1、第六章第六章 物体周期性运动物体周期性运动和机械波和机械波 振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。称为电磁振动或电磁振荡。一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。极小值而变化的现象，称为振动。虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振虽
2、然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍阻本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。简谐振动：简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移位置的位移 x（或角位移或角位移）随时间）随时间 t 按余弦（或正弦）按余弦（或正弦）规律变化的振动。规律变化的振动。0cos()xAt 简谐振动的运动学定义简谐振动的运动学定义x 可以是位移、电流
3、、场强、温度可以是位移、电流、场强、温度一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧振子：弹簧弹簧 物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧 质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体 可看作质点可看作质点 简谐振动的判据简谐振动的判据kxOmxkxF 受力受力22dtxdmkx 微分方程微分方程2km 令令 2220d xxdt 其通解为：其通解为：二、简谐振动的运动学方程二、简谐振动的运动学方程0cos()xAt0222 xdtxd 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动
4、的运动学方程00cos()sin()2tt 20 令令 sin()xAt 200cos()cos()maAtat 0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt 三三 谐振动振子的速度和振动加速度谐振动振子的速度和振动加速度toTa vx.avxT/4T/4)2cos(tvvmx)2cos(tA)cos(taamx)cos(2 tA由图可见：由图可见：2av 超超前前2vx 超超前前x t+o Amv ma 090090以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为
5、位移为x0sin()vAt 0cos()xAt212kEmv 2201sin()2kAt212pEkx 2201cos()2kAt谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数动动能能221mvEk)t(sinkA02221 势势能能212pEkx)t(coskA02221 情况同动能情况同动能maxmin,pppEEE0min kE2114t TkktEE dtkAT 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒由起始能量求振幅由起始能量求振幅022EEAkk212EkA xtTEoEtEk(1/2)kA2Ep
6、实际振动系统实际振动系统 系统沿系统沿x轴振动，势能函数为轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开附近将势能函数作级数展开222001()(0)2ppppxxdEd EExExxdxdx 微振动系统一般可以当作谐振动处理微振动系统一般可以当作谐振动处理00pdExdx，有有22201()(0)2pppxd EExExdx()pdExFdx 220pxd Exdx ()kx 6.2 6.2 简谐振动的特征量简谐振动的特征量0cos()xAt一一 振幅
7、振幅 A A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。0sin()dxvAtdt 000vv,xx,t 若已知初始条件若已知初始条件00 cosAx 00sinvA 2200()vAx 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。二二 周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率对弹簧振子对弹簧振子12T 角频率角频率 22T kmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T：物体完成一次全振动所需时间。物体完成
8、一次全振动所需时间。00cos()cos()AtAtT 2T 0 是是 t=0 时刻的位相时刻的位相 初位相初位相三三 位相与相位差和位相与振幅的确定位相与相位差和位相与振幅的确定 位相，位相，决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态0t0cos()xAt0sin()dxvAtdt 22202cos()d xaAtxdt 00cosxA 00sinvA 000tanvx 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相当当 =(2k+1),k=0,1,2.
9、两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相0 当当 2 超前于超前于 1 或或 1 滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 四、简谐振动的四、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t=0Ax t+0t=tA0cos()xAtox旋转矢量旋转矢量 确确定定 和研究振动合成很方便和研究振动合成很方便xv0 00 x0A/202xA 00v 03 例如，已知例如，已知x参考圆参考圆(circle of reference)0AA 0t+ox tt=0 x=A cos(t+)3 则由左图给出则由左图给出用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位
10、关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相例：例：已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线速度与时间的关系曲线如图所如图所示，试求其振动方程。示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(1 cmsv解：设振动方程为解：设振动方程为00sin15.7vA 0cos()xAt00cos0 xA 31.4mAv 0015.71sin31.42vA 0566 或或000,cos0a 则则06 115.7tv 1sin()62mvvAv 711666 或或100,cos()0 x 则则766 13.14s 31.4103.14mvAcm 故振动方程为故
11、振动方程为10cos()6xtcm 一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为合振动是简谐振动，其频率仍为 22121220102cos()AAAA A 112201122sinsintgcoscosAAAA 1110()cos()x tAt2220()cos()xtAt合振动合振动:1xxx0cos()xAt22121220102cos()AAAA A 112201122sinsintgcoscosAAAA 1110()cos()x tAt2220()cos()xtAt用旋转矢量法讨论用旋转矢量法讨论2200()vAx 0cos()xAt1AA1
12、0 20 0 2Ax2x1x x如如 A1=A2,则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 讨论讨论若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相:22121220102cos()AAAA A 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中21()2cos()2A tAt 随随t 缓变缓变21cos()cos()2tt 随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的准简谐振动合振动可看作振幅缓变的准简谐振动二二、两个同方向不同频率简谐振动的合成、两个同方向不同频率简谐振动的合成
13、拍拍分振动分振动11cos()xAt22cos()xAt合振动合振动11222cos()cos(2)2Atxt 12xxx当当 2 1时时,()cos()xA tt 则则：1212 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数xt tx2t tx1t t21拍拍212 拍拍拍拍11222cos()cos(2)2Atxt *1 1、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振动的质点合振动的轨迹方程：轨迹方程：222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA分振动分振动110c
14、os()xAt220cos()yAt三三 相互垂直简谐振动的合成相互垂直简谐振动的合成(1)20100212()0 xyAA21AyxA 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论yx222212cos()SxyAAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA(2)2010212()0 xyAA21AyxA 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜率率质点离开平衡位置的位移质
15、点离开平衡位置的位移yx222212cos()SxyAAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA(3)20102 12212AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆110cos()xAt质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。yx110cos()2yAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAAyx(4)20102 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆110cos()xAt质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向
16、是逆时针的。110cos()2yAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA =5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。*2、垂直方向不同频率垂直方向不同频率 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t 缓慢变化，合运动轨缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。迹将按上页图依次缓慢变化。yxA1A2o o-A2-A1)()(xyxyt 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小为整数比为整数比xymn 合成轨迹为稳定的闭合曲线合成轨迹为稳定的闭
17、合曲线 李萨如图李萨如图xxyyxy达达到到最最大大的的次次数数达达到到最最大大的的次次数数例如右图：例如右图：32xy x y2 13 13 2 x=0：y=08 y 4 y 83 y 2 y y x0波动是一切微观粒子的属性，波动是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为与微观粒子对应的波称为物质波物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的有类似的波动方程。波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械振动在介质中的传播称为机械波机械波。声波、水波声波、水波电磁振动在真空或介质中的传播称为电磁振动在真空或介质中的传播称为电磁波电磁波。一
18、、机械波形成一、机械波形成 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。，则称为弹性波。弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。性力。1、有作机械振动的物体，即、有作机械振动的物体，即波源波源2、有连续的、有连续的介质介质二、机械波传播过程的特征二、机械波传播过程的特征横波横波 振动方向与传播方向垂直，如电磁波振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向
19、相同，如声波。0 t4/Tt 2/Tt 43/Tt Tt 45/Tt 横波在介质中传播时，介质中产生横波在介质中传播时，介质中产生切变切变，只能在，只能在固体固体中传播。中传播。纵波在介质中传播时，介质中产生纵波在介质中传播时，介质中产生容变容变，能在，能在固固体体、液体液体、气体气体中传播。中传播。结论结论：机械波向外传播的是：机械波向外传播的是 波源（及各质点）的振动状态和能量。波源（及各质点）的振动状态和能量。三、机械波的几何描述三、机械波的几何描述波场波场 -波传播到的空间。波传播到的空间。波面波面 -波场中同一时刻振动位相相同的点的面。波场中同一时刻振动位相相同的点的面。波前（波阵面
20、）波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。传到的波面。波线（波射线）波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。波线波线波面波面波面波面波线波线平面波平面波球面波球面波波面波面波线波线波线波线波波面面简谐波简谐波波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。*物体的弹性形变物体
21、的弹性形变弹性形变：弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。积能完全恢复原状的形变。(1)(1)长变长变FFSll FFSll ll称称为为正正应应变变FS称称为为正正应应力力在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比llESF 称称为为杨杨氏氏弹弹性性模模量量E(2)切变切变FFSbd S 相对面发生相对滑移相对面发生相对滑移arctandb 切切应应变变FS切切应应力力在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力
22、与应变成正比 GSF 称称为为切切变变弹弹性性模模量量G(3)体变体变VV体体应应变变VVBp pp ppp ppp ppp p在弹性限度范围内，在弹性限度范围内，压强的改变与体应变的压强的改变与体应变的大小成正比大小成正比B称称为为体体变变模模量量振动状态（即位相）在单位时间内传播振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速的距离称为波速 ，也称之，也称之相速相速。1、波速、波速 u Gu 固体固体中中纵波纵波波速为波速为 Eu/G、E为介质的切变弹性模量和杨氏弹性模量，为介质的切变弹性模量和杨氏弹性模量，为介质的密度为介质的密度固体固体中中横波横波波速为波速为在同一种固体介质中在同一种
23、固体介质中，横波横波波速比波速比纵波纵波波速小些。波速小些。四、机械波的特征量四、机械波的特征量波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。Tu T为弦中张力，为弦中张力，为弦的线密度为弦的线密度在在弦中弦中传播的传播的横波横波波速为波速为:在在液体液体和和气体气体只能传播只能传播纵波纵波，其波速为：，其波速为：Bu/B为介质的体变模量，为介质的体变模量，为密度为密度理想气体理想气体纵波纵波声速声速:molMRTpu 为气体的摩尔热容比，为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩
24、尔质量，为气体的摩尔质量，T为热力学温度，为热力学温度，R为气体的普适常数，为气体的普适常数，为气体的密度为气体的密度3、波长、波长 2、波的周期、波的周期和频率和频率21T uT u 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需所需 的时间，用的时间，用T 表示。表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目的数目，用，用 表示。表示。同一波线上相邻的位相差为同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离的两质点的距离。介质决定介质决定波源决定波源决定一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程平
25、面简谐波：波面是平面。平面简谐波：波面是平面。(可当作一维简谐波研究）可当作一维简谐波研究）一平面简谐波在理想介质中沿一平面简谐波在理想介质中沿 x 轴正向传播，轴正向传播，x 轴即为某一波线轴即为某一波线设原点振动表达式：设原点振动表达式：0cosyAt xypuOxy 表示该处质点偏离平衡位置的表示该处质点偏离平衡位置的位移位移设设 p 为为 x 轴上的任一轴上的任一点，其点，其坐标为坐标为 xp 点的振动方程？点的振动方程？p点的振动方程：点的振动方程：cos()xyAtu t 时刻时刻 p 处质点的振动状态重复处质点的振动状态重复uxt 时刻时刻O处质点的振动状态处质点的振动状态xyp
26、uOxO点振动状态传到点振动状态传到 p 点需时间点需时间 uxt 上式即上式即沿沿 x 轴正向轴正向传播的平面简谐波的传播的平面简谐波的波动方程波动方程ux 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为为p点的振动落后原点振动的时间点的振动落后原点振动的时间沿沿x轴负向轴负向传播的传播的平面简谐波的平面简谐波的波动方程波动方程cos()xyAtu 00cos()yAt若波源（原点）振动初位相不为零若波源（原点）振动初位相不为零0cos2()txyAT 02cos2xyAt 02cos()yAutx 0cos()Ak utx 0cos()xyA
27、tu或或2k 波矢波矢，表示在，表示在2 长度内所具有的完整波的数目长度内所具有的完整波的数目二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义0cos()xyAtu1、如果给定、如果给定 x，如如 x=x0 x0 处质点的振动初相为处质点的振动初相为002x 02x 为为 x0 处质点落后于原点的位相处质点落后于原点的位相 即即 x0 处质点的振动方程处质点的振动方程则：则：y=y(t)00()cos(2)xy tAt 若若 x0=则则 x0 处质点落后于原点的位相为处质点落后于原点的位相为 2 是波在空间上的周期性的标志是波在空间上的周期性的标志2、如果给定、如果给定 t，如如 t=t0，则：，
28、则：y=y(x)221212xxx 00cos()xyAtu表示给定时刻波线上各质点表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，在同一时刻的位移分布，即即给定了给定了t0 时刻的波形时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差同一波线上任意两点的振动位相差xyOux1x2 2121()2tttT同一质点同一质点在相邻在相邻两时刻两时刻的振动位相差的振动位相差T 是波在时间上的周是波在时间上的周期性的标志期性的标志3、如如 x,t 均变化，均变化，y=y(x,t)包含了不同时刻的波形包含了不同时刻的波形0()cos()xy xAtuxyuOxtt tx 0(,)cos()xu ty xx ttAt
29、tu t 时刻的波形方程时刻的波形方程t+t 时刻的波形方程时刻的波形方程0()cos()xy xAttut 时刻，时刻，x 处的某个振动状态经过处的某个振动状态经过 t，传播了，传播了 x 的距离的距离0cos()xAtu(,)(,)y xx tty x t 在时间在时间 t内整个波形沿波的传内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离播方向平移了一段距离 x行波行波(,)(,)y xx tty x t xyuOxtt tx 2202cos()yxAtut 22022cos()yxAtuxu 222221yyxut*三、平面波的波动微分方程三、平面波的波动微分方程这个微分方程叫平面波（不限于平面简
30、谐波）波动方程这个微分方程叫平面波（不限于平面简谐波）波动方程0cos()xyAtu求求 t 的二阶偏导数的二阶偏导数求求 x 的二阶偏导数的二阶偏导数它反映了一切平面波的共同特征它反映了一切平面波的共同特征一一、波的能量和能量密度、波的能量和能量密度 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。的传播。有一平面简谐波有一平面简谐波0cos()xyAtu质量为质量为在在 x 处取一体积元处取一体积元dVdVdm 该质元的振动速度该质元的振动速度 0sin()yxvAttu 该质元的该质元的动能动能为为212kdEv dm 22201sin
31、()2xAtdVu该质元的该质元的弹性弹性势能势能为为22201sin()2pxdEAtdVu该质元的该质元的总能量总能量为：为：kpdEdEdE 2220sin()xAtdVu1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零说明：说明：2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。能量密度能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。单位体积介质中所具有的波的能量。2220sin()dExwAtdVu平均能量密度平均能量密
32、度 一个周期内能量密度的平均值。一个周期内能量密度的平均值。2212wA 22200011sin()TTxwwdtAtdtTTu2220sin()xdEAtdVu能流：能流：单位时间内通过单位时间内通过 介质中某一截面的能量。介质中某一截面的能量。二、二、波的波的能流和能流密度能流和能流密度Swup 平均能流：平均能流：在一个周期内能流的平均值。在一个周期内能流的平均值。SuwSwup 能流密度（波强）：能流密度（波强）：通过垂直于波动传播方向的通过垂直于波动传播方向的 单位面积的平均能流单位面积的平均能流。uwSpI uAI2221 2 单单位位：瓦 米uuS 三、三、波的吸收波的吸收 波在
33、实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为波通过厚度为dx 的介质，其振幅衰减量为的介质，其振幅衰减量为-dAAdxdA xeAA 0处的波振幅处的波振幅和和分别是分别是、xxxAA 00是是介介质质的的吸吸收收系系数数 波强的衰减规律：波强的衰减规律：xeII 20 处波的强度处波的强度和和分别是分别是、xxxII 00实验给出：实验给出：一一、惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理：惠更斯原理：介质中波阵面（波前）介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作上的
34、各点，都可以看作为发射子波的波源，其为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。迹便是新的波阵面。平面波平面波t+t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t时刻波面时刻波面球面波球面波 tt+tt时刻波面时刻波面 t+t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向如你家在大山后如你家在大山后,听广播和看电听广播和看电视哪个更容易视哪个更容易?(?(若广播台、电若广播台、电视台都在山前侧视台都在山前侧)二、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律二、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律 波的折射和折射定律波的折射和折射定律 用作图法求出折射波的传播方向用作图法求出折射波
35、的传播方向122121sinsinnnuuii i1-入射角入射角,i2-折射角折射角CAi1i2n1t1t2BEn2 需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的传播方向需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的传播方向发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于是纵波可能变成横波或部分纵波部分横波。反之亦然。是纵波可能变成横波或部分纵波部分横波。反之亦然。一一、波的叠加波的叠加 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，（频率、波长、振动方向、传播方向等
36、）不便，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的波传播的独立性原理独立性原理或波的或波的叠加原理：叠加原理：说明：说明：振动的叠加仅发生在单一质点上振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因能分辨不同的声音正是这个原因 两列波若两列波若频率相同频率相同、振动方向相同振动方向相同、在相遇点的、在相遇点的位相相同或位相差恒定位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点，则合成波场
37、中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为消），这种现象称为波的干涉。波的干涉。相干条件相干条件1r2r1S2Sp具有恒定的相位差具有恒定的相位差振动方向相同振动方向相同两波源具有相同的频率两波源具有相同的频率满足相干条件的波源称为相干波源。满足相干条件的波源称为相干波源。二二、波的干涉、波的干涉传播到传播到p点引起的振动分别为：点引起的振动分别为：)tcos(Ay101010 )tcos(Ay202020 在在p点的振动为同点的振动为同方向同频率振动方向同频率振动的合成。的合成。设有两个相干波源设有两个相干波源
38、S1和和S2发出的简谐波在空间发出的简谐波在空间p点相遇。点相遇。合成振动为：合成振动为：120cos()yyyAt1r2r1S2Sp111012cos()yAtr 222022cos()yAtr cos22122212AAAAA其中：其中：)rr()(1210202 由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：cos22121IIIII )tcos(Ay0 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉现象。)rsin(A)rcos(A)rsin(A
39、)rsin(Atan 220211012202110102222 其中：其中：,.,kkrr3210 22121020 ）（21maxAAAA 2121max2IIIIII ,.,k)k()rr()(3210122121020|21minAAAA 2121min2IIIIII 相长干涉的条件：相长干涉的条件：相消干涉的条件：相消干涉的条件：cos22122212AAAAA cos22121IIIII 当当两相干波源为同相波源两相干波源为同相波源时，相干条件写为时，相干条件写为,.3,2,1,0,12 kkrr ,.3,2,1,0,2)12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉 称为
40、波程差称为波程差波的非相干叠加波的非相干叠加21III 1、驻波方程、驻波方程12cos()xyAt 22cos()xyAt tcosxcosAyyy 2221 ()cosyA xt xAxA2cos2)(驻波是两列驻波是两列振幅、频率相同振幅、频率相同，但，但传播方向相反传播方向相反的简谐波的叠加。的简谐波的叠加。三、驻波三、驻波(,)(,)y tt xu ty t x 函数不满足函数不满足它不是行波它不是行波 它表示各点都在作它表示各点都在作简谐振动简谐振动，各点振动的频率，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。而不同
41、。驻波的驻波的特点特点：不是振动的传播，而是媒质中各质：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。点都作稳定的振动。2cos2cos()cosxyAtA xt()cosyA xt 12cos x()2cos2xA xA 振振幅幅最最大大，波波腹腹AxA2)(kx 2,kkx2102 02cos x振振幅幅最最小小，波波节节0)(xA )k(x212 ,k)k(x210221 1 1、波腹与波节、波腹与波节 驻波振幅分布特点驻波振幅分布特点2、驻波的特点、驻波的特点相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：221 k|kx相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：2 x相邻波腹与波节间的距离为
42、：相邻波腹与波节间的距离为：4 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,kkx2102 波腹波腹,k)k(x210221 波节波节txAy cos2cos2 2、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。而空间变化带来的相位是不同的。在在波节两侧点的振动相位相反波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。同时达到反向最小。速度方向相反。两个两个波节之间的点其振动相位相同波节之间的点其振动相位相同
43、。同时达到最大或。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。同时达到最小。速度方向相同。*3、驻波能量、驻波能量驻波振动中无位相传播，也无能量的传播驻波振动中无位相传播，也无能量的传播一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。当波当波从波疏媒质垂直入射到从波疏媒质垂直入射到波密媒质波密媒质界面上反射时，界面上反射时，有有半波损失半波损失，形成的驻波在界，形成的驻波在界面处是面处是波节波节。三、半波损失三、半波损失入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。折射率较大的媒质称为折射率较大的媒质称为波密媒质波密媒质；折射率较小的媒质称为折射率较小的媒质称为波疏媒质波疏媒质.有半波损失有半波损失无半波损失无半波损失当波当波从波密媒质垂直入射到波从波密媒质垂直入射到波疏媒质疏媒质界面上反射时，界面上反射时，无半波无半波损失损失，界面处出现，界面处出现波腹波腹。
