1、第三章 函数概念与性质章节复习与小结教学目标及核心素养教学目标及核心素养教学目标教学目标1.1.掌握函数的概念掌握函数的概念；2.2.了解分段函数，会画分段函数的图像了解分段函数，会画分段函数的图像；3.3.理解函数性质并且熟练运用理解函数性质并且熟练运用；4.4.能用函数与方程的思想解决实际问题能用函数与方程的思想解决实际问题核心素养核心素养a.数学抽象数学抽象：函数的概念函数的概念；b.逻辑推理逻辑推理：函数性质的由来函数性质的由来；c.数学运算数学运算：求定义域、值域、函数解析式等求定义域、值域、函数解析式等；d.直观想象直观想象：抽象函数解不等式抽象函数解不等式；e.数学建模数学建模：
2、通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题通过建立函数模型，借助函数与方程的思想解决实际问题.函数函数函数的概念函数的概念基本性质基本性质幂函数幂函数单调性（最值）单调性（最值）奇偶性奇偶性概念概念表示法表示法知识结构知识结构一、基础知识整合1函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个_，记作yf(x)，xA，其中，x叫做_，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做_，其集合f(x)|xA叫做函数的_唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2
3、函数的表示方法(1)解析法：就是用_ _表示两个变量之间的对应关系的方法(2)图象法：就是用_ _表示两个变量之间的对应关系的方法(3)列表法：就是_ _来表示两个变量之间的对应关系的方法3构成函数的三要素(1)函数的三要素是：_，_，_.(2)两个函数相等：如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则称这两个函数相等数学表达式图象列出表格定义域对应关系值域定义域对应关系（3 3）.求函数的定义域应注意：求函数的定义域应注意：f(x)f(x)是分式，则分母不为是分式，则分母不为0 0；f(x)f(x)是整式，则定义域是是整式，则定义域是R R；偶次方根的被开方数非负；偶次方根的被开方数非负；0 x
4、 若若f(x)=,f(x)=,则定义域则定义域0|xRx表格形式给出时表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合定义域就是表格中数的集合.4分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数5.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的 自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 如果对于定义域I内某个区间D上的 自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 (2)单调性与单调区间如果函数y
5、f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做yf(x)的 任意两个增函数任意两个减函数单调性单调区间（1）.偶函数的定义：偶函数的定义：如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x都有都有f(-x)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.（2）.奇函数的定义：奇函数的定义：如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x都有都有f(-x)=-f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.（3）.几个结论几个结论:偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.奇
6、函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.函数函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是件是-定义域关于原点对称定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数否则它是非奇非偶函数.判断一个函数是否为奇判断一个函数是否为奇(偶偶)函数还可用函数还可用f(-x)f(x)=0 或或 .1)()(xfxf6.奇偶函数定义奇偶函数定义7.常见幂函数的性质常见幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1图象图象定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性公共点公共点 函数函数性质性质12yx RRRRR0,+)0,+)0,+)0|xx R x 且且 0|yy
7、R y 且且奇奇奇奇奇奇偶偶非奇非偶非奇非偶0,+)增增(-,0减减(0,+)减减(-,0)减减增增增增增增(1,1)类型一 函数的定义域类型二 求函数的解析式()=xf例3 已知函数 则()ff251,3,11+xxxx类型三 函数的性质及应用 探究1.如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？探究2.要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件？解析由x1时，f(x)x22ax2a是减函数，得a1；由x1时，函数f(x)ax1是减函数，得a0.分段点x1处的值应满足122a12a1a1，解得a2.所以2a0.答案B规律总结在应用分段函数整体的单调性求解
8、参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件()6()f x 例例 若若函函数数是是定定义义在在R R上上的的偶偶函函数数,且且在在-,0-,0 上上是是增增函函数数,并并且且22(21)(321),.faafaaa求求实实数数 的的取取值值范范围围():解解 由由条条件件知知f f(x x)在在 0 0,+上上是是减减函函数数22221811212()0,3213()04733aaaaaa而而2222(21)(321)21321faafa
9、aaaaa由由230aa03a 例7求f(x)2x24x1(1x1)的值域 解：f(x)2(x1)21，此函数在1,1上单减，最大值f(1)7，最小值f(1)1，值域为1,7 例8.函数f(x)的定义域为R，且对任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0时，f(x)0，对其中的x，y不断赋值解析(1)令yx，得fx(x)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(0)又f(00)f(0)f(0)，f(0)0，f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x
10、1)f(x2x1)x10，又当x0时，f(x)0，f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数(3)f(x)在R上是减函数f(x)在3,3上的最大值是f(3)，最小值是f(3)f(3)f(1)f(2)3f(1)3(2)6，f(3)f(3)6.从而f(x)在区间3,3上的最大值是6，最小值是6.达标检测66266266)(1xxxxxfx时，当时，等号成立。即当且仅当616xxxx所以，.662)(的最小值为函数xf专题一 函数概念主题串讲 方法提炼总结升华 【跟踪训练【跟踪训练1】题型二题型二 分段函数分段函数解题技巧解题技巧1.求分段函数的函数值的方法（1）确定要求值
11、的自变量属于哪一段区间.（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 的形式时，应从内到外依次求值.2.求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验.3.作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.【跟踪训练【跟踪训练2】专题三函数的性质应用(2)若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-,-1上是增函数,则()解析:f(-x)=f(x),f(2)=f(-2),答案:D 解题技巧解题技巧 应用函数的
12、单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.【跟踪训练【跟踪训练3】题型四题型四 幂函数幂函数【例4】（1）函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x(0,+)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,不符合要求.故
13、m=3.（2）已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.cab答案:A解析:由幂函数的图象特征,知c1,0b1.故cb0时,幂函数的图象在区间(0,+)上都是增函数;当0时,幂函数的图象在区间(0,+)上都是减函数.（1）如果幂函数）如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点的图象不过原点,求实数求实数m的取值的取值.解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条
14、件.综上所述,m=1或m=2.【跟踪训练【跟踪训练4】（2）如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.nm0B.mnm0D.mn0解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm0.故选A.答案:A题型五题型五 函数模型的应用函数模型的应用【例5】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.求平均每天的销售量y(箱)与
15、销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解:根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50 x55,xN).因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360 x-9 600(50 x55,xN).因为w=-3x2+360 x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50 x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1
16、125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.解题技巧解题技巧 1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:买一个茶壶赠一个茶杯;按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?【跟踪训练【跟踪训练5】解:由优惠办法可得函数解析式为y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且xN).由优惠办法可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且xN).y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4x34时,y134时,y1y2,优惠办法更省钱.
