1、6 重积分的应用 应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量,还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等.一 曲面的面积二 重心三 转动惯量 四 引力 一、曲面的面积 设设 D 为可求面积的平面有界区域为可求面积的平面有界区域,(,)f x y在在 D 上上 具具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程有连续的一阶偏导数，现讨论由方程 (,),(,)zf x yx yD 所表示的曲面所表示的曲面 S 的面积的面积.(1)对区域对区域 D 作分割作分割 T，把，把 D 分成分成 n 个小区域个小区域 i(1,2,)in.这个分割相应地将曲面这个分割相应地将曲面 S 也分成也分成 n 个个 小
2、曲面片小曲面片(1,2,).iS in iSiM(2)在每个在每个 上任取一点上任取一点,作曲面在这一点的切作曲面在这一点的切 近近用切平面用切平面iA代替代替小小 曲面片曲面片,iS从从而而当当 T充分小时充分小时,有有 11,nniiiiSSAi i iAiAiS,并在并在上取出一小块上取出一小块,使得使得 与与在在平面平面,iiSSA 这里这里 分别分别 2138 图图xyz:(,)Szf x yDOiAi iMiSi 平面上的投影都是平面上的投影都是xy(见图见图 21-38).).iM 在点在点 附附 1niiA0T(3)当当 时时,定义和式定义和式的极限的极限(若存在若存在)现在按
3、照上述曲面面积的概念现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面来建立曲面面积的面积的 计算公式计算公式.iAi为此首先计算为此首先计算的面积的面积.由于切平面由于切平面的法向量就的法向量就 是曲是曲面面 S 在点在点(,)iiiiM 处的法向量处的法向量 n,记它与记它与 z 作为作为 的面积的面积.S的面积的面积.,iiS SA表示表示 轴轴的夹角为的夹角为 ,i 则则 221|cos(,)|cos|.1(,)(,)ixiiyiin zff ,iiAxy 因因为为在在平平面面上上的的投投影影为为所所以以221(,)(,).cosiixiiyiiiiAff 注意到和数注意到和数 22111(,)(
4、,)nnixiiyiiiiiAff 是连续函数是连续函数 221(,)(,)xyfx yfx y 在有界闭域在有界闭域 D 0T;S 上的积分和上的积分和,于是当于是当 时时,上式左边趋于上式左边趋于 而右边而右边趋于趋于 221(,)(,)d d.xyDfx yfx yx y这就得这就得 221(,)(,)d d,(1)xyDSfx yfx yx y1d d.(2)|cos(,)|DSx yn z或另一形式或另一形式:到曲面到曲面 S 的面积计算公式的面积计算公式:解解 据曲面面积公式据曲面面积公式,221d d,xyDSzzx y其中其中 D 是是 222211,24xyxxy即即曲面方程
5、曲面方程 22zxy22xyx 例例1 求圆锥求圆锥 在圆柱体在圆柱体 内内 那一部分的面积那一部分的面积.2222,xyxyzzxyxy22.zxy故故 是是 22d d2.4DSx yD(,),(,),(,),(,)(3)xx u vyy u vzz u vu vD 表示，其中表示，其中 (,),(,),(,)x u vy u v z u v在在 D 上具有连续的上具有连续的 一阶偏一阶偏导数导数,且且 2212,xyzz若空间曲面若空间曲面 S 由参数方程由参数方程 参数曲面的面积公式参数曲面的面积公式222(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)y zz xx yu vu vu v则曲
6、面则曲面 S 在点在点 (,)x y z的法的法线方向为线方向为 (,)(,)(,),.(,)(,)(,)y zz xx ynu vu vu v 记记 222(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)x yz xy zW u vu vu vu v2222222()()(),uuuvvvuvuvu vxyzxyzx xy yz z 与与 z轴夹角的余弦则为轴夹角的余弦则为 n其中其中 2(,)1,(4)(,)x yu vEGF 1(,)cos(,)(,)(,)x yn zW u vu v222,uuuExyz ,uvuvuvFx xy yz z222.vvvGxyz(,)0(,)x yu v 当
7、当时时,对公式对公式(2)作变换作变换:则有则有 1d d|cos(,)|DSx yn z1(,)d d.|cos(,)|(,)Dx yu vn zx y由由(4),),便得参数曲面便得参数曲面(3)的面积公式：的面积公式：(,),(,),xx u vyy u v 2d d.(5)DSEGFu v例例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积积 （图（图21-39中阴影部分中阴影部分).).解解 设球面的参数方程为设球面的参数方程为:coscos,cossin,sin,xRyRzR 其中其中 R 是是球面半径球面半径.1212,这里是求当这里是求当 时球
8、面上的面积时球面上的面积.2139 图图xyzO2 1 由于由于 222222,0,cos,ExyzRFGR 所以所以 由公式由公式(5)即得所求曲面的面积即得所求曲面的面积:22cos.EGFR 22112dcosdSR 22121()(sinsin).R注注 在讨论曲线的弧长时在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度我们曾用弧内接折线长度 地用曲面的内接多边形面积地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积的极限来定义曲面面积 呢呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是 不可不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程行的，对此读者可参见有关的数
9、学分析教程 （如菲（如菲赫金哥尔茨赫金哥尔茨微积分学教程微积分学教程中译本第三卷中译本第三卷 第二分册第二分册).).的面积公式，下面用二重积分给予严格的面积公式，下面用二重积分给予严格证明证明.*例例3 设平面光滑曲线的方程为设平面光滑曲线的方程为 的极限来定义的极限来定义(当各段的长趋于零时当各段的长趋于零时),),但能但能否类似否类似 在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面 求证此曲线绕求证此曲线绕 x轴旋转一周得到的旋转面的面积为轴旋转一周得到的旋转面的面积为 22()1()d.baSf xfxx 证证 由于由于上半旋转面的方程为上半旋
10、转面的方程为 22(),zfxy 因此因此 22222()(),()()xyf x fxyzzfxyfxy 2222222()()()1.()xyfxfx fxzzfxy (),()0).yf xxa bf x222()22()()()()2dd()bf xaf xfxfx fxSxyfxy 2()2021()4d()d()1()bf xafxyxf xyf xfx122014()1()dd1baf xfxxtt22()1()d.baf xfxx 不妨设不妨设 ()0,f xxa b 则则 二、重 心 (,)x y z(,)x y z 设密度函数为设密度函数为的空间物体的空间物体 V，在在 V
11、 上连续上连续.为求得为求得 V 的重心坐标的重心坐标,先对先对 V 作分割作分割 T,iV(,)iiiiV 是小块是小块的质量可用的质量可用近似代替近似代替,若若 把每一块看作质量集中在把每一块看作质量集中在(,)iii 的质点时的质点时,整个整个物体就可用这物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替个质点的质点系来近似代替.由于由于质质点系的重心坐标公式为点系的重心坐标公式为iV(,),iii 在属于在属于 T 的每一小块的每一小块 上任取一点上任取一点于于 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVxV 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVyV 11(,),(,)nii
12、iiiinniiiiiVzV 的重心坐标的重心坐标:(,)d,(,)dVVxx y zVxx y zV (,)d,(,)dVVyx y zVyx y zV (,)d.(,)dVVzx y zVzx y zV 当物体当物体 V 的密度均匀分布时的密度均匀分布时,即即 为常数时，则有为常数时，则有0T 时，时，当当自然地可把它们的极限定义作为自然地可把它们的极限定义作为 V 111d,d,d.VVVxx Vyy Vzz VVVV同样可以得到同样可以得到,密度函数为密度函数为(,)x y 的平面薄板的平面薄板 D 的的 重心坐标重心坐标:(,)d(,)d,.(,)d(,)dDDDDxx yyx yx
13、yx yx y当当 为常数时，则有为常数时，则有1d,DxxD 1d.DyyD 例例4 求密度均匀的上半椭球体的重心求密度均匀的上半椭球体的重心.解解 设椭球体由设椭球体由 2222221,0 xyzzabc 表示表示.借助借助对对 0,0.xy 又由又由为常数为常数,所以所以 称性知道称性知道dd d d.2d3VVVz Vz x y zzVabc由由5 例例5 已知已知 232,438czabcabc故得故得 2d d d,4Vz x y zabc 即求得上半椭球体的重心坐标为即求得上半椭球体的重心坐标为 3(0,0,).8c三、转 动 惯 量 A 的质量的质量,r 是是 A 与与 l 的
14、距离的距离.现在讨论空间物体现在讨论空间物体 V 的转动惯量问题的转动惯量问题,我们仍然采我们仍然采 用前面的办法用前面的办法,把把 V 看作由看作由 n 个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，然后用取极限的方法求得然后用取极限的方法求得 V 的转动惯量的转动惯量.设设(,)x y z 为为 V 的密度函数的密度函数,它在它在 V 上连上连续续.照例照例对对 V 作分割作分割 T,在属于在属于 T 的每一小块的每一小块 iV上任取一点上任取一点 质点质点 A 对于轴对于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为 其中其中 m 是是 2,Jmr 质点系质点系对于对于x 轴的转动惯量是轴的转动惯量是 22
15、,1()(,).nx niiiiiiiJV 令令 0,T 上述和式的极限就是上述和式的极限就是 V 对于对于 x 轴的转轴的转 22()(,)d.xVJyzx y zV(,),iii iV(,)iiiiV 以以近似替代近似替代 的质量的质量.当以质点系当以质点系 (,),1,2,iiiin 近似替代近似替代 V 时时,动惯量动惯量:类似可得类似可得 V 对于对于 y 轴与轴与 z 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 22()(,)d,yVJzxx y zV 22()(,)d.zVJxyx y zV 同理同理,物体物体 V 对于坐标平面的转动惯量分别为对于坐标平面的转动惯量分别为 2(,)d,
16、xyVJzx y zV 2(,)d,yzVJxx y zV 同样地同样地,平面薄板平面薄板 D 对于坐标轴的转动惯量为对于坐标轴的转动惯量为 22(,)d,(,)d;xyDDJyx yJxx y2(,)(,)d,lDJrx yx y(,)r x y(,)x y其中其中为为 D 中点中点 到到 l 的的距离距离.2(,)d.zxVJyx y zV 平面薄板平面薄板 D 对于轴对于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为 例例5 求密度均匀的圆环求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面中心对于垂直于圆环面中心 轴的转动惯量轴的转动惯量 (图图21-40).解解 设圆环设圆环 D 为为 222212,RxyR
17、 密度为密度为,则则 D 中任一点中任一点(,)x y与与 z 轴的距离平方轴的距离平方2122230()dddRRDJxyrr2140 图图xyzO22.xy 于是转动惯量为于是转动惯量为为为 44222121()(),22mRRRR 例例6 求均匀圆盘求均匀圆盘 D 对其直径的转动惯量对其直径的转动惯量(图图21-41).).解解 设圆盘设圆盘 D 为为222,xyR 密度为密度为 ,求对于求对于 y 轴的转轴的转 动惯量动惯量.由于由于 D 内任一点内任一点 (,)x y,x与与 y 轴的距离为轴的距离为 故故 xy2141 图图RDO其中其中 为圆环的质量为圆环的质量.2221()mR
18、R 22200dd(cos)dRDJxrrr42232001cosddd,44RRrr r rmR 其中其中 m 为圆盘的质量为圆盘的质量.例例7 设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量试求它对于切平面的转动惯量.解解 设球体由不等式设球体由不等式 2222xyzR 表示表示;密度函数密度函数 为为222,kxyz k 为比例常数为比例常数;取切平面方程为取切平面方程为 .xR 则球体对于此平面则球体对于此平面的转动惯量为的转动惯量为 2222()d d dVJkxyzRxx y z223000dd(sincos)sin dR
19、kRrrr22230000ddsind2cos dRkRrrkR 24225300000dsindcosddsind,RRrrkrr 611.9Jk R经详细计算经详细计算,可得可得四、引 力 求密度为求密度为 (,)x y z 的立体的立体 V 对立体外单位质点对立体外单位质点 A 的引力的引力.(,),(,)x y z设设 A 的坐标为的坐标为 V 中点的坐标用中点的坐标用 表表 示示,现用微元法来求现用微元法来求 V 对对 A 的引力的引力.V 中质量微元对中质量微元对 A 的引力在坐标轴上的投影为的引力在坐标轴上的投影为 33dd,dd,xyxyFkVFkVrr3dd,zzFkVr 2
20、22()()().rxyz于是于是,力力 F 在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影分别为分别为 3d,xVxFkVr 3d,yVyFkVr 3d,zVzFkVr dAV到到的的距距离离为为其中其中 k 为引力系数，为引力系数，例例8 设球体设球体 V 具有均匀的密度具有均匀的密度,试求试求V 对球外一对球外一 点点 A 的引力的引力 (引力系数为引力系数为 k).(0,0,)().aRa 显然有显然有0,.xyzFFF现在计算现在计算222 3 2()d d d()zVzaFkx y zxyza 解解 设球体为设球体为2222,xyzR 球外一点球外一点 A 的坐标为的坐标为 所以所以 ijk.xyzFFFF 由上述公式，由上述公式，22222 3 200()ddd()RRzzRrFkzazrrza 3222421d.32RRzakzRkaRaza 222 3 2d d()d()RRDx ykzazxyza 其中其中2222(,)|.Dx yxyRz现用柱面坐标变换来计算：现用柱面坐标变换来计算：
