1、浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用 我们在信息学竞赛中经常会遇到一些涉及一个最大化问题和一个最小化问题的定理 怎样利用这些定理帮助我们解题呢？Knig定理定理最大流最大流最小割定理最小割定理 主要内容n在任何一个二部图G中，最大匹配数r(G)等于最小覆盖数c(G)证明n最大匹配数不超过最小覆盖数n任取一个最小覆盖Q，一定可以构造出一个与之大小相等的匹配Mr(G)c(G)r(G)=c(G)c(G)|Q|=|M|r (G)c(G)r(G)应用n二部图最小覆盖和最大匹配的互相转化n例一 Muddy Fields近年来，网络流尤其是最大流问题越来越多的出现在各类信
2、息学竞赛当中最大流最小割定理是整个最大流问题的基础与核心，其主要内容是：1.最大流的流量不超过最小割的容量2.存在一个流x和一个割c，且x的流量等于c的容量 一个牧场由R*C个格子组成 牧场内有N条干草运输通道，每条连接两个水平或垂直相邻的方格，最大运输量为Li(1,1)内有很多干草，Farmer John希望将最多的干草运送到(R,C)内 求最大运输量 一个R=C=3的例子，最大运输量为7 数据规模：R,C 200(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)5,53,25,52,21,16,64,17,6(3,1)直接求最大流n以每个方格为点，每条通道为边
3、，边的容量就是它的最大运输量 n从(1,1)到(R,C)的最大运输量就是将这两个方格对应的点分别作为流网络中的源和汇求出的最大流量 效率？n点数最大40000，边数最大80000！Time Limit Exceeded!效率低下的原因n没有利用题目的特点，直接套用经典算法 特点n题目中给出的是一个平面图n图中的一个点为源点s，另外一个点为汇点t，且s和t都在图中的无界面的边界上452316f1f2f3f4 效率低下的原因n没有利用题目的特点，直接套用经典算法 特点n题目中给出的是一个平面图n图中的一个点为源点s，另外一个点为汇点t，且s和t都在图中的无界面的边界上n我们称这样的平面图为s-t平
4、面图平面图平面图性质1.（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+22.每个平面图G都有一个与其对偶的平面图G*n G*中的每个点对应G中的一个面4523161*2*3*4*平面图性质1.（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+22.每个平面图G都有一个与其对偶的平面图G*n G*中的每个点对应G中的一个面n 对于G中的每条边en e属于两个面f1、f2，加入边(f1*，f2*)4523161*2*3*4*平面图性质1.（欧拉公式）如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+22.每个平面图G都有一个与其对偶的
5、平面图G*n G*中的每个点对应G中的一个面n 对于G中的每条边en e属于两个面f1、f2，加入边(f1*，f2*)n e只属于一个面f，加入回边(f*，f*)4523161*2*3*4*平面图G与其对偶图G*之间存在怎样的关系呢？nG的面数等于G*的点数，G*的点数等于G的面数，G与G*边数相同nG*中的环对应G中的割一一对应4523161*2*3*4*如何利用这些性质？n直接求解仍然困难n利用最大流最小割定理转化模型转化模型根据平面图与其对偶图的关系，想办法求出最小割 对于一个s-t平面图，我们对其进行如下改造：n连接s和t，得到一个附加面附加面 对于一个s-t平面图，我们对其进行如下改
6、造：n求该图的对偶图G*，令附加面对应的点为s*，无界面对应的点为t*对于一个s-t平面图，我们对其进行如下改造：n删去s*和t*之间的边123456781*3*2*4*5*7*6*8*sts*t*一条从s*到t*的路径，就对应了一个s-t割！更进一步，如果我们令每条边的长度等于它的容量，那么最小割的容量就等于最短路的长度！分析一下时间复杂度n新图中的点数和边数都是O(n)的n使用二叉堆优化的Dijkstra算法求最短路，时间复杂度为O(nlog2n)123456781*3*2*4*5*7*6*8*sts*t*我们可以利用最短路算法得到的距离标号构造一个最大流 定理2.1 n可以在O(nlog
7、2n)的时间内求出s-t平面图上的最大流。回顾得到简单的最大流模型利用最大流最小割定理进行模型转化根据平面图的性质解决最小割问题构造得到最大流 对比以上两个定理 定义3.1n最大最大最小定理最小定理是一类描述同一个对象上的一个最大化问题的解和一个最小化问题的解之间的关系的定理。共同点n考察的两个最优化问题互为对偶问题n证明的过程n最大化问题M的任何一个解m的值都不超过最小化问题N的任何一个解n的值n可以找到M的一个解p和N的一个解q，且它们的值相等np和q分别为各自问题的一个最优解 简洁的最优性证明Knig定理定理最大流最大流最小割定理最小割定理最大最大最小定理最小定理最大匹配最大匹配最小覆盖
8、最小覆盖最大流最大流最小割最小割模型转化最大最大最小最小完全矛盾完全矛盾互相转化互相转化注意总结、积累注意总结、积累勇于探索勇于探索I.Introduction to Graph Theory,Second Edition by Douglas B.WestII.Network Flows:Theory,Algorithms and Applications by Ravindra K.Ahuja,Thomas L.Magnanti,and James B.OrlinIII.Introductory Combinatorics,Third Edition by Richard A.Bruald
9、iIV.运筹学教程（第三版）胡运权 郭耀煌谢谢大家，欢迎提问！二部图中n最大独立集的大小等于最小边覆盖数n顶点的最大度数等于最小边染色数 3正则图中n点联通度等于边联通度 我们用d(j*)表示新图中s*到j*的最短路的长度n对于每条边(i*,j*)，d(j*)d(i*)+ci*j*G中的每条边(i,j)，设G*与其对应的边为(i*,j*)，定义流量xij=d(j*)-d(i*)n反对称性：xij=-xjin容量限制：xij=d(j*)-d(i*)ci*j*对于G中的任何一个异于s和t的节点k，定义割Q=k，V-k包含所有与k相关的边。那么Q中的所有边对应到G*就形成了一个环，称为W*。显然 k
10、的流入量等于流出量，即x满足流量平衡0*)(*)(*)*,(Wjiidjd 设P*是G*中从s*到t*的一条最短路n对于任意的(i*,j*)P*，都有d(j*)-d(i*)=ci*j*P*中的边构成了原图中的一个s-t割Q。根据上式和ci*j*=uij可得n对于任意的(i,j)Q，都有xij=uij。x的流量等于Q的容量nx是最大流，Q是最小割 只考虑题目中给出的边n需要通过宽搜得到所有的面，且需要处理面与面之间的关系n思维复杂度与编程复杂度均比较高 可以认为原来不存在的边容量为0n不影响答案n面与面之间的关系清晰明了n大大降低思维和编程复杂度 线性规划n定义:在满足一些线性等式或者不等式的条
11、件下，最优化一个线性函数 n标准形式：整数线性规划0.maxxbxAtsxcz 对偶问题0.minycAytsbywT0.maxxbxAtsxcz 基本性质n弱对偶性n如果x是原问题的可行解，y是其对偶问题的可行解，则恒有c*x b*yn最优性n如果x是原问题的可行解，y是其对偶问题的可行解，且有c*x=b*y，则x和y是各自问题的最优解n强最优性（对偶定理）n如果原问题及其对偶问题均有可行解，则两者均有最优解，且最优解的目标函数值相同 二部图最大匹配n每个变量x对应一条边n对于每个顶点v，S(v)表示所有与v关联的边的集合)(1),(1,0),(.maxvSeeeEeexGVvxGEetsx
12、 二部图最小覆盖n每个变量y对应一个点1),(),(1,0),(.min)(vuvGVvvyyGEvuyGVvtsy 弱对偶性：n最大匹配的大小不超过最小覆盖的大小 最优性：n如果一个匹配M和一个覆盖S的大小相等，那么M就是最大匹配，S就是最小覆盖 强对偶性n最大匹配等于最小覆盖miiinjjjybxc11 minjijijiminjjijmiiiminjijijjnjmiiijnjjjyxAyxAybyxAxyAxc1111111111证明因为所以miiinjjjybxc11niiinjjjniiinjjjybxcybxc1111*，证明设设x*是原问题的最优解，是原问题的最优解，y*是其对偶问题的最优解是其对偶问题的最优解niiimiiinjjjnjjjybybxcxc1111*，niiiniiinjjjnjjjybybxcxc1111*因为又知所以
