1、2021年河南省中考数学总复习第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用一、线段问题一、线段问题重难点突破重难点突破例例 1如图，抛物线如图，抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交于点轴交于点A、B(1，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，直，直线线y x2经过点经过点A、C.抛物线的顶点为抛物线的顶点为D，对称轴为直线，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；12例例1题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用解：解：(1)对于直线对于直线y x2，令，令y0，得，得x4，令，令x
2、0得得y2，A(4，0)，C(0，2)，已知已知B(1，0)，将，将A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式得，三点的坐标代入抛物线解析式得，解得解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x2；12164002abcabcc 12522abc 1252第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)求顶点求顶点D的坐标与对称轴的坐标与对称轴l；例例1题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)将抛物线将抛物线y x2 x2化为顶点式得，化为顶点式得，y (x )2 ，抛物线顶点抛物线顶点D的
3、坐标为的坐标为(，)，对称轴，对称轴l为直线为直线x ；1252125298529852第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(3)设点设点E为为x轴上一点，且轴上一点，且AECE，求点，求点E的坐标；的坐标；例例1题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(3)如解图如解图，由点，由点E在在x轴上，可设点轴上，可设点E的坐标为的坐标为(e，0)，连接，连接CE，则则AE4e.在在RtCOE中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得CE2OC2OE222e2，AECE，(4e)222
4、e2，解得解得e ，则点则点E的坐标为的坐标为(，0)；3232第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题图题图(4)设点设点G是是y轴上一点，是否存在点轴上一点，是否存在点G，使得，使得GDGB的值最小，若存在，求的值最小，若存在，求出点出点G的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】【思维教练】要使要使GDGB的值最小，先找点的值最小，先找点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B，再连接再连接BD，BD与与y轴的交点即为所求的点轴的交点即为所求的点G，先求直，先求直线线BD的解析式，再求其与的解析式，再求其与y轴的交点即可轴的交点即可第六节第六节
5、二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(4)存在如解图存在如解图，作点，作点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B，则点，则点B的的坐标为坐标为(1，0)连接连接BD，直线，直线BD与与y轴的交点轴的交点G即为所即为所求的点求的点设直线设直线BD的表达式为的表达式为ykxd(k0)，其中，其中D(，)将点将点B、D两点的坐标代入得，两点的坐标代入得，解得解得 ，529805928kdkd 928928kd 直线直线BD的表达式为的表达式为y x ，令令x0得得y ，点点G的坐标为的坐标为(0，)；928928928928第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(5)在对称
6、轴在对称轴l上是否存在一点上是否存在一点F，使得，使得BCF的周长最小，若存在，求出点的周长最小，若存在，求出点F的坐标的坐标及及BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；周长的最小值；若不存在，请说明理由；例例1题图题图【思维教练】因为【思维教练】因为BC长为定值，要使长为定值，要使BCF周周长最小，即要使长最小，即要使CFBF的值最小，由点的值最小，由点A、B关关于对称轴于对称轴l对称，可知对称，可知AC与对称轴与对称轴l的交点即为点的交点即为点F，即可使，即可使CFBF最小，将最小，将x 代入直线代入直线AC的的解析式，即可求得解析式，即可求得F点的坐标，在点的坐标，在RtAOC中可中可
7、得得AC的长，在的长，在RtBOC中可得中可得BC的长，即可得的长，即可得BCF的最小周长的最小周长52第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(5)存在如解图存在如解图，要使，要使BCF的周长最小，即的周长最小，即BCBFCF最小最小在在RtOBC中，中，OB1，OC2.由勾股定理得由勾股定理得BC 为定值，为定值，只需只需BFCF最小最小点点B与点与点A关于直线关于直线l对称，对称，AFBF则则BFCFAFCF.AC与对称轴与对称轴l的交点即为所求的点的交点即为所求的点F.22125 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用5234将将x 代入直线代入
8、直线y x2得得y 2 .点点F的坐标为的坐标为(，)在在RtAOC中，中，AO4，OC2，根据勾股定理得，根据勾股定理得AC ，BCF周长的最小值为周长的最小值为BCAC 2 3 ；121252523422422 5 555第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(6)若点若点H是抛物线上位于是抛物线上位于AC上方的一点，过点上方的一点，过点H作作y轴的平行线，交轴的平行线，交AC于点于点K，设，设点点H的横坐标为的横坐标为h，线段，线段HKd.求求d关于关于h的函数关系式；的函数关系式；求求d的最大值及此时的最大值及此时H点的坐标；点的坐标；例例1题图题图【思维教练】由题可得点【
9、思维教练】由题可得点H的横坐标为的横坐标为h，分别将分别将h代代入抛物线及直线入抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点的解析式中，即可得到点H、K的纵的纵坐标，再由点坐标，再由点H在点在点K的上方，可得到的上方，可得到d关于关于h的函数关系的函数关系式；式；利用二次函数的性质求最值，即可得利用二次函数的性质求最值，即可得d的最大值的最大值第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(6)如解图，如解图，点点H在抛物线上，在抛物线上，设点设点H的坐标为的坐标为(h，h2 h2)(0h4)，HKy轴，交轴，交AC于点于点K，点点K的坐标为的坐标为(h，h2)，点点H在点在点K的上方，的上方，
10、HKd(h2 h2)(h2)h22h，d关于关于h的函数关系式为的函数关系式为d h22h；1252121252121212例例1题解图题解图第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用由由d h22h (h24h)(h2)22可知，可知，当当h2时时d最大，最大，024，符合题意，符合题意，当当h2时，时，d最大，最大值为最大，最大值为2，此时点，此时点H的坐标为的坐标为(2，1)；121212第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题图题图(7)设点设点Q是对称轴右侧抛物线上一点是对称轴右侧抛物线上一点(Q不与不与A重合重合)，过点，过点Q作作y轴的平行线，交轴的平行
11、线，交AC于点于点M，交，交x轴于点轴于点R，若，若QM3MR，求点，求点Q的坐标；的坐标；【思维教练】要求点【思维教练】要求点Q的坐标，需分点的坐标，需分点Q在点在点M的上方和点的上方和点Q在点在点M的下方两种情况讨论，在每的下方两种情况讨论，在每种情况下用点种情况下用点Q，M，R的纵坐标表示出的纵坐标表示出QM和和MR的长度，利用的长度，利用QM3MR列方程求解，注意列方程求解，注意检验计算结果的合理性检验计算结果的合理性第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图(7)点点Q的横坐标为的横坐标为q；当点当点Q在点在点M的上方时的上方时(q4)，如解图，如解图.此时
12、此时QM(q2)(q2 q2)q22q，MR q2，q22q3(q2)，解得解得q13或或q24，均不符合题意，舍去，均不符合题意，舍去综上可知，满足条件的点综上可知，满足条件的点Q的坐标为的坐标为(3，1)12125212121212第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题图题图(8)作点作点B关于点关于点C的对称点的对称点B，则平面内存在直线，则平面内存在直线l，使得点，使得点A、B、B到该直线的到该直线的距离都相等求直线距离都相等求直线l：ykxb的解析式的解析式【思维教练】要求直线【思维教练】要求直线l的解析式，根据点的解析式，根据点A，B，B到直线到直线l的距离相等
13、，从而得到直线的距离相等，从而得到直线l是是ABB的三条中位线，由于的三条中位线，由于A、B坐标前面已得，根据点坐标前面已得，根据点B是点是点B关于点关于点C的对称点，从的对称点，从而求得而求得B的坐标，根据的坐标，根据A、B、B的坐标，利用待定系数法的坐标，利用待定系数法可分别求出直线可分别求出直线AB、AB和和BB的解析式，利用平行线的性的解析式，利用平行线的性质即可求出直线质即可求出直线l的解析式的解析式第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(8)B(1，0)，C(0，2)，点，点B是点是点B关于点关于点C的对称点，的对称点，可得点可得点B的横坐标为的横坐标为2011，点，点
14、B的纵坐标为的纵坐标为2(2)04，B(1，4)，利用待定系数法可求出，直线利用待定系数法可求出，直线AB的解析式为的解析式为y0，直线直线BB的解析式为的解析式为y2x2，直线直线AB的解析式为的解析式为y x ，45165第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例1题解图题解图分三种情况考虑，如解图所示：分三种情况考虑，如解图所示：()当直线当直线lAB且过点且过点C时，直线时，直线l的解析式为的解析式为y2，()当直线当直线lAB且过点且过点C时，直线时，直线l的解析式为的解析式为y x2；()当直线当直线lBB且过线段且过线段AB的中点的中点N(，2)时，直线时，直线l的的
15、解析式为解析式为y2x5.4532第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用1.一条线段最值问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，通过运用配方法或一条线段最值问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值，继而得到线段的最值运用二次函数的性质求最值，继而得到线段的最值2.两条线段和的最小值问题：解决这类问题最基本的定理就是两条线段和的最小值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最两点之间线段最短短”，最常见的基本图形就是，最常见的基本图形就是“水渠问题水渠问题”，已知一直线和直线同侧两点，在直线，已知一直线和直线同侧两点，在直线上找一点
16、，使其到已知两点距离的和最小，通常作其中一点关于直线的对称点，对上找一点，使其到已知两点距离的和最小，通常作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求点，作图如下：称点与另一点的连线与直线的交点即为所求点，作图如下：满分技法满分技法第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用3.用点坐标表示线段长度：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系用点坐标表示线段长度：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的长度
17、的长度(如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或三角形相似确定三角函数或三角形相似确定)4.线段数量关系问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，结合题干列出满足线段数量关系问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可线段数量关系的方程，解方程求解即可(注意排除不符合题意的数值注意排除不符合题意的数值)5.到
18、平面内两点之间距离为两点之间距离的一半的直线，共三条：到平面内两点之间距离为两点之间距离的一半的直线，共三条：(1)两点连线的垂两点连线的垂直平分线上，利用直平分线上，利用k1k21及中点坐标公式求直线解析式；及中点坐标公式求直线解析式；(2)两点所在直线的平两点所在直线的平行线上，共行线上，共2条，利用条，利用k1k2求直线解析式求直线解析式第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用二、面积问题二、面积问题例例 2如图，已知抛物线如图，已知抛物线yx2bxc与直线与直线AB相交于相交于A(3，0)，B(0，3)两点，与两点，与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C，对称，对称轴为直线轴
19、为直线l，顶点为，顶点为D，对称轴与，对称轴与x轴的交点为轴的交点为E.(1)求直线求直线AB的解析式及抛物线的解析式；的解析式及抛物线的解析式；例例2题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用解：解：(1)设直线设直线AB的解析式为的解析式为ykxd(k0)，将将A(3，0)、B(0，3)代入，代入，得得 ，解得，解得 ，直线直线AB的解析式为的解析式为yx3，将将A(3，0)，B(0，3)代入抛物线解析式，代入抛物线解析式，得得 ，解得解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3；303k dd
20、 13kd 9303bcc 23bc 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例2题图题图(2)连接连接BC，求，求ABC的面积；的面积；第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【思维教练思维教练】第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)令抛物线解析式中令抛物线解析式中y0得得x22x30，解得解得x13，x21，点点C的坐标为的坐标为(1，0)，A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)，AO3，OB3，OC1，AC4，BOAC，SABC ACOB 436;1212第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例2题图题图(3)连接连接BC，在抛物线
21、上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点M(异于点异于点C)，使得，使得SABMSABC？若存在，求出？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】由于点【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑在抛物线上的位置不确定，需考虑M点点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：的不同位置，结合图形分两种情况讨论：点点M在直线在直线AB的的上方，可先设出上方，可先设出M点的横坐标并用其表示点的横坐标并用其表示ABM的面积，再的面积，再列方程求解；列方程求解；点点M在直线在直线AB的下方，可通过平移直线的下方，可通过平移直线AB，使其经过点使其经过点C，利用，
22、利用“同底等高的三角形面积相等同底等高的三角形面积相等”来求解来求解第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(3)存在存在.如解图如解图，当，当M在直线在直线AB的上方时，过的上方时，过M作作MMx轴交直线轴交直线AB于点于点N，连接，连接AM，BM，例例2题解图题解图 设点设点M的坐标为的坐标为(m，m22m3)，则则N(m，m3)，MNm22m3(m3)m23m，SABMSAMNSBMN MNAM MNMO MN(AMMO)MNAO (m23m)3 m2 m，12121212123292第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用根据题意得根据题意得SABMSABC6，则则
23、 m2 m6，3292即即m23m40，b24ac3241470，此时方程无解，则不存在这样的点此时方程无解，则不存在这样的点M；如解图如解图，当点，当点M在直线在直线AB的下方时，连接的下方时，连接BM，AM，例例2题解图题解图 SABMSABC，以以AB作底，只要作底，只要ABM与与ABC的高相等即可，的高相等即可，故平移直线故平移直线AB，使其过点，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的，此时平移后的直线与抛物线的交点即为交点即为M，第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用设平移后的直线设平移后的直线CM的解析式为的解析式为yx3b，将点将点C(1，0)代入得代入得b4，直线直
24、线CM的解析式为的解析式为yx1，与抛物线联立得，与抛物线联立得 ，解得解得 (舍去舍去)，存在这样的点存在这样的点M，其坐标为，其坐标为(4，5)；2231yxxyx 1110 xy 2245xy 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(4)连接连接BC，点，点N是线段是线段AB上一点，作上一点，作NNx轴，试确定轴，试确定N点的位置，使点的位置，使ABC的面积被直线的面积被直线NN分为分为1 2的两部分；的两部分；例例2题图题图【思维教练】由题意知，【思维教练】由题意知，NN将将ABC分成一个三角形和一分成一个三角形和一个四边形，因此要分情况进行讨论：个四边形，因此要分情况进行
25、讨论：ANN的面积的面积占占ABC面积的面积的 ；ANN的面积占的面积占ABC面积的面积的 .在每种情况下，用点在每种情况下，用点N的横坐标表示出的横坐标表示出ANN的面的面积，列方程求解即可，注意检验求得的解是否满足点积，列方程求解即可，注意检验求得的解是否满足点N在线段在线段AB上上1323第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(4)如解图如解图，由，由(2)知知ABC的面积为的面积为6，设，设N(n，n3)(3n0)，当当SANN SABC2时，时，SANN (n3)(n3)2，解得解得n11，n25(不在线段不在线段AB上，舍去上，舍去)，N(1，2)；当当SANN SAB
26、C4时，时，例例2题解图题解图131223SANN (n3)(n3)4，解得解得n12 3，n22 3(不在线段不在线段AB上，舍去上，舍去)，N(2 3，2 )，综上所述，综上所述，N点的坐标为点的坐标为(1，2)或或(2 3，2 )；12222222第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例2题图题图(5)在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点G使得使得SACG2？若存在，求点？若存在，求点G的坐标，若不存在，请的坐标，若不存在，请说明理由；说明理由；【思维教练】观察图形可知【思维教练】观察图形可知ACG的面积为的面积为 AC|yG|，根据题意先假定在根据题意先假定在x轴
27、上方的抛物线上存在一点轴上方的抛物线上存在一点G，然，然后过点后过点G作作GGx轴于点轴于点G，设点，设点G的横坐标为的横坐标为g，以，以AC为底，为底，GG为高即可得到为高即可得到SACG关于关于g的函数解析式，再令的函数解析式，再令其函数值为其函数值为2，求解即可；然后在，求解即可；然后在x轴下方的抛物线上假定轴下方的抛物线上假定一点一点G，同理求解即可，同理求解即可12第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例2题解图题解图(5)存在存在如解图如解图，过点，过点G作作GGx轴于点轴于点G，设点设点G的坐标为的坐标为(g，g22g3)，当点当点G在在x轴上方时，轴上方时，g22
28、g30，SACG ACGG 4(g22g3)，SACG2，4(g22g3)2，解得解得g11 ，g21 ，G点坐标为点坐标为(1 ，1)或或(1 ，1)；1212123333第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用例例2题解图题解图当点当点G在在x轴下方时，轴下方时，如解图如解图，g22g30，则则GG(g22g3)g22g3，SACG ACGG 4(g22g3)2，解得解得g31 ，g41 ，G点坐标为点坐标为(1 ，1)或或(1 ，1)，综上所述，综上所述，G点坐标为点坐标为(1 ，1)，(1 ，1)，(1 ，1)或或(1 ，1)；121255555533第六节第六节 二次函数的
29、综合应用二次函数的综合应用例例2题图题图(6)已知点已知点P是第二象限内抛物线上一动点，连接是第二象限内抛物线上一动点，连接AP、BP，设点，设点P的横坐标为的横坐标为p，ABP的面积为的面积为S.求求S关于关于p的函数关系式；的函数关系式；求当求当p为何值时，为何值时，S有最大值，最大值是多少？有最大值，最大值是多少？【思维教练】【思维教练】要求要求ABP的面积，观察可得不易采用面积的面积，观察可得不易采用面积公式直接求解，则此时需想到用公式直接求解，则此时需想到用“分割法分割法”，作，作PPy轴交直轴交直线线AB于于P，则，则PP将将ABP分成分成APP和和BPP两部分，在两部分，在这两部
30、分中分别以这两部分中分别以PP为底表示出两个三角形面积，求和即是为底表示出两个三角形面积，求和即是ABP的面积；的面积；结合二次函数性质求结合二次函数性质求S的最大值及此时的的最大值及此时的p值值第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(6)点点P在抛物线上，在抛物线上，点点P的坐标为的坐标为(p，p22p3)，如解图，过点如解图，过点P作作PPy轴交直轴交直线线AB于点于点P，例例2题解图题解图第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用则则P(p，p3)，PP(p22p3)(p3)p23p，SABPSAPPSBPP PPAO (p23p)3 p2 p，即即S p2 p(3p
31、0)；当当p p2 p 化为项点式得化为项点式得S=，S有最大值，最大有最大值，最大值为值为 .121232923292322789232第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用1.与图形面积数量关系有关与图形面积数量关系有关对于图形的运动产生的相等关系问题，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程对于图形的运动产生的相等关系问题，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤：的一般步骤：画出符合条件的图形；画出符合条件的图形；确定其存在的情况，然后分别求解，一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结确定其存在的情况，然后分别求解，一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，
32、画出所求面积为定值的三角形；合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；过动点作有关三角形的高或平行于过动点作有关三角形的高或平行于y轴、轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解满分技法满分技法第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用2.与图形面积最值有关与图形面积最值有关首先可利用动点的横坐标首先可利用动点的横坐标(设为设为t)表示该动点的纵坐标，即可得该动点的坐标为表示该动点的纵坐标，即可得该动点的坐标为(t，at2btc)；求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的三
33、角形或四边形面积最值时，以该边为底边求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的三角形或四边形面积最值时，以该边为底边用含用含t的代数式表示出来，结合图形可用含的代数式表示出来，结合图形可用含t的代数式表示出该边上所对应的高；的代数式表示出该边上所对应的高；求三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形面积最值时，先采用割补的方法求三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形面积最值时，先采用割补的方法把它转化成易于求出面积的图形把它转化成易于求出面积的图形(有一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形或四边有一边在坐标轴上或与坐标轴平行的三角形或四边形面积形面积)；用含有未知数的代数式表示出图形面积；用含有未知数的代
34、数式表示出图形面积；利用二次函数的性质来求最大值或最小值利用二次函数的性质来求最大值或最小值第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用玩转陕西玩转陕西10年中考真题年中考真题玩转河南玩转河南10年中招真题、备用卷年中招真题、备用卷命题点命题点1二次函数的实际应用二次函数的实际应用(仅仅2018年考查年考查)1.(2018河南河南21题题10分分)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量售量y(个个)与销售单价与销售单价x(元元)之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的
35、几组对应值如下表：日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875注：日销售利润日销售量注：日销售利润日销售量(销售单价成本单价销售单价成本单价)第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(1)求求y关于关于x的函数解析式的函数解析式(不要求写出不要求写出x的取值范围的取值范围)及及m的值；的值；解：解：(1)设设y关于关于x的函数解析式为的函数解析式为ykxb，由题意得由题意得 ，解得解得 ，y关于关于x的函数解析式为的函数解析式为y5x600.(3分分)当当x115时，时，m51156
36、0025；(4分分)8517595125kbkb 5600kb 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)根据以上信息，填空：根据以上信息，填空：该产品的成本单价是该产品的成本单价是_元当销售单价元当销售单价x_元时，日销售利润元时，日销售利润w最最大，最大值是大，最大值是_元；元；801002000【解法提示】成本单价【解法提示】成本单价85 80(元元)；wy(x80)(5x600)(x80)5x21000 x480005(x100)22000，50，当当x100，w取最大值，最大值为取最大值，最大值为2000元；元；875175第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合
37、应用(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本预计在今后的销售中，日销售公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在量与销售单价仍存在(1)中的关系若想实现销售单价为中的关系若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低元时，日销售利润不低于于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？(3)设该产品的成本单价为设该产品的成本单价为a元，元，由题意得由题意得(590600)(90a)3750，解得解得a65，答：该产品的成本单价应不超过答：该产品的成本单价应不超过65元元(10分分)第六节第六节 二
38、次函数的综合应用二次函数的综合应用命题点命题点2二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题（必考）（必考）【命题解读】此命题点均在解答题的第【命题解读】此命题点均在解答题的第23题考查，常与三角形或四边形及动点结题考查，常与三角形或四边形及动点结合，涉及分类讨论思想，常考的设问有：确定二次函数解析式；线段问题合，涉及分类讨论思想，常考的设问有：确定二次函数解析式；线段问题(线线段的数量关系、线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值段的数量关系、线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值)；三角形面积的；三角形面积的关系式及最值；图形的判定问题；相似问题；角度问题关系式及最值；图形的判定问题
39、；相似问题；角度问题2.(2014河南河南23题题11分分)如图，抛物线如图，抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，直线两点，直线y x3与与y轴交于点轴交于点C，与，与x轴交于点轴交于点D.点点P是是x轴上方的抛物线轴上方的抛物线上一动点，过点上一动点，过点P作作PFx轴于点轴于点F，交直线，交直线CD于点于点E.设点设点P的横坐标为的横坐标为m.34(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用解：解：(1)抛物线抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，两点，解得解得 ，抛物线的解析式为
40、抛物线的解析式为yx24x5；(3分分)2201055bcbc （）45bc 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)若若PE5EF，求，求m的值；的值；(2)点点P的横坐标为的横坐标为m，P(m，m24m5)，E(m，m3)，F(m，0).又又点点P在在x轴上方，要使轴上方，要使PE5EF，点，点P应在应在y轴右侧，轴右侧，0m5，PEm24m5(m3)m2 m2.3434194第第2题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用分两种情况讨论：分两种情况讨论：当点当点E在点在点F上方时，上方时，EF m3.PE5EF，m2 m25(m3)，即即2m217m26
41、0，解得解得m12，m2 (舍去舍去)；3434194132第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用当点当点E在点在点F下方时，下方时，EF m3.PE5EF，m2 m25(m3)，即即m2m170，解得解得m3 ，m4 (舍去舍去)；综上，综上，m为为2或或 ；3419434 1692 1692 1692第第2题解图题解图第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(3)若点若点E是点是点E关于直线关于直线PC的对称点，是否存在点的对称点，是否存在点P，使点，使点E落在落在y轴上？若存在，轴上？若存在，请直接写出相应的点请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；
42、若不存在，请说明理由第第2题图题图 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用【解法提示】如解图，【解法提示】如解图，点点E和点和点E关于直线关于直线PC对称，对称，ECPECP.又又PEy轴，轴，EPCECPPCE，PEEC.又又CECE，四边四边形形PECE为菱形过点为菱形过点E作作EMy轴于点轴于点M，CODCME，又易知又易知OC3，OD4，CD5，CD OD，CE|m|.PECE，m2 m2 m或或m2 m2 m(1m5)，解得，解得m1 ，m24，m33 ，m43 (舍去舍去)，点点P的坐标为的坐标为P1(，)，P2(4，5)，P3(3 ，23 )ODCDMECE 5454
43、1941945412121141111111154(3)存在存在.点点P的坐标为的坐标为P1(，)，P2(4，5)，P3(3 ，2 3).121141111第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用3.(2015河南河南23题题11分分)如图，边长为如图，边长为8的正方形的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点为顶点的抛物线经过点A，点，点P是抛物线上点是抛物线上点A、C间的一个动点间的一个动点(含端点含端点)，过点，过点P作作PFBC于点于点F.点点D、E的坐标分别为的坐标分别为(0，6)，(4，0)，连接，连接PD、PE、DE.(1)请直接
44、写出抛物线的解析式；请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点小明探究点P的位置发现：当点的位置发现：当点P与点与点A或点或点C重合时，重合时，PD与与PF的差为定的差为定值进而猜想：对于任意一点值进而猜想：对于任意一点P，PD与与PF的差为定值请你判断该猜想是否正的差为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由；确，并说明理由；(1)抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x28；(2)对于任意一点对于任意一点P，PD与与PF的差恒的差恒为定值，这个猜想是正确的为定值，这个猜想是正确的.18理由如下：理由如下：设设P(x，x28)，则点，则点F(x，8)则则PF8(x28)x2.181818第六节第
45、六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用第第3题解图题解图 如解图，过点如解图，过点P作作PMy轴于点轴于点M，则，则PD2PM2DM2(x)26(x28)2 x4 x24(x22)2，PD x22，PDPF x22 x22，故猜想，故猜想正确；正确；181641218181818第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用铺垫设问铺垫设问(3)记记PDE的面积为的面积为S，求，求S的取值范围的取值范围(4)小明进一步探究得出结论：若将小明进一步探究得出结论：若将“使使PDE的面积为整数的面积为整数”的点的点P记作记作“好点好点”，则存在多个则存在多个“好点好点”，且使，且使PDE的周
46、长最小的点的周长最小的点P也是一个也是一个“好点好点”请直接写出所有请直接写出所有“好点好点”的个数，并求出的个数，并求出PDE周长最小时周长最小时“好点好点”的坐标的坐标第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(3)如解图，过点如解图，过点P作作PNAO于点于点N，由题可知，由题可知，SPDES四边形四边形PNODSPNESDOE (PNOD)ON PNNE DODE (x286)(x)(x28)(x4)64 x23x4 (x6)213，由于由于8x0，可得，可得4SPDE13.12121212121818121414第第3题解图题解图第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合
47、应用【解法提示】由【解法提示】由(3)知知4SPDE13，所以，所以SPDE的整数值有的整数值有10个由图象可知，个由图象可知，当当SPDE12时，对应的时，对应的“好点好点”有有2个，所以个，所以“好点好点”共有共有11个个第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(4)“好点好点”共有共有11个个.当点当点P运动时，运动时，DE的大小不变，的大小不变，PE与与PD的和最小时，的和最小时，PDE的周长最小，的周长最小，PDPF2，PDPF2，PEPDPEPF2，当当P，E，F三点共线时，三点共线时，PEPF最小，最小，此时，点此时，点P，E的横坐标为的横坐标为4，将，将x4代入代入y
48、 x28，得，得y6，P点坐标为点坐标为(4，6)，此时，此时PDE周长最小，且使周长最小，且使PDE的面积为整数的面积为整数12.PDE周长最小时周长最小时“好点好点”的坐标为的坐标为(4，6).18第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用4.(2012河南河南23题题11分分)如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线y x1与抛物线与抛物线yax2bx3交于交于A、B两点，点两点，点A在在x轴上，点轴上，点B的纵坐标为的纵坐标为3.点点P是直线是直线AB下方的下方的抛物线上一动点抛物线上一动点(不与点不与点A、B重合重合)，过点，过点P作作x轴的垂线交直线轴的
49、垂线交直线AB于点于点C，作，作PDAB于点于点D.(1)求求a、b及及sinACP的值；的值；(2)设点设点P的横坐标为的横坐标为m.用含用含m的代数式表示线段的代数式表示线段PD的长，并求出线段的长，并求出线段PD长的最大值；长的最大值；连接连接PB，线段，线段PC把把PDB分成两个三角形，是否存在适合的分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个值，使这两个三角形的面积之比为三角形的面积之比为9 10？若存在，直接写出？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由12第第4题图题图第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用解：解：(1)由由 x10，得，得x
50、2，A(2，0)，由由 x13，得，得x4，B(4，3)yax2bx3经过经过A、B两点，两点，a ，b ，(3分分)如解图，设直线如解图，设直线AB与与y轴交于点轴交于点E，则，则E(0，1)，PCy轴，轴，ACPAEO，sinACPsinAEO ；(4分分)12122222304433abab （）1212OAAE2222 5521 第六节第六节 二次函数的综合应用二次函数的综合应用(2)由由(1)知，抛物线的解析式为知，抛物线的解析式为y x2 x3，P(m，m2 m3)，C(m，m1)，PC m1(m2 m3)m2m4.在在RtPCD中，中，PDPCsinACP(m2m4)(m1)2
