1、13 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子 一、一、一维无限深方形势阱一维无限深方形势阱 二、薛定谔方程和波函数二、薛定谔方程和波函数 三、旧量子论的半经典解释三、旧量子论的半经典解释2 举几个小例举几个小例 1)说明量子力学解题的思路说明量子力学解题的思路 2)了解量子力学给出的一些重要的结论了解量子力学给出的一些重要的结论31.由粒子运动的实际情况由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程代入定态薛定谔方程3.解方程解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量求出概率密度分布及其他力学量
2、一、量子力学解题的一般思路一、量子力学解题的一般思路4二、几种势函数二、几种势函数)(xU1.自由粒子自由粒子2.方势阱方势阱0)(xU0)(xU无限深方势阱无限深方势阱能级结构问题能级结构问题方势阱方势阱0)(xU)(xU)(xU5方势阱方势阱0)(xU)(xU是实际情况的是实际情况的极端化和简化极端化和简化分子束缚分子束缚在箱子内在箱子内三维方势肼三维方势肼金属中的电子金属中的电子63.势垒势垒)(xU梯形势梯形势散射问题散射问题)(xU势垒势垒隧道贯穿隧道贯穿)(xU)(xU74.其他形式其他形式超晶格超晶格谐振子谐振子8a金属金属U(x)U=U0U=U0EU=0 x极极限限U=0EUU
3、U(x)x0a 无限深方势阱无限深方势阱（potential well）一、一维无限深方形势阱一、一维无限深方形势阱功函数功函数分子束缚分子束缚在箱子内在箱子内三维方势肼三维方势肼9U=0EUUU(x)x0a特点：特点：粒子在势阱内粒子在势阱内受力受力为为零零势能为势能为零零在阱内在阱内自由自由运动运动在阱外势能为在阱外势能为无穷大无穷大在阱壁上受极大的斥力在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外不能到阱外101.势函数势函数粒子在粒子在阱内自由阱内自由运动运动不能到阱外不能到阱外二、薛定谔方程和波函数二、薛定谔方程和波函数)(xU0(x)ax阱外阱外a0)(xU x00)(xU阱内阱内 )(ax01
4、12.哈密顿量哈密顿量)(2222xUxmHdd3.定态薛定谔方程定态薛定谔方程阱外阱外：)()(211222xExxmdd)()(222222xExxmdd阱内阱内：a0)(xU x012根据波函数有限的条件根据波函数有限的条件阱外阱外0,0)(2xaxx1)阱外阱外4.分区求通解分区求通解)()(222222xExxmdd13)()(dd2222xExxm令令222mEk2)阱内阱内0)()(2 xkx为了方便将波函数脚标去掉为了方便将波函数脚标去掉将方程写成将方程写成通解通解kxBkxAxsincos)(式中式中 A 和和 B 是待定常数是待定常数145.由波函数标准条件和边界条件定特解
5、由波函数标准条件和边界条件定特解通解是通解是0A0)0()0(02处处xkxBxsin)(0sinkaB0)()(2aaax处处(1)解的形式解的形式kxBkxAxsincos)(解的形式为解的形式为(2)能量取值能量取值15)0(knka),3,2,1(nank0sinkaB0BA已经为零了已经为零了 B不能再为零了不能再为零了即即),3,2,1(22222nnmaEn222nmEk 222an只能只能 ka 等于零等于零要求要求能量可能值能量可能值161)每个可能的值叫能量本征值每个可能的值叫能量本征值 2)束缚态束缚态 粒子能量取值分立粒子能量取值分立(能级概念能级概念)能量量子化能量量
6、子化 3)最低能量不为零最低能量不为零 波粒二象性波粒二象性的必然结果的必然结果 请用不确定关系说明请用不确定关系说明 4)当当n趋于无穷时趋于无穷时 能量趋于连续能量趋于连续 5)通常表达式写为通常表达式写为讨论讨论,2,122222nnmLEnL-阱宽阱宽),3,2,1(22222nnmaEn17(3)本征函数系本征函数系由归一性质由归一性质 定常数定常数 B),3,2,1(sin2)(nxanaxn1xxxad)()(*01sin022axkxBdaB2得得本征函数本征函数18考虑到考虑到振动因子振动因子tEine（驻波解）（驻波解）tnEinnex)(6.定态波函数定态波函数),3,2
7、,1(sin2 nexanatnEin197.概率密度概率密度*nP,2,1sin22nxanaxananmaEnnsin22222220小结：本征能量和本征函数的可能取值小结：本征能量和本征函数的可能取值nnnPEn32122212maExaasin21axaPsin221124EE xaaPxaa2sin22sin2222xaaPxaa3sin23sin2233xananmaEnnsin222222,2,1sin22nxanaPn139EE 21一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度 x4 x3 x2 x1)(x o4E3E2E1Ea 23x 3
8、n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa21 2a 323a 24a 22 n时，时，量子量子经典经典玻尔对应原理玻尔对应原理|2n|an很大很大En023 2nan三、旧量子论的半经典解释三、旧量子论的半经典解释粒子在阱外的波函数为零粒子在阱外的波函数为零允许的波长为允许的波长为:ahnhPnn2粒子的动量粒子的动量.,3,2,1 n粒子在势阱内动量为粒子在势阱内动量为 hp 02阱内阱内的波函数在的波函数在阱壁上阱壁上的值也必的值也必为零为零（驻波驻波）量子化量子化能量能量由波函数的连续性由波函数的连续性24能量量子化能量量子化是粒子的是粒子的波动性波动性和和边界条件边界条
9、件的必然的必然2h2224 h22222manEn.,n321oa 2a 24a a21 32 3a 222282mahnmpEnn 2nan.,3,2,1n允许的波长为允许的波长为:254势垒和隧道效应势垒和隧道效应 一、粒子进入势垒一、粒子进入势垒 二、有限宽势垒和隧道效应二、有限宽势垒和隧道效应 三、隧道效应的应用三、隧道效应的应用262 21 1透射透射?反射反射入射入射1.势函数势函数 讨论入射能量讨论入射能量 E U0情况情况x区区0区区EU0U(x)一、粒子进入势垒一、粒子进入势垒 U(x)=U0 0 0 0 x 0 0270)()(212122xxExxmddI 区区令令222
10、mEk 00)()(212212xxkxxdd2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程x区区0区区EU0U(x)方程为方程为280)()()(22202222xxExUxxmddII 区区00)()(22222xxxxdd00)()(2)(202222xxUEmxxdd02202UEm令令293.薛定谔方程通解薛定谔方程通解通解通解通解通解波动形式波动形式指数增加和衰减指数增加和衰减00)()(22222xxxxdd00)()(212212xxkxxddikxikxBeAex)(1xxDeCex)(230 考虑物理上的要求考虑物理上的要求 当当x 时时 2(x)应有限应有限 所以所以 D=0于是于是E
11、U02 2透射透射1 1入射入射+反射反射x区区区区0 xEUmxCeCex)(2120)(31 4.概率密度概率密度(x 0 区区)xEUmex)(22220|)(|x 0区区 (E U0)粒子出现的概率粒子出现的概率 0 0U0 x 概率概率 xEUmxCeCex)(2120)(xex222)(本征波函数本征波函数概率密度概率密度32经典经典：电子不能进入：电子不能进入E U的区域的区域(因动能因动能 0)0)量子量子：电子可透入势垒：电子可透入势垒若势垒宽度不大若势垒宽度不大则电子可逸出金属表面则电子可逸出金属表面 在金属表面形成一层电子气在金属表面形成一层电子气EU02透射透射1入射入
12、射+反射反射x区区区区033二、有限宽势垒和隧道效应二、有限宽势垒和隧道效应隧道效应隧道效应E120aU0 x区区区区区区xEUmeCx)(2120)(x=a)(220)(EUmaeCa)(220)(EUmaeCa 3 334隧道效应隧道效应E120aU0 x区区区区区区)(220)(EUmaeCa 3 3振幅为振幅为 )(2a 波穿过势垒后波穿过势垒后 将以平面波的形式继续前进将以平面波的形式继续前进()()3 称为称为势垒穿透势垒穿透或或隧道效应隧道效应361.穿透系数穿透系数)(22220)(EUmaeaT 穿透系数会下降穿透系数会下降6个数量级以上个数量级以上eV50EU当当TaTEU
13、)(0势垒宽度势垒宽度 a 约约50nm 以上时以上时此时量子概念过渡到经典此时量子概念过渡到经典37量子物理量子物理：粒子有粒子有波动性波动性 遵从遵从不确定不确定原理原理 粒子经过粒子经过II区和能量守恒并不矛盾区和能量守恒并不矛盾只要势垒区宽度只要势垒区宽度 x=a不是无限大不是无限大粒子能量就有不确定量粒子能量就有不确定量 E x=a很小时很小时 P和和 E很大很大EUE 02.怎样理解粒子通过势垒区怎样理解粒子通过势垒区mpE22 mppE22 经典物理经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的：从能量守恒的角度看是不可能的38三、隧道效应的应用三、隧道效应的应用隧道二极管隧道二极管 金
14、属场致发射金属场致发射 核的核的 衰变衰变1.核的核的 衰变衰变U Th+He2382344MeV25.4E 粒子怎么过去的呢粒子怎么过去的呢?通过通过隧道效应出来的隧道效应出来的对不同的核算出的衰变对不同的核算出的衰变概率和实验一致概率和实验一致rRU35MeV4.25MeV 0势垒高度势垒高度392.扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜（STM）（Scanning Tunneling Microscopy）STM 是一项技术上的重大发明是一项技术上的重大发明 用于观察用于观察表面的微观结构表面的微观结构（不接触、不破坏样品）（不接触、不破坏样品）原理原理：利用量子力学的隧道效应：利用量子力学的隧道
15、效应1986.Nob：鲁斯卡鲁斯卡（E.Ruska）1932发明发明 电子显微镜电子显微镜宾尼宾尼（G.Binning）罗尔罗尔（Rohrer）发明发明STM40U0U0U0ABdE电子云重叠电子云重叠隧道电流隧道电流iABUd探针探针样品样品dAUei A常量常量 样品表面平均势样品表面平均势 垒高度垒高度（eV）d 10A。d变变 i变变反映表面情况反映表面情况41隧道隧道电流电流反馈传反馈传感器感器参考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图42某种型号的扫描隧道显微镜某种型号的扫描隧道显微镜431991年年 恩恩格格勒勒等等用用STM
16、在在镍镍单单晶晶表表面面遂遂个个移移动动氙氙原原子子拚拚成成了了字字母母IBM，每每个个字字母母长长5纳纳米米，44基于基于STM工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系列列原子力原子力(AFM)磁力磁力 分子力显微镜分子力显微镜 等等等等 用用AFM得到的癌细胞的表面图象得到的癌细胞的表面图象“原子和分子的观察与操纵原子和分子的观察与操纵”-白春礼白春礼 P.98 图图 4-8操纵原子不是梦操纵原子不是梦“原子书法原子书法”1994年中国科学院科学家年中国科学院科学家“写写”出的出的 平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原
17、子和分子的观察与操纵原子和分子的观察与操纵”-白春礼白春礼 插页彩图插页彩图13硅单晶硅单晶表面直表面直接提走接提走硅原子硅原子形成形成2纳米的纳米的线条线条“扫描隧道绘画扫描隧道绘画”一氧化碳一氧化碳“分子人分子人”“原子和分子的观察与操纵原子和分子的观察与操纵”-白春礼白春礼 P.151 图图7-8CO分子竖分子竖在铂片上在铂片上分子人高分子人高5nm1993年美国科年美国科学家移动铁原学家移动铁原子，铁原子距子，铁原子距离离0.9纳米纳米“量子围栏量子围栏”48个铁原子排列在个铁原子排列在铜表面铜表面证明电子的波动性证明电子的波动性495 一维谐振子一维谐振子 一、势函数一、势函数 二、
18、薛定谔方程及解二、薛定谔方程及解 三、与经典谐振子的比较三、与经典谐振子的比较50 谐振子不仅是经典物理的重要模型谐振子不仅是经典物理的重要模型 也是量子物理的重要模型也是量子物理的重要模型如：如：黑体辐射黑体辐射场量子化场量子化51一、势函数一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：则一维线性谐振子的势能为：mkm 是粒子的质量是粒子的质量k 是谐振子的劲度系数是谐振子的劲度系数是谐振子的角频率是谐振子的角频率2222121)(xmkxxU52二、薛定谔方程及解二、薛定谔方程及解0)(22
19、22xUEmxdd021222222xmEmxdd解得解得：hnnEn)21()21(n=0,1,2,hE210hE231hE25253线性谐振子波函数线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度线性谐振子位置概率密度00nx11nx2n2x200nx222nx211nx5421111nx线性谐振子线性谐振子 n=11 时的概率密度分布时的概率密度分布虚线代表经典结果虚线代表经典结果 经典谐振子在经典谐振子在原点原点速度最大速度最大 停留时间短停留时间短 粒子出现的概率粒子出现的概率小小在在两端两端速度为零速度为零 出现的概率出现的概率最大最大 55xn很大很大EnE1E2E00U(x)21 2n
20、22 20 能量特点能量特点：(1)量子化量子化 等间距等间距 hE 符合不确定关系符合不确定关系概率分布特点概率分布特点:E U 区有区有隧道效应隧道效应(2)有零点能有零点能 210hE 56跃迁只能逐级进行跃迁只能逐级进行各跃迁发出的频率相同各跃迁发出的频率相同只有一条谱线只有一条谱线 h(3)跃迁有选择定则：跃迁有选择定则：1 n57三、与经典谐振子的比较三、与经典谐振子的比较 1.基态位置概率分布基态位置概率分布22)()(200 xexxW经典：经典：在在x=0 处粒子的速度最大处粒子的速度最大 概率最概率最小小200nx量子：量子：在在x=0 处概率最处概率最大大58 n2当当 时时符合符合玻尔对应原理玻尔对应原理 11(x)2量子量子经典经典量子概率分布过渡到量子概率分布过渡到经典概率分布经典概率分布能量量子化能量量子化过渡到过渡到能量取连续值能量取连续值第第3章结束章结束
