1、5.5 5.5 特殊函数特殊函数的的不定不定积分积分 5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 有理函数有理函数.两个多项式两个多项式 的商表示的函数称之的商表示的函数称之为为定义定义 5.5.15.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式()()P xQ x的次数小于的次数有理函数是真分式；有理函数是真分式；否则，有理函数是假分式；否则，有理函数是假分式；(),()P x Q x（1 1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为则分解后为kax)(112,()()kkkAAAxaxaxa1 1 真分式有理函数化为部分分式之和的
2、一般规律：真分式有理函数化为部分分式之和的一般规律：5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例1 15.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.|1|ln11|lnCxxx 解解5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分
3、（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qp11222212()()kkkkM xNM xNM xNxpxqxpxqxpxq1122222()例如M xNM xNxpxqxpxq5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 例例2 2.1515221542xxx )1)(21(12xx ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 定理定理5.5.1 5.5.1 真分式有理函数化为部分分式之和真分式
4、有理函数化为部分分式之和5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 121()()kkkAAAxaxaxa11222221()()kmmkM xNM xNM xNxpxqxpxqxpxq()()P xQ x112()()llkAAAxbxbxb11222221()()knnkM xNM xNM xNxpxqxpxqxpxq22,4pqa,2MpNb 则则,222atqpxx ()22pMpMxNM xN讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 则则令令部分分式可求积分部分分式可求积分令令tpx 2Mtb5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 ,1)2(
5、n122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn,1)1(n22ln()2Mta dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab arctan;btCaa5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 12211arctan()tIdtCtaaa结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.2122222211()2tIdtItaata3222 32222113()4()tIdtItaata5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 例例2 2 求积分求积分 解解.)1)(21(12 d
6、xxx2215452511xdxdxxx dxxx)1)(21(122212115 12155 12ln|xdxdxxxx2111552125ln()arctannl|.xxxC5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 2253(25)xdxxx225(22)82(25)xdxxx22222518(25)2(25)(25)d xxdxxxxx例例3 32122222211()2tIdtItaata5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 2 2 假分式有理函数假分式有理函数:可以化成一个可以化成一个多项式多项式和一个和一个真分式真分式之和之和.例例1123 xxx.112 xx5.5
7、5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 三角有理式的定义：三角有理式的定义：三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，)cos,(sinxxR二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式万能置换公式）5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 例例4 4 .sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin
8、1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc .cot31cot3C
9、xx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 例例5 5 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162三、其他可化为有理式函数的积分三、其他可化为有理式函数的积分5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 Ctttt arctan3)1ln(23)1ln
10、(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 讨论类型讨论类型).,(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例6 6 dxxxx11 解解 txx 1,12txx 四、简单无理函数的积分四、简单无理函数的积分,112 tx ,1222 ttdtdx5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt|11|ln2.11ln122Cxxxxx 5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 例例7 7 求积分求积分2431(1)(1)dxxx3311txt321(1)1(1)xdxxx3(1)(1)xtx令令则则2326(1)tdxdtt32dt 32tC 33(1)2(1)xCx 5.5 5.5 特殊函数的积分特殊函数的积分 作业作业:习题习题5.5 1 1 偶数项；偶数项；2 2 奇数项；奇数项；3 3 偶数项；偶数项；
