1、5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 5.3.1 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法 5.3.2 5.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量 5.3.3 5.3.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化5.3.1 5.3.1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法在解析几何中知道，三维向量空间中的向量可定义数量积运算.设 是三维向量空间中互相垂直的单位向量,若 kji,321321kbjbi bkajaia则与的数量积 332211bababa向量的许多性质如长度、夹角、垂直关系都可由此来表示
2、.受此启发，可以在n维向量空间中引入类似运算，并由此描述向量之间的所谓“正交”关系.在本节中只限于在n维实向量空间上讨论.定义5.3.1 5.3.1 设 向量，令Tnaaa),(21Tnbbb),(21是实n维向量空间 中任二nnbababa2211,称实数为向量与的内积.向量的内积具有以下性质：1.对称性=nR3.恒正性，0当0时.,kk2.线性性 ,，;定义5.3.2 若=0，称向量与正交.易见向量的正交是三维空间中向量互相垂直关系的自然推广.由定义，零向量与任何向量正交.定义5.3.3 5.3.3 设设是n维向量，称 ,为的长，记为|.若|=1，称为单位向量.易见|=0当且仅当为零向量.
3、对任何0，有|0，且有 kkkkk,2任给非零向量,1的长 11，即 是单位向量.称为的单位化公式.定义5.3.4 5.3.4 设1,2,s 是一组非零向量.若其中任两个向量都是正交的，则称其为正交向量组.仅由一个非零向量组成的向量组也称为正交向量组.若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称其为标准正交组.例5.3.1 5.3.1 设 )1,1,2,1(1，)1,0,1,1(2)2,3,1,1(3321,，则 ，1是R4中正交向量组，但不是标准正交组.因为 01021,2102321,3102011,32321,是正交组.又 故 7114113101121549113,从而1,2,3都不是单位
4、向量.把它们单位化，令 71,71,72,71711131,0,31,313122 152,153,151,15115133则1,2,3是标准正交组.正交向量有下列性质.定理5.3.1 5.3.1 设1,2,m是Rn中的向量组，则(1)若与1,2,m的每一个向量正交，则必与1,2,m的任一线性组合正交.(2)若1,2,m是正交组，它们必线性无关.证 (1)若=0，i=1,2,m,设=k11+k22+kmm是1,2,m任一的线性组合，由内积的线性性，有 ,0,22112211mmmmkkkkkk故与正交.(2)设k11+k22+kmm=0,用1与其两边作内积运算，得 00,11212111mmk
5、kk由于当j1时,=0.于是 k1=0,因此k1=0.用i替代 1重复以上论证，可得ki=0，i=2,m，这就证明了1,2,m线性无关.证毕.定理5.3.1表明，在Rn中正交向量组至多含有n个向量，这是因为在Rn中至多有n个线性无关的向量.下面讨论，任给Rn中线性无关向量组 1,2,m(mn)，如何找到Rn中的标准正交组1,2,m，使每个 i都是1,2,i,(i=1,2,m)的线性组合.这就是所谓的施密特(Schmidt)正交化方法.它的意义为，把任一组线性无关向量转化为标准正交向量组，而它们之间是等价的.定理5.3.2 (施密特正交化定理)设 1,2,m(mn)是Rn中线性无关向量组，则必存
6、在标准正交组1,2,m，使j可由1,2,j,(i=1,2,m)的线性表出。由于1,2线性无关，故2 0，且=0,2是1，2的线性组合,从而是1,2的线性组合.这样1,2是正交向量组，且可由 1,2线性表出.证 首先，令1=1，显然1 可由1 线性表出。令 1111222,一般地，若1，2，i已作成正交向量组且可由1,2,i,(i=1,2,m)线性表出，令 1111111111111,iiiiiiiiiiiii(5.3.1)则=0，j=1,2,i.这样 1，2，i，i+1成为正交向量组，且 i+1可由1，2，i，i+1线性表出.由于j，(j=1,2,i)皆可由1,2,i线性表出，故j+1可由1,
7、2,i,i+1 线性表示出.继续上述过程直到i+1=m时，时，1，2，m就成为正交向量组.此时，只要再令 jjj1 (5.3.2)则1,2,m 成为标准正交组，且i可由 1,2,i,(i=1,2,m)线性表出.证毕.定理5.3.2的证明过程实际上就是标准正交化的具体实施过程.式(5.3.1)，(5.3.2)就是具体实行的计算公式.(5.3.1)式实行正交化，(5.3.2)式实行单位化.例5.3.2 设 )0,0,1,1(1)0,1,0,1(2 是R4中的向量组，用施密)1,0,0,1(3特正交化方法把它们化为标准正交组.解:易验证 1,2,3线性无关，从而可通过施密特正交化方法把其化为标准正交
8、组.对于正交化：令 T)0,0,1,1(11T)0,121,21(,1111222T)1,31,31,31(,111132222333T)0,0,21,21(1T)0,62,61,61(2再单位化，得T)123,121,121,121(3则 ，是1,2,3的标准正交组.3215.3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量在第二章的2.2.3中已经知道了对称矩阵的概念.如果对称矩阵中的元素全为实数，则称为n阶实对称矩阵.单位矩阵、实对角形矩阵均为实对称矩阵的特殊情形.实对称矩阵的特征值与特征向量具有特别的性质.定理5.3.3 实对称矩阵的特征值全为实数.证 设实对称矩阵 ，它的共轭矩阵为 ，其中 表示
9、 的共轭复数。设0是A的特征值，为0的特征向量，要证0=。nnijaA nnijaAijaijaT12(,)n 0对A=0两边取共轭复数得,。0A由于A是实对称的，故有AAAAT,从而TTTTTAAAATTTA00TTTTA000又又故得TT00由于nnTaaaaaa2121,nnaaaaaa221122221naaa0由此由于0是实数，且它的特征向量是(E-A)X=0的非零解，因此实对称矩阵的特征向量必然是实向量.注意注意 若A是一般的实矩阵而非对称的，则其特征值与特征向量完全可能是复数.00=0=0，固0是实数。证毕。定理5.3.4 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量必正交.
10、证 设,是A的两个不同特征值,是分别属于,的特征向量，则有 AA,对第一个等式两边转置并右乘,得 TTTA由于A=AT.又A=，代入上式两端，并，代入上式两端，并移项得移项得 0)(T由于，故 T=0，即 与正交.证毕.定理5.3.4指出，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量不仅是线性无关的，而且是互相正交的.这为寻找实对称矩阵的正交特征向量组提供了可能.5.3.3 实对称矩阵的相似对角化现在来讨论，实对称矩阵是否可相似于一个对角形矩阵。与此等价的问题是，n阶实对称矩阵是否有n个线性无关的特征向量?答案是肯定的。n阶实对称矩阵不仅有n个线性无关的特征向量，而且它还可以有n个相互正交的单位向量作
11、为特征向量.下面来讨论这个问题。定理5.3.5 设A是n阶实对称矩阵，则必有n阶正交矩阵Q使nTAQQAQQ211其中Q的列是A的n个相互正交的单位特征向量，1,2,n是A的全部实特征值.证 对A的阶数n，用数学归纳法来证明本定理.n=1时，A本身就是对角阵，取正交矩阵Q为一阶单位阵E，即有 AAQQAQQT1为对角阵.定理显然成立.设对n-1阶的实对称方阵定理成立，现考虑n阶实对称方阵A，由定理5.3.3，A的特征值全为实数，故至少有一个实特征值1，设1是A的属于1的特征向量，则10，且A 1=1.由于在Rn中，n个线性无关的向量可作成Rn的基，并且Rn中任一个线性无关向量组都可扩充为它的基
12、.现将1扩充为Rn的基1,2,n.由施密特正交化定理，由1,2,n可得标准正交组1,2,n.注意1仍是A的属于1的特征向量，而1,2,n仍是Rn的基，有.,3,2,2211111nibbbAAnniiii令S=(1,2,n)，则S是正交矩阵，且 nnnnnnnbbbbbbAAS22221121212100,于是BbbbbbbbbbbbbSSASSnnnnnnnnnnTT22221121222211210000由于A是对称阵，故 BASSSASASSBTTTTTT从而B也是对称阵，有b12=b1n=0，且 nnnnbbbbB22221是n-1阶实对称阵.由归纳假定，存在n-1阶正交矩阵S1使 n
13、TSBSSBS321111111作 12001SS则S2是n阶正交阵，且nTBSSBSS2122212这样，有)()(22222112SSASSASSSSASSSSTTTnSSASS21212)()(TTTTQSSSSSSSSQ)()(22112121令Q=SS2，则 ，故Q为n阶正交矩阵，而Q-1AQ=QTAQ为对角形.显然Q的列向量是A的特征向量，而1,2,n为A的全部特征值.证毕.定理5.3.5告诉我们，对任何实对称方阵A，必存在正交矩阵Q，使 QTAQ=Q-1AQ为对角形.同时，由此定理还可看出，若A的特征值是k重的，则它有k个线性无关特征向量。因此，在具体把实对称阵A相似对角化时，关
14、键是找出n个相互正交的特征向量来.例5.3.3 设4阶实对称方阵0111101111011110A用正交矩阵把A相似对角化.解 1111100101011101111111111112 AE11010111113 313得A的特征值1=1,2=-3；其中1是三重根.先求属于1=1再求属于=1代入 00001111111111114321xxxx(5.3.3)求得基础解系TTT1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1321对之进行正交化，得T0,0,1,111T0,1,21,21,1111222,1,31,31,31,111132222333T再单位化得,0,62,61,61,0,0,21,2121TTT123,121,121,1213再求属于2=-3的特征向量，把=-3代入(5.3.3)式，求得基础解系 T1,1,1,14将其单位化得T21,21,21,214以1,2,3,4为列向量组成正交矩阵 211230021121620211216121211216121Q31111AQQAQQT则
