1、DMU 高等数学高等数学DMU 数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 DMU DMU.a或表示法表示法:向量的模向量的模:向量的大小向量的大小,21MM记作向量向量:(又称又称矢量矢量).1M2M既有既有大小大小,又有又有方向方向的量的量向径向径(矢径矢径):自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量,.a
2、或记作 a零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,.00或，记作有向线段有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或向量相等、向量平行向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面向量共线、负向量、向量共面.DMU 加法加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba DMU;1aa可见;1aa三角不等式三角不等式ab)(abbabaabababa.a规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa 与 a 的乘
3、积是一个新向量,记作，反向与aa运算律运算律:满足结合律、分配律.;aababaDMU a 为非零向量为非零向量,则则(为唯一实数)abab 注注:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行.数轴的建立数轴的建立:给定一个点和一个单位向量就可以建给定一个点和一个单位向量就可以建 立一条数轴立一条数轴.如给定点如给定点o及单位向量及单位向量 可建立可建立x 轴轴.ioxi1p1p向量与点的坐标：向量与点的坐标：i xopx1xxop,iopopixop11,xi xop故规定故规定:既是向量的坐标又是点的坐标既是向量的坐标又是点的坐标.xDMU xyz 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z
4、轴(竖轴)o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面,;kjioDMU xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxCrMijk向量与点的坐标：向量与点的坐标：OROQOPOM,i xOPkzORj yOQ,kzj yi xOM),(zyxkzj yi xOM故规定故规定:既既是向量是向量 的坐标的坐标又是点又是点 的坐标的坐标.),(zyxOMM坐标面上的点坐标面上的点A、B、C坐标轴上的点坐标轴上的点P、Q、RDMU,zyxaaaa,zyxbbbb,zzyyxxbabababa,zyxaaaabaa/,0 则zzyyxxabababa
5、b,zyxzyxaaabbb),(),(22221111zyxMzyxM1221OMOMMM,111222zyxzyx,121212zzyyxx1M2MODMU,zyxaaaa 222zyxaaaaaoxyz),(zyxaaaM),(),(22221111zyxMzyxMaOM21MM212212212)()()(zzyyxxDMU oyzx,aOA作,bOBOAB称 =AOB(0 )为向量 ba,的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,0),(zyxr与三坐标轴的夹角,rr方向角方向角:cosrx222zyxx方向余弦方向余弦:记作),(bacosry,222zyxycos2
6、22zyxzDMU 方向余弦的性质方向余弦的性质:,1coscoscos222rr)cos,cos,(cosr)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MMDMU 轴上的投影在ub),cos(ubbbprjunuunubprjbprjbbbprj121)(1M1N2M2Nbucos21MM21NN21)(NNbu或),(zyxa 若zayaxazyx)(,)(,）则（DMU 目录目录数量积数量积向量积向量积混合积混合积数量积、向量积、混
7、合积数量积、向量积、混合积DMU 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积1MsF2McosSFW),cos(babababababa),cos(abaababababbprja),cos(),cos(DMU 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积cabacba)(abba)()(baba),(),(zyxzyxbbbbaaaa设0)0,0(bababazzyyxxzyxzyxbababakbjbibkajaiaba)()(0zzyyxxbababaDMU 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积OFM1Mabc),sin(babacbacac bc)()()()(babacab
8、acbaabba0)0,0(/bababa0baDMU 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积,zyxzyxbbbbaaaakajaiaazyxkbjbibbzyxkbabajbabaibabakbjbibkajaiabaxyyxzxxzyzzyzyxzyx)()()()()(zyxzyxbbbaaakjiDMU 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积22211211aaaa20121333231232221131211aaaaaaaaazyzyzyxzyxbbaaibbbaaakjizxzxbbaajyxyxbbaak333123211221)1(aaaaa32312221133
9、1)1(aaaaa22212211aaaa333223221111)1(aaaaaDMU 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积,2,0,1a2,1,1bba211201kjibazzyyxxbababababa)0,0(/babaeg/2,4,21,2,1.kji43)1(4)1()2()1,4,2(DMU 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积)(bacacbcbacbazyxzyxzyxcccbbbaaacba共面、DMU 目录目录0),(zyxFDMU 曲面及其方程曲面及其方程xyz轴旋转绕zzyf0),(M0M),0(1zy),(zyxo0),(0),(22zyxfzyf
10、:曲面方程绕z轴旋转所成的旋转0),(,1122zyfyyyx0),(zyfM),(zyxDMU 曲面及其方程曲面及其方程轴旋转绕zyz2.1ozy2yz x22yxz轴旋转绕zyz.2222yxzozyyz xDMU 曲面及其方程曲面及其方程xy12222czax绕 x 轴旋转所成曲面122222czyax绕 z 轴旋转所成曲面122222czayx称为旋转双叶双曲面z称为旋转单叶双曲面DMU 曲面及其方程曲面及其方程xyzoClM1M平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面xy22C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.222Ryx表示圆柱面圆柱面
11、xozyxy22 抛物柱面抛物柱面DMU xozyxy 平面平面xyz2l曲面及其方程曲面及其方程平行于 z 轴;柱面柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线表示方程0),(yxF柱面柱面,平行于 y 轴;准线 xoz 面上的曲线 .母线表示方程0),(xzH1l2lDMU 1222222czbyaxzbyax222222222zbyax曲面及其方程曲面及其方程zyxzyxzxyoxyzDMU 4.4.单叶双曲面单叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax),(1222222为正数cbaczbyax6.双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）zbyax2222zyx曲面及其方程曲面
12、及其方程DMU zyxo0Mn),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量,),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n平面及其方程平面及其方程DMU 平面及其方程平面及其方程kji,1M又)1,9,14(0)4()1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解:取该平面 的法向量为),2,3,1(),4,1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMMD
13、MU 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况:过三点)3,2,1(),(kzyxMkkkk的平面方程为平面及其方程平面及其方程DMU 平面及其方程平面及其方程此式称为平面的截距式方程截距式方程.),0,0(,)0,0(,)0,0,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)(cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0cDMU 平面及其方程平面及其方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为
14、平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价,)0(222CBA),(CBAn 的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.DMU 平面及其方程平面及其方程 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy
15、 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,),0(iCBnxDMU 平面及其方程平面及其方程练习：练习：用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解:因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zyDMU 平面及其方程平面及其方程设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn DMU 平面
16、及其方程平面及其方程221)1(0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/nn2n1n2n1nDMU 因此有垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0)1()1()1(2CzCyCxC约去C,得0)1()1()1(2zyx即02zyx0)1()1()1(zCyBxA)1,1,1(1M,)1,1,0(2M和则所求平面故,),(CBAn方程为 n21MMn且平面及其方程平面及其方程DMU 外一点,求)
17、,(0000zyxP0DzCyBxA222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d.0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd,),(CBAn(点到平面的距离公式)平面及其方程平面及其方程DMU xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)空间直线及其方程空间直线及其方程如0 x 0y 及0 xy0y 都表示z轴.DMU 空间直线
18、及其方程空间直线及其方程),(0000zyxM故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量,),(pnms sMM/0DMU 空间直线及其方程空间直线及其方程设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy2,0zy令 x=1,解方程组,得是直线上一点.)2,0,1(故再求
19、直线的方向向量.sDMU 已知直线的两平面的法向量为,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji1n2n空间直线及其方程空间直线及其方程DMU 2L1L则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s空间直线及其方程空间直
20、线及其方程DMU 空间直线及其方程空间直线及其方程特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss解解:直线直线13411:1zyxL0202:2zxyxL的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1,4,1(1s2010112kjis DMU 二直线夹角 的余弦为 cos22从而4)1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2空间直线及其方程空间直线及其方程线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直当直线与平面垂直时,规定其夹角.2DMU L设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足222222CBApnmpCnBmA),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn空间直线及其方程空间直线及其方程特别有特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/nsDMU 解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn空间直线及其方程空间直线及其方程DMU
