1、1211nniixxxxxnn u随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差量进行无限多次测量所得结果的平均值之差 iixx()n 0 xAiiiixAxxxAx射击误差射击误差示意图示意图|xA 是粗大误差是粗大误差4x 1iipixE(X)dxxxpXE)()()(XD 为什么测量数据和随机为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？误差大多接近正态分布？)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE222222)2exp(21)()0()(d
2、dpED 2 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差(a a)随随 机机 误误 差差(b b)测测 量量 数数 据据0)(p x xp p(x x)0 0图图 3 3 1 1 随随 机机 误误 差差 和和 测测 量量 数数 据据 的的 正正 态态 分分 布布 曲曲 线线随机误差具有：对称性随机误差具有：对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 0)(p1 2 3 a bP(x)概率密度概率密度:均值均值:当当 时时,标准偏差标准偏差:当当 时，时，01)(abxpbxaxbxa ,
3、2ba ba 32ab 3b ba 0 用事件发生的频度代替事件发生的概率，当用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则则nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n个可相同的测试数据个可相同的测试数据x xi i(i=1.2,n)(i=1.2,n)次数都计为次数都计为1,1,当当 时，则时，则 niiniixnnxXE1111)(n n（1 1）有限次测量的数学期望的估计值）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值算术平均值被测量被测量X X的数学期望，的数学期望，就是当测量次数就是当测量次数 时，各次测量值的算时，各次测量值的算术平均值术平均值 n niixnx11有限次测量值的算术平
4、均有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？值比测量值更接近真值？*)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()(n算术平均值算术平均值：残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ：xxii niiniixxnnxs1212)(1111)(nxsxs)()(niixnx11 【例【例3.13.1】用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测个测量值的序列（见下
5、表）。求测量值的平均值及其标准偏差。量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：平均值解：平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差)(1.530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso x k kxEx )(置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积 kkdpkPkxExP)()(997.0)2exp(21)()3(223333 ddpP区间越宽，
6、区间越宽，置信概率越大置信概率越大k（P=1)反正弦均匀三角分布236k k a 3a 3akka 3 k-a aa aP P(x x)x x0 0 c a 0 t 图3 7 多 种 系 统 误 差 的 特 征 其 中：a-不 变 系 差 b-线 性 变 化 系 差 c-周 期 性 系 差 d-复 杂 规 律 变 化 系 差 d b 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差多次测量求平均不能减少系差。ii0
7、ii0 存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无明显系统误差21111snniii 2/112/ninniiiD 2/)1(12/)1(ninniiiD 统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。并予以剔除。莱特检验法莱特检验法 格拉布斯检验法格拉布斯检验法 si3 sG max 式中，式中，G G值按重复测量次数值按重复测量次数n n及置信概率及置信概率PcPc确定确定 3456789101195%1.1
8、51.461.671.821.942.032.112.182.2399%1.161.491.751.942.12.222.322.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpn解：解：计算得计算得 s=0.033 s=0.033计算残差填入表计算残差填入表3 37 7，最大，最大，是可疑数据。是可疑数据。用莱特检验法用莱特检验法 3 s=3 3 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判断故可判断 是粗大误差，应予
9、剔除。是粗大误差，应予剔除。再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得：再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得：s =0.0 1 6 s =0.0 1 6 3s=0.0483s=0.048各测量值的残差各测量值的残差V V填入表填入表3 37 7，残差均小于，残差均小于3 s3 s故故1414个数据都为正常数据。个数据都为正常数据。404.20 x104.08 8x8x411.20 x【例【例3.33.3】对某电炉的温度进行多次重复测量，所得对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表结果列于表3 37 7，试检查测量数据中有无粗大误差。，试检查测量数据中有无粗大误差。niixnx11x
10、xii 01 nii niins1211 nssx xskxA 1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44-0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.351.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11-0.02-
11、0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11残残 差差残残 差差测量值测量值序号序号残残 差差 残残 差差序号序号测量值测量值-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6图 3 9 残 差 图51 01 5niiiW2 miimiiimiimiiiWxWxx1112121 1niiifyxx 测量不确定度不确定度扩展不确定度B 类类标标准准不不确确定定度度Bu标准不确定度A 类类标标准准不不确确定定度度Au合合成成标标准准不不确确定定度度C
12、uU99U95U()3kU()2k相对不确定度 niixnx111)()(12 nxxXSniinXSxSuA)()(自由度意义：自由度意义：自由度数值越大，自由度数值越大，说明测量不确定说明测量不确定度越可信。度越可信。kuB 分布分布三角三角梯形梯形均匀均匀反正弦反正弦 k(p=1)概率概率P%5068.27909595.459999.73置信因置信因子子0.67611.6451.96022.5763621/632表表3 31010几种非正态分布的置信因子几种非正态分布的置信因子k k )(),(yxyxEYXCov niiixyyyxxnS1)(11)()(),(),(YXYXCovYX
13、Q )()()1()()()()()()(),(111221ySxSnyyxxyyxxyyxxySxSSyxrniiininiiiniiixy 2/1122)()(Niiicxuxfyu NiiCuu121/2212111()()2(,)()()NNNCiijijiij iiijfffuyuxr x x u x u xxxx ifx 1()()NCiiifuyuxx 1/2221()()NCiiiuyA uy NiiiiCxxuPYyu12/)()(1212NpppNYXXX 22()()VPIuuuPIV 22222222()()PIVIVPPuuuV uI uIV算术平均值算术平均值Pk5
14、7.741951.65991.711001.73表表311 311 均匀分均匀分布时置信概率与置布时置信概率与置信因子信因子k k的关系的关系1 ni NiiiiCeffvxuCyuv1444)()(2)()(21 iixuxuRVP2 电压的电压的B类类不确定度不确定度电阻的电阻的B类类不确定度不确定度电压的电压的A类类不确定度不确定度RVP2 VVnVVnii32.255.22.24.23.22.2/1 WWRVP027.099.199)32.2()(22 3 3）测量不确定度的分析）测量不确定度的分析本例的测量不确定度主要来源为电压表不准确；电阻不准本例的测量不确定度主要来源为电压表不准
15、确；电阻不准确；由于各种随机因素影响所致电压测量的重复性。确；由于各种随机因素影响所致电压测量的重复性。VnVVnii32.21 VVxxSii13.0418.012.008.002.012.015)(22222512 VVnSxSVu058.0513.0)()(2 （4 4）标准不确定度分量的评定）标准不确定度分量的评定电压测量引入的标准不确定度电压测量引入的标准不确定度(a)(a)电压表不准引入的标准不确定度分量电压表不准引入的标准不确定度分量u u11（V V）按）按B B类评定。类评定。a a1 1=2.32V=2.32V1%=0.023V 1%=0.023V (b)(b)(b)(b)
16、电压测量重复性引入的标准不确定度分量电压测量重复性引入的标准不确定度分量u u22（V V）。）。按按A A类评定。类评定。VkaVu013.03023.0)(111 VVVuVuVu059.0058.0013.0)()()(222221 3.44058.010013.00594.0)()()(4442421414)(vVuvVuVuvCVeff 01.0202.0)(22kUkaRuRVP2)()()(222221RucVucPuC /023.099.19932.2221VRVVPc2222222(2.32)0.00013/(199.99)PVcVRR WPuC0014.0)01.0()00
17、013.0()059.0()023.0()(2222 （7 7）报告最终测量结果）报告最终测量结果功率功率P P（0.0270.0270.0040.004）W W（置信水平（置信水平P P0.950.95）包含因子包含因子k k为为2.572.57，有效自由度为，有效自由度为5 5。52.53.4059.0023.00014.0)()()()()(4444424414 RvRucVvVucPuvCeff57.2)5(95.095.0 tk0.004W W6 003.00014.057.2)(95.095.0 PukUcnuuu 21iiiCScnnuu 2nuuCi/5.3508.48804.
18、14408.428.043.517 365.3551.351.428.052008.428.043.517 x0 02 24 46 68 810101212y1.51.512.112.119.119.131.331.342.142.148.648.659.159.10 02 20 04 40 06 60 08 80 00 05 51 10 01 15 5x xy yy=a+bx 0mjjjykx iiiyy mni 2 11bxya 11nnyybxx 0 02 20 04 40 06 60 08 80 00 05 51 10 01 15 5x xy ykxxkii 11kyykii 11kn
19、xxnkii 12knyynkii 121212xxyyb 2211xbyxbya iiiyy min)(1122 niniiiibxayv niniiinininiiiniiiixnxxyyxxa112211121)(niniiininiiiniiixnxyxnyxb1122111)(ixiy压力压力（MPa）246810输出输出（mV）10.04320.09330.13540.12850.072压力压力MPa输出输出mV端点法端点法平均选点法平均选点法最小二乘法最小二乘法理想直理想直线线残差残差理想直理想直线线残差残差理想直理想直线线残差残差210.04310.0440.00110.950
20、.05210.0800.0337420.09320.0520.04120.0970.00420.0900.003630.13530.0600.09330.0990.05430.1000.053840.12840.0680.06040.1010.02740.1100.0181050.07250.0680.00450.1030.03150.1200.048拟合直线方程拟合直线方程拟合误差拟合误差0.0680.0490.048xy004.5036.0 xy001.5093.0 xy005.5070.0 最小二乘法精确度最高，平均选点次之，端点法较差最小二乘法精确度最高，平均选点次之，端点法较差 mni 2 niiniixxnnxs1212)(1111)(nxsxs)()(xxii niixnx113)(xksx 2/11111)()(),(2)(22)(NiNiNijjxuixujxixrjxfixuixfyCu NiiCuu122/1122)()(Niiicxuxfyubxay
