18（12分）圆C：（x2）2+（y1）29，过点P（1，3）向圆C引两切线，A，B为切点（1）求切线的方程；（2）求PAPB的值19（12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力、在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n（nN+）台汽车车主，统计得到以下22列联表，经过计算可得x25.556喜欢不喜欢总计男性10n12n女性3n总计15n（1）完成表格并求出n值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关：（2
7、）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率从该车企今年某月份售出的汽车中，随机抽取4辆汽车，设被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X，求X的分布列及数学期望附：K=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+daP（x2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）在三角形ABC中，A60，D点在AC边上，AD1，DC=3（1）BD=7，求ABD的面积；（2）若E点在AB边上，ADAE，DBC30，求sinEDB21（1
8、2分）如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD垂直，P是半圆弧上一点（端点除外），AD是半圆的直径，AB1，AD2（1）求证：平面PAB平面PDC；（2）是否存在P点，使得二面角BPCD的正弦值为32？若存在，求四棱锥PABCD的体积；若不存在，说明理由22（12分）已知函数f（x）eax，g（x）alnx，f（x）与g（x）在x1处的切线相同（1）求实数a的值；（2）令m（x）=f(x)，x1g(x)，x1，若存在x1x2，使得m（x1）+m（x2）2求x1+m（x2）的取值范围；求证：x1+x222022-2023学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）参考答案与试题
9、解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A（，14，+），Bx|a1xa+1，若AB，则实数a的取值范围为（）A（2，3）B2，3）C（2，3D2，3【解答】解：集合A（，14，+），Bx|a1xa+1，AB，a-11a+14，解得2x3，则实数a的取值范围是2，3故选：D2（5分）已知i为虚数单位，则复数z=1-3i1+2i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z=1-3i1+2i=(1-3i)(1-2i)5=-5-5i5=-1i，故复数z=1-3i1+2i对应的点为（1，1）
10、，位于第三象限，故选：C3（5分）已知单位向量a，b满足|a-b|2，则a在b方向上的投影向量为（）AbB-bCaD-a【解答】解：单位向量a，b满足|a-b|2，a2+b2-2ab=4，即1+1-2ab=4，解得ab=-1，a在b方向上的投影向量为ab|b|b|b|=-b故选：B4（5分）与直线3xy+10关于y轴对称的直线的方程为（）Ax3y+10B3x+y10Cx+3y+10D3x+y+10【解答】解：根据题意，直线3xy+10即y3x+1，其斜率k3，与y轴的交点为（0，1），则要求直线的斜率为3，与y轴的交点为（0，1），则其方程为y3x+1，变形可得3x+y10，故选：B5（5分）
11、定义：若函数f（x）的图象经过变换后所得图象的对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换是f（x）的”同值变换”则下列正确的是（）Af（x）cos（x+6）：将函数f（x）的图象关于点（e，0）对称Bf（x）x22|x|：将函数f（x）的图象关于原点对称Cf（x）2x1：将函数f（x）的图象关于x轴对称Df（x）log2x：将函数f（x）的图象关于直线yx对称【解答】解：因为函数f(x)=cos(x+6)的图象关于点（e，0）对称后得到的仍然为三角函数，值域仍然为1，1，所以A选项正确；因为f（x）x22|x|的值域为1，+），关于原点对称后的函数为f（x）x2+2|x|，值域为（，1，所以
12、B选项错误；f（x）2x1的值域为（1，+），关于x轴对称后的解析式为yf（x）（2x1）2x+1，值域为（，1），所以C选项错误；f（x）log2x的值域为R，f（x）log2x关于直线yx对称的函数为y2x，值域为（0，+），所以D选项错误故选：A6（5分）椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）左右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1交椭圆E于B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是（）A22B33C12D55【解答】解：由题意可知：设|BF1|m，|BF2|n，可得m+n2a，（m+a）2a2+n2，m2+a2+2maa2+（2am）2，解得m=2a3，n=4a3，(4a
13、3)2+(2c)2-(2a2)222a32c=ba，a2b2+c2，解得b2c，a=5c，所以e=ca=55故选：D7（5分）定义在0，上的函数ysin（x-6）（0）存在极值点，且值域M-12，+），则的范围是（）A76，2B（23，43C（76，43D23，2【解答】解：定义在0，上的函数ysin（x-6）（0）存在极值点，x-6-6，-6，且值域M-12，+），2-676，求得2343，则的范围为（23，43，故选：B8（5分）当x0时，不等式x2exmx+2lnx+1有解，则实数m的范围为（）A1，+）B-1e，+）C2e，+）D2，+）【解答】解：设f（x）exx1，则f（x）ex1
14、，所以当x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，所以当x0时，f（x）取得极小值，即为最小值，最小值为f（0）0，所以f（x）exx10，所以exx+1，所以x2e3mx+2lnx+1有解等价于mx2ex-2lnx-1x，x0有解，所以x2ex-2lnx-1x=ex+lnx2-2lnx-1xx+lnx2+1-2lnx-1x=1，当且仅当x+lnx20时取等号所以m1，所以m的取值范围1，+）故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
15、（多选）9（5分）已知a0，b0，且2a+b4，则下列结论正确的是（）Aab2B12a+1b1C4a+2b6D4a2+b28【解答】解：2a+b4，2ab(2a+b)24=4，当且仅当2ab，即a1，b2时，等号成立，ab2，故A正确，12a+1b=14(12a+1b)(2a+b)=14(2+b2a+2ab)14(2+2b2a2ab)=1，当且仅当2a+b=4b2a=2ab，即a1，b2时，等号成立，故12a+1b1，故B正确，4a+2b22a+2b222a2b=222a+b=224=8，当且仅当2a=b2a+b=4，a1，b2时，等号成立，故C错误，4a2+b2（2a+b）24ab164ab
16、16428，当且仅当2ab，即a1，b2时，等号成立，故D正确故选：ABD（多选）10（5分）已知向量a=（1，1），b=（cos，sin）（0）则下列命题正确的是（）A若ab，则=4B存在，使得|a+b|a-b|C与a共线的单位向量为（22，22）D向量a与b夹角的余弦值范围是-22，1【解答】解：对于A，若ab，则cossin，即tan1，又0，=4，故A正确，对于B，假设存在，使得|a+b|a-b|，则ab，即ab=0，cos+sin0，即tan1，又0，=34，故B正确，对于C，与a共线的单位向量为a|a|或-a|a|，即（22，22）或（-22，-22），故C错误，对于D，设向量a与
17、b的夹角为，则cos=ab|a|b|=cos+sin21=sin（+4），0，+44，54，sin（+4）-22，1，即向量a与b夹角的余弦值范围是-22，1，故D正确，故选：ABD（多选）11（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）+|cosx|是奇函数，且f（x）sinx是偶函数则下列命题正确的是（）Af（34）=2Bf（2）1Cf（k+x）f（x）Df（2-x）f（2+x）【解答】解：根据题意，f（x）+|cosx|是奇函数，则有f（x）+|cosx|+f（x）+|cos（x）|f（x）+f（x）+2|cosx|0，变形可得f（x）+f（x）2|cosx|，若f（x）sinx是
18、偶函数，则有f（x）sinxf（x）sin（x）f（x）+sinx，变形可得f（x）f（x）2sinx，联立可得：f（x）sinx|cosx|，依次分析选项：对于A，f（34）sin34-|cos34|0，A错误；对于B，f（2）sin2-|cos2|101，B正确；对于C，f（k+x）sin（k+x）|cos（k+x）|sinx|cosx|，C错误；对于D，f（2-x）sin（2-x）|cos（2-x）|cosx|sinx|，f（2+x）sin（2+x）|cos（2+x）|cosx|sinx|，D正确；故选：BD（多选）12（5分）过点P（1，0）的直线l与圆C：x2+y24y120交于A，
19、B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|27，则（）A|AB|的最小值为211BABC 面积的最大值为8CABC 面积的最大值为55D|PM+PN|的最小值为625【解答】解：x2+y24y120即x2+（y2）216，圆心C（0，2），半径r4，P（1，0）在圆C内，|PC|=5，设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0d5，|AB|216-d2，|AB|min216-5=211，故A正确；SABC=12|AB|d=12216-d2d=16d2-d4=(-d2-8)2+64，0d25，当d25时，（SABC）max=55，故B错误，C正确；取MN的中点E，则CEMN，又|MN|27，则|
20、CE|=16-7=3，点E的轨迹是以C（0，2）为圆心，半径为3的圆因为|PM+PN|2|PE|，且|PE|min3|PC|3-5，所以|PM+PN|的最小值为625，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若cos（-4）=45，则sin2725【解答】解：因为cos（-4）=22(cos+sin)=45，所以cos+sin=425，两边平方得1+2sincos=3225则sin2=725故答案为：72514（5分）若“x1，2，都有2x2x+10成立”是假命题，则实数的取值范围是 |92【解答】解：若“x1，2，都有2x2x+10成立”是假命题，则“
21、x1，2，使得2x2x+10成立”是真命题，即2x+1x在1，2上有解，所以（2x+1x）max，因为y2x+1x在1，2上单调递增，当x2时，函数取得最大值92，实数的取值范围是|92故答案为：|9215（5分）已知实数x，y满足x2y0，若zx2+2(x-2y)y，则z的最小值是 8【解答】解：（x2y）2y(x-2y+2y)24=x24，当且仅当x2y2y，即x4y时，等号成立，2(x-2y)y=4(x-2y)2yx216，zx2+2(x-2y)yx2+x2162x216x2=8，当且仅当x2=16x2且x4y，即x2，y8时，等号成立，故z的最小值为8故答案为：816（5分）椭圆E：x
22、24+y23=1内有一个圆C，圆C与椭圆内切，圆C面积的最大值是 3；若切点是椭圆的右顶点，则圆C面积的最大值是 94【解答】解：椭圆E：x24+y23=1内有一个圆C，圆C与椭圆内切，当圆的半径取得最大值时，圆C面积的最大值是（3）23由题意可知，圆的圆心（m，0），m（2，2），圆的半径为：2m，可得（xm）2+y2（2m）2，圆的方程与椭圆方程联立，消去y，可得x28mx+16m40，因为椭圆与圆相切，所以64m24（16m4）0，解得m=12，此时圆的半径为：32，所以圆的面积为：94故答案为：3；94四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1
23、0分）已知Ax|log2（x22x4）2，Bx|(13)x-a127（1）当a2时，求ARB；（2）已知“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围【解答】解：（1）Ax|log2（x22x4）2x|x22x44x|x2或x4，当a2时，Bx|(13)x-a127=x|(13)x-2(13)3=x|x5，则RBx|x5，故ARBx|x2或4x5（2）Bx|(13)x-a127x|xa+3，“xA”是“xB”的必要条件，BA，a+34，解得a1，故实数a的取值范围为1，+）18（12分）圆C：（x2）2+（y1）29，过点P（1，3）向圆C引两切线，A，B为切点（1）求切线的方程；（2）求P
24、APB的值【解答】解：（1）当切线斜率存在时，不妨设为k，则切线的方程y3k（x+1），则|3k+2|1+k2=3，即k=512，即切线的方程y3=512（x+1），即5x12y+410，当切线斜率不存在时，x1显然满足题意，即切线的方程为x1或5x12y+410；（2）由题意可得|PC|=(-1-2)2+(3-1)2=13，则|AP|=|BP|=PC2-9=2，则sinAPC=|AC|PC|=313，则cosAPB12sin2APC=-513，即PAPB=|PA|PB|cosAPB=22(-513)=-201319（12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少
25、空气污染和缓解能源短缺的压力、在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的20n（nN+）台汽车车主，统计得到以下22列联表，经过计算可得x25.556喜欢不喜欢总计男性10n12n女性3n总计15n（1）完成表格并求出n值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关：（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率从该车企今年某月份售出的汽车中，随机抽取4辆汽车，设被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新能源购车者的辆数为X，求X的分布列及数学期望附：K=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b
26、+d)，其中na+b+c+daP（x2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）补充表格数据如下：喜欢不喜欢总计男性10n2n12n女性5n3n8n总计15n5n20n根据数表可得x2=20n(3n10n-5n2n)215n5n12n8n5.556，又nN*，得n5；由题意，x25.556（5.024，6.635），故有975%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；（2）随机抽取1辆汽车属于不喜欢新能源购车者的概率为25100=14，被抽取的4辆汽车中属于不喜欢新
27、能源购车者的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，4依题意，XB（4，14），P（X0）=(34)4=81256，P（X1）=C4114(34)3=3764，P（X2）=C42(14)2(34)2=54256，P（X3）=C43(14)334=364，P（X4）（14）4=1256所以X的分布列为：X01234P81256 2764 54256 364 1256 X的数学期望E（X）081256+12764+254256+3364+41256=1所以X的数学期望为120（12分）在三角形ABC中，A60，D点在AC边上，AD1，DC=3（1）BD=7，求ABD的面积；（2）若E点在AB边上，
28、ADAE，DBC30，求sinEDB【解答】解：（1）在ABD中，由余弦定理得BD2AB2+AD22ABADcos60，可得AB2AB60，解得AB3，（舍负），所以SABD=12ABADsin60=1231sin60=334（2）由于ADAE，A60，则ADE为正三角形，DEAD1，AEDADE60，设EDB，在BDE中，BED120，EBD60，由正弦定理得BDsin120=1sin(60-)，（1）在BDC中，DBC30，BCD30+，DC=3，由正弦定理得BDsin(30+)=3sin30，（2）由（1）和（2）得：sin（30+）sin（60）=14，即sin（60+2）=12，又0
29、60，则6060+2180，故60+2150，所以45，可得sinEDB=2221（12分）如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD垂直，P是半圆弧上一点（端点除外），AD是半圆的直径，AB1，AD2（1）求证：平面PAB平面PDC；（2）是否存在P点，使得二面角BPCD的正弦值为32？若存在，求四棱锥PABCD的体积；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD垂直，又DCAD，又半圆所在的平面与矩形所在平面ABCD的交线为AD，且DC面ABCD，DC垂直半圆所在的平面，又PA在半圆所在的平面内，DCPA，又P是半圆弧上一点（端点除外），AD是半圆的直径，
30、PAPD，且DCPDD，PA平面PDC，又PA平面PAB，平面PAB平面PDC；（2）建系如图，根据题意可得：A（1，0，0），B（1，1，0），C（1，1，0），设P（cos，0，sin），（0，），由（1）知平面PDC的法向量n=AP=(cos-1，0，sin)，又PC=(-1-cos，1，-sin)，CB=(2，0，0)，设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，则mPC=(-1-cos)x+y-zsin=0mCB=2x=0，取m=(0，sin，1)，若二面角BPCD的正弦值为32，则二面角BPCD的余弦值的绝对值为12，|cosm，n|=sinsin2+1(cos-1)2+sin2=1
31、2，1-cos22-cos22-2cos=12，1+cos2(2-cos2)=12，（0，），平方解得cos0，sin1，存在P为（0，0，1）满足题意，此时易得四棱锥PABCD的体积为13121=2322（12分）已知函数f（x）eax，g（x）alnx，f（x）与g（x）在x1处的切线相同（1）求实数a的值；（2）令m（x）=f(x)，x1g(x)，x1，若存在x1x2，使得m（x1）+m（x2）2求x1+m（x2）的取值范围；求证：x1+x22【解答】解：（1）f(x)=-ea-x，g(x)=-1x，依题意，-ea-1=-11，解得a1；（2）由（1）得，m(x)=e1-x，x11-ln
32、x，x1，（i）当x1x21时，m(x1)+m(x2)=e1-x1+e1-x21+1=2，不合题意；（ii）当1x1x2时，m（x1）+m（x2）1lnx1+1lnx22ln（x1x2）2，不合题意，（iii）由（i）（ii）可知，x11x2，此时m（x2）2m（x1），则x1+m(x2)=x1+2-e1-x1，令yxe1x+2，x1，易知函数yxe1x+2在（，1）上单调递增，则y2，即x1+m（x2）（，2）；证明：由可知，x11x2，且e1-x1+1-lnx2=2，则lnx2=e1-x1-1，则x2=ee1-x1-1，所以x1+x2=x1+ee1-x1-1，令t=e1-x1-1(x11)，则te1110，x11ln（t+1），所以x1+x2=1-ln(t+1)+et，令h（t）1ln（t+1）+et，t0，则h(t)=et-1t+1，h(t)=et+1(t+1)20，所以h（t）在（0，+）上单调递增，则h（t）h（0）0，所以h（t）在（0，+）上单调递增，则h（t）h（0）2，即x1+x22，得证第17页（共17页）
