1、2022-11-111第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分 一一.有理函数的积分有理函数的积分二二.可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2022-11-112教学目标教学目标 掌握有理函数的积分及可化为有理函数的积分掌握有理函数的积分及可化为有理函数的积分.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2022-11-113机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一一.有理函数的积分有理函数的积分我们把由两个多项式的商所表示的函数我们把由两个多项式的商所表示的函数,称为称为有理函数有理函数.
2、(1,2,)(1,2,)ija inbjm与与为为常常数数其中其中m,n是非负整数是非负整数,0,0.且nmab(),()nmPx Qx 互质互质.110110()()()nnnnnmmmmmPxa xaxaf xQxb xbxb其一般形式为其一般形式为2022-11-114机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当n m时时,f(x)为真分式为真分式;当当n m时时,(x)为假分式为假分式,利用多项式的除法利用多项式的除法,假分式总假分式总322211xxx 例例如如 多项式的积分问题已解决多项式的积分问题已解决,因此有理函数积分的关键因此有理函数积分的关键,就在就在2
3、121xxx 于如何计算一个真分式的不定积分于如何计算一个真分式的不定积分.可化为一个多项式与一个真分式之和可化为一个多项式与一个真分式之和.2022-11-115机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为了计算真分式的不定积为了计算真分式的不定积分分,我们不加证明地给出有关真分我们不加证明地给出有关真分一次因式和二次质因式的乘积一次因式和二次质因式的乘积,即即 由代数学知由代数学知,多项式多项式()mQx在实数范围内总能分解成一在实数范围内总能分解成一(1)式式()()()nmPxf xQx 的如下性质：的如下性质：22()()()()()mmQxbxaxbxpxqxrx
4、s ,;,其中为常数为正整数mbab p qr t 2222;40,40.ksm pqrs 且(5.4.1)2022-11-116机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 121 ()()kkkAAAxaxaxa 解后有下列解后有下列k个部分分式之和，即个部分分式之和，即(2)若分母若分母()mQx(),kxa 中含有因式中含有因式()f x则真分式则真分式分分(1 2.)iA ik ，其中其中为常数为常数.2022-11-1172022-11-117机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11222212 ()()kkkkM xNM xNM xNxpxq
5、xpxqxpxq (3)()mQx2(),kxpx q 若分母若分母中含有因式中含有因式()f x分式分式分解后有下列分解后有下列k个部分分式之和个部分分式之和,即即240pq且且则真则真,(1,2,)jjMNjk 其中其中为常数为常数.2022-11-1182022-11-1182022-11-118机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (4)()mQx()f x若分母若分母有形如有形如(5.4.1)式的形式式的形式,则真分式则真分式可可以唯一地分解为如下部分分式之和以唯一地分解为如下部分分式之和()()()nmP xf xQx 11222212()()M xNM xN
6、M xNxpx qxpx qxpx q 11222212()()E xFE xFE xFxrxsxrxsxrxs 121.()()AAAxaxaxa 121()()BBBxbxbxb (5.4.2)2022-11-1192022-11-1192022-11-1192022-11-119机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 111111,AABBMMNNEEFF其中其中等都是常数等都是常数.这些常数可采用比较等式两端这些常数可采用比较等式两端x同次幂系数的同次幂系数的方法或者取特殊值来确定方法或者取特殊值来确定.2022-11-1110机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
7、 返回返回 结束结束 例例1221(1)(1)xdxxx求求 解解221(1)(1)(1)(1)xA xB xxC x设设2221,11(1)(1)(1)xABCA B Cxxxxx为常为常数，去分母后比较数，去分母后比较分子得分子得11,2xA=令得；210,01(01)(01)(01)(1)(01),2xB=+=+-+-令得12B=则；1,1xC=-=-令得；2022-11-1111机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 或比较两边系数求出或比较两边系数求出2221111 2(1)2(1)(1)(1)(1)xdxdxxxxxx111ln1ln1221xxCx211ln1
8、21xCx,.A B C则则2022-11-1112机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 222(1)(1)dxxx求求 解解22211221(1)()(1)(1)()(1)A xB xCxxB xCx11,4xA=-=令得；1212130,1,44xCCCC=+=令得或；设设1122222221,1(1)(1)1(1)B xCB xCAxxxxx为常数，去分母后比较为常数，去分母后比较分子得分子得1122,A B C B C112211,14()4()2,4xBCBC=+令得11222()0BCBC+=或；222222,(1),1()(1)(),xi iB iC
9、iBBC iC=-=+=-+令得222210BCBC即，；解得11221111,4422BCBC 则则22(1)(1)dxxx2221114(1)4(1)2(1)xxdxxxx2222221111111ln14442211(1)(1)xxxdxdxdxdxxxxx282222(1)1111lnarctan4214(1)(1)xxdxxxx2022-11-1113机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2022-11-1114机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tlx22xl22222211sec tcos(1)(1tan)dxdttdtxt1(1co
10、s2)2t dt如图如图11sin224ttCtan(),22xtt中，设中，设在在221(1)dxx 2 sec,dxtdt 则则2arctan22(1)xxCx于是于是282222(1)11 lnarctan2(1)(1)14(1)dxxxxCxxxx从而从而2022-11-1115机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二二、可化为有理函数的积分、可化为有理函数的积分1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分在在sinx,cosx和常数经过有限次四则运算构成的函数称为和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角三角有理函数有理函数,记为记为由三角函数知识由三角函数知识
11、,sinx和和cosx都可以用都可以用 tan2x的有理式来表示的有理式来表示即即222tan2tan22sin2sincos22sec1tan22xxxxxxx)cos,(sinxxR2022-11-1116机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2222221tan1tan22coscossin22sec1tan22xxxxxxx 如果令如果令tan,2xu 则则2arctan,xu 那么那么22sin,1uxu 221cos,1uxu 221dudxu 则则2222212(sin,cos)(,)111uuRxx dxRduuuu 这个变换公式称为这个变换公式称为万能置
12、换公式万能置换公式.2022-11-1117机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3求求1 sin+cosdxxx 解解由万能置换公式由万能置换公式,令令tan,2xu 则则222212211111duuuuuu 1sincosdxxx 11duu ln 1ln 1tan2xuCC 2022-11-1118机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注2 三角函数有理式可用万能代换三角函数有理式可用万能代换,但很多三角函数有理式但很多三角函数有理式化为有理函数都较复杂化为有理函数都较复杂,故在对三角函数有理式积分时故在对三角函数有理式积分时,应先
13、应先考虑其他方法考虑其他方法,最后再考虑万能置换最后再考虑万能置换.2022-11-1119机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分求简单无理函数的积分求简单无理函数的积分,其主要方法是利用适当变换其主要方法是利用适当变换(第二换第二换元积分元积分)将其有理化将其有理化,转变为有理函数的积分转变为有理函数的积分.2022-11-1120机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 4求求41dxxx 解解2321441uu duduuuu14(1)1uduu 21141uduu 2244ln1uuuC 于是于是则
14、则令令4,ux 43,4,xu dxu du 41dxxx 44244ln(1)xxxC 2022-11-1121机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5 5求求111xdxx x 解解2224d(1)(1)uuuu 2222141(1)uuuduuu 2211()111duuuu 于是于是则则222 214,dd,1(1)uuxxuuu 令令1,1xux 111xdxx x 2arctanln 1ln 1uuuC1112arctanln111xxxCxxx 作业：作业：P174 习题习题5.422机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结总结可积函数的一些类型及代换方法：总结可积函数的一些类型及代换方法：1.一般有理函数可通过多项式分解化为部分分式之和进行一般有理函数可通过多项式分解化为部分分式之和进行积分积分.2.三角有理函数可通过万能代换化为有理函数三角有理函数可通过万能代换化为有理函数.3.简单无理函数可通过三角代换以及万能代换化为有理简单无理函数可通过三角代换以及万能代换化为有理函数的积分函数的积分.24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考练习思考练习1.求求 .1sin3cosxdxx
