1、2.3 2.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 伯努利方程给出了作伯努利方程给出了作定常流动定常流动的的理想流体理想流体中任意两点或中任意两点或截面上截面上 、及高度及高度 之间的关系。之间的关系。pvh一、一、伯努利方程的推导伯努利方程的推导如图，取一细流管，经过短暂时间如图，取一细流管，经过短暂时间 t，截，截面面 S1 从位置从位置 a 移到移到 b，截面，截面 S2 从位置从位置c 移到移到d，S2cS1av1v2ttbd流过两截面的体积分别为流过两截面的体积分别为tSvV111222Vv St由连续性原理得由连续性原理得12VVV 在在b到到一段中运动状态未变，流体经过一段中运
2、动状态未变，流体经过t 时间动能变化量：时间动能变化量：22211122kEvVvVVghVghEp12VPtvSPtvFA1111111VPtvSPtvFA2222222由功能原理由功能原理：pkEEAVhhgVvvVPP)()(21)(12212221222212112121ghvPghvPCghvP221或或即即上式即为上式即为伯努利方程伯努利方程的数学表达式。的数学表达式。S1S2t tt tP1P2h1h2二、伯努利方程的意义二、伯努利方程的意义功能原理功能原理)(21)(21222121vvhhgPP21PP 21SS)hh(g21 21SS)vv(212221 21SSBBBAA
3、AghvPghvP222121如图所示，且如图所示，且S SB BS SA A，以，以 A A、B B 两点为参考点，两点为参考点，BBAAvSvS选取选取h hB B处为参考点，其处为参考点，其 h hB B=0,=0,h hA A=h h 得得221BBAvPghP gh)PP(vBAB22 三、伯努利方程的应用三、伯努利方程的应用 小孔流速小孔流速由伯努利方程：由伯努利方程：0BABAvSSv可知，可知，因因P PA A=P P 0 0 P P B B=P P 0 0 所以所以ghvB2 即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小
4、孔处的流速大小相等。下落到小孔处的流速大小相等。SASB-托里拆利公托里拆利公式式左图是利用左图是利用虹吸管虹吸管从水库引水的示意图。从水库引水的示意图。虹吸管粗细均匀，选取虹吸管粗细均匀，选取 A A、C C 作为参考点。作为参考点。虹吸管虹吸管水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可知可知 ，所以此例，所以此例实质为小孔流速问题实质为小孔流速问题0Av)(2CAhhgv如果如果h hA Ah hB B0 0 ，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。在没有外界帮助下这种定常
5、流动是不可能实现的。喷雾原理喷雾原理 因因S SA A很小，很小，v vA A增大使增大使P PA A小于小于大气压，容器内流体上升到大气压，容器内流体上升到A A处，被处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。空吸现象。A AC CB BhAhBhc由伯努利方程由伯努利方程ABPvP221从从U U形管中左右两边液面高度差可知形管中左右两边液面高度差可知ABPPghghv2为为 U 形管中液体密度，形管中液体密度，为流体密度。为流体密度。皮托管皮托管 由上两式得由上两式得较适合于测定气体的流速。较适合于测定气体的流速。常用如图示形式的皮托管测液体的流速常
6、用如图示形式的皮托管测液体的流速212ABvPPghghv2hhA AB BA AB B（测量管道中液体体积流量）（测量管道中液体体积流量）如左图所示。当理想流体在管道中作如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程定常流动时，由伯努利方程222121BBAAvPvP文丘里流量计文丘里流量计 由连续性原理由连续性原理BBAAvSvSQ又又 BAPPgh222ABBASSghSSQ管道中的流速管道中的流速222ABABBSSghSSQvvhSASBd1d2=21 S1S2=41 且且v 1=1ms-1 例例求求解解.一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为一水平收缩管，粗、细处管道的直径
7、比为21 21，已知，已知粗管内水的流速为粗管内水的流速为1ms1ms-1-1,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。得得 v2=4v1=4 ms-12222112121vpvp又由又由由由 S1v1=S2v2 得得Pa105714100121213223212221.vvppTHANK YOUSUCCESS2022-11-11可编辑 水从图示的水平管道水从图示的水平管道1 1中流入，并通过支管中流入，并通过支管2 2和和3 3流入管流入管4 4。如管如管1 1中的流量为中的流量为900cm900cm3 3ss-1-1.管管1 1、2 2、3 3的截面
8、积均为的截面积均为15cm15cm2 2,管管4 4的截面积为的截面积为10cm10cm2 2,假设水在管内作稳恒流动，假设水在管内作稳恒流动，例例求求解解（1 1）管）管2 2、3 3、4 4的流量的流量;（2 2）管）管2 2、3 3、4 4的流速的流速;（3 3）管）管1 1、4 4中的压强差中的压强差.1234v v1 1v v2 2v v3 3v v4 4(1)(1)由连续性原理知由连续性原理知 Q4=Q1=900cm3s-1(3)v1=Q1S1=90015=60cms-1 由伯努由伯努利方程利方程 S2=S3 Q2+Q3=Q1 Q2=Q3=450cm3s-1(2)v2=v3=Q2S
9、2=45015=30cms-1v4=Q4S4=90010=90 cms-12442112121vpvp得得a223212441P2256.09.0100.12121vvpp水管里的水在压强水管里的水在压强 P P=4.0=4.010105 5P Pa a 作用下流入室内，水管作用下流入室内，水管的内直径为的内直径为 2.0 cm2.0 cm ，管内水的流速为，管内水的流速为4.0ms4.0ms-1-1。引入。引入 5.0 m5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm1.0 cm 。当水龙头关闭时，当水龙头关闭时，由伯努利方程，由伯努利方程021 vv
10、2211ghPghP即即)(2112hhgPP=3.5105Pa S1v1s2v2h2例例求求解解浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。当水龙头完全打开后，当水龙头完全打开后，22222112121ghvPvP2222112)(21ghvvPP=2.3105Pa 即即由伯努利方程：由伯努利方程：由连续性方程：由连续性方程：S1v1=S2v2例例求求解解a a、b b、c c、d d 各处压强及流速。各处压强及流速。h h1 1h h2 2a ab bc cd d 如图所示为一虹吸装置，如图所示为一虹吸装置，h1 和和h2 及流体密度及流体密
11、度 已知，已知，由题意可知，由题意可知，v va a =0,=0,p pa a =p pd d=p p0 0选选d d 点所在平面为参考平面，对点所在平面为参考平面，对a a 、d d 两点应用伯努力方程，有两点应用伯努力方程，有21221)(dvhhg解得解得122hhgvd因因b b、c c、d d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以各点处于截面积相同的同一流管中，所以122hhgvvvdcb由连续性原理，有：由连续性原理，有：对于对于a a、b b 两点，有两点，有对于对于a a、c c 两点，有两点，有2212021)(ccvghphhgp得：得：20ghppc2012bbpvp)(120hhgppb，马格努斯效应马格努斯效应v机翼的升力机翼的升力伯努利人物简介THANK YOUSUCCESS2022-11-11可编辑
