1、3.1 3.1 功功的夹角与为rdF按矢量点积（标积）定义：按矢量点积（标积）定义：Frdab第三章 能量守恒在直角坐标系中：元功可表示为例例1 1 质量为10kg的物体，受到力 作用，在 t=0时物体静止在原点，求从 t=0 到 t=10s 内作用力所作的功。)(25Njti tF解 j ti tmFa5121jtittavvt220010141dtvFttrFrFAdddddd)J(108029d2029d41001003tttvFA例例2 2 一球形容器落入水中，刚接触水面时，其速度为 。设此容器质量为m,在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为 f=-kv,求（1）阻力所做的功；（2）下
2、落距离与时间的函数关系。0v0vOP浮Ff解 (1)以水面为原点向下建立y轴,vmvytvmyfAdddddd020021dvmvvmvA(2)由牛顿第二定律,tvmkvddmktvv/0emkttmkttkmvtvtvy/00/00e1ded积分可得3.2 3.2 动能和动能定理动能和动能定理 质点动能质点动能合力对质点做的功为因为则有aavbbvvFrd 即可得221122bakbkaAmvmvEE 由 n 个质点组成的质点系统，受力分内力和外力。，由质点的动能定理得个质点，合力做功为取第iAi个质点求和，得对系统内所有的n0kkEEAA内外则所有外力做功之和所有内力做功之和所有质点终态的
3、总动能所有质点初态的总动能 所有外力对系统做的功和内力对质点系所做所有外力对系统做的功和内力对质点系所做的功之和等于系统总动能的增量。的功之和等于系统总动能的增量。质点系质点系kE说明：说明：例例3 3 一质量为 m 的小球系在长为 l 的细绳下端，绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅直线成 角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与铅直线成角时，小球的速率。00lPTrd解 绳中拉力与其位移方向垂直,故不做功,只有重力做功 0coscosmgl2021)cos(cosmvmgl由质点动能定理,此功等于其动能的增量,于是有所以速率为)cos(cos20glv222221)(2121iiii
4、iiikrmrmvmE某质元的动能某质元的动能总转动动能总转动动能dcosdcosdiiiiirfrfA力力 fi 的元功：的元功：ddcosddziiiiiiiiMdfrrfAA合外力的元功：合外力的元功：外力矩对刚体作的总功外力矩对刚体作的总功212221212121IIdIddtdIdMAz称为力矩的功difOirird刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理2122212121IIMd外力矩对转动刚体所作的功，等于刚体外力矩对转动刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。abahbhYO地地cgmrd弹性力为弹性力的功为OXabaxbxxf 重力、弹性力、重力、弹性力、
5、0,0rdFdAA重力、弹性力、万有引力、静电力重力、弹性力、万有引力、静电力摩擦力、爆炸力、安培摩擦力、爆炸力、安培力力 势能（势能函数势能（势能函数):由物体的相对位置决定的函数由物体的相对位置决定的函数.00rEP令 （1）势能）势能 为状态量，是状态（位置）的单值为状态量，是状态（位置）的单值函数。其数值还与零势能点的选取有关。函数。其数值还与零势能点的选取有关。（2）势能属于物体系统所共有。）势能属于物体系统所共有。（3）只有保守力场才能引入势能的概念。）只有保守力场才能引入势能的概念。说明：说明：rMmGEkxEmghE0221引弹重常用势能函数例例4 4 粒子的势能具有形式：粒子
6、的势能具有形式：式中式中a是常量。是常量。试求（试求（1）作用于粒子上的力；）作用于粒子上的力；（2）当粒子由点（）当粒子由点（1，1，1）移动到点）移动到点 （2，2，3）时场力对粒子做的功。）时场力对粒子做的功。)(zyyxaEp解 (1)由势能与保守力的关系可得kazyj azyxiyaEFp221(2)场力的功3)3,2,2()1,1,1(aEEApp内力区分为保守内力和非保守内力，则内力区分为保守内力和非保守内力，则根据势能定义于是或 系统的总动能和势能之和称为系统的机械能，系统的总动能和势能之和称为系统的机械能，用用 E 表示，表示，质点系统在运动过程中，所有外力的功和系统质点系统
7、在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。功能原理在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。持不变。机械能守恒定律 （1）明确系统中的物体；明确系统中的物体；(2)前提前提:只有保守内力做功只有保守内力做功，其他内力和外力不做功，或它们的代数和为零，或可以忽略不计；(3)只适用于惯性参考系。只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能不一定守恒。说明说明：例例5 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端
8、支以，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：求：当杆过铅直位置当杆过铅直位置时的角速度时的角速度.已知已知：m，L求求：，1）以杆为研）以杆为研究对象究对象 受力：受力：mg，N（不产生（不产生对轴的力矩）对轴的力矩）NmgL解解(一一)1(sin2sinsin0LmgdrLmrgdmgrMLMmgNr L)2(dtdIM由定轴转动定律由定轴转动定律dtddddtd)2sin(23LgdtddLgdcos23)3(312mLI 由式（由式（1）、（）、（2）、（）、（3）得）得mgNr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/023gL解解(二二)：考虑杆从水平静止转到铅直：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，角速度从方向的过程，角速度从 0-0-依动能定理依动能定理2022121IIA力矩 cossin mgNr dLmgsin22/02Lmg2/0MdA力矩02122ILmgImgLLgmLmgL3312解三：机械能守恒解三：机械能守恒02122ILmg
