1、高二数学高二数学 选修选修2-1 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何空间向量的空间向量的数量积数量积运算运算讲授新课讲授新课一、向量的夹角一、向量的夹角 已知两个非零向量已知两个非零向量a、b，在空间任取一点，在空间任取一点O，作作OAa，OBb，则，则AOB叫做向量叫做向量 a 与与b的夹角，记的夹角，记 a，b.一、两个向量的夹角一、两个向量的夹角 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是直角，即取值范围是(0,90,而向量的夹角可以是钝而向量的夹角可以是钝角角,其取值范围是其取值范围是0,180夹夹角角的的
2、顶顶点点为为两两个个向向量量的的起起点点二、两个向量的数量积二、两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.abBB1 1AA1 1射影射影eaeaABBAelABBA ,cos1111射射影影。方方向向上上的的正正射射影影，简简称称或或在在上上的的在在轴轴叫叫做做向向量量le注意：在轴注意：在轴L L上的正射影上的正射影A A1 1B B1 1是一个可正可负的是一个可正可负的实数，它的符号代表向量实数，它的符号代表向量 与与L L的方向的相对关的方向的相对关系，大小代表在上
3、射影的长度。系，大小代表在上射影的长度。A AB B1A1B三、空间两个向量的数量积的性质三、空间两个向量的数量积的性质1.空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质同的性质.2.性质性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，是用来判断两个向量是否垂直，性质（性质（3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；性质性质(5)是用来求两个向量的夹角是用来求两个向量的夹角3.性质性质(3)是实数与向量之间转化的依据是实数与向量之间转化的依据四、空间向量数量积的运算律四、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下
4、运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：accbbacbacbababababababa 222)3()2(21222222222）（）（）（）（常见结论常见结论1.已知空间向量已知空间向量a，b满足满足|a|=4，|b|=8，a与与b的夹角是的夹角是150，计算：计算：|4a一一2b|练习练习 空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零数量积为零.P O A la 证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且
5、且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.为为 P O A la 0,0a POa OA 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对，将它沿对角线角线AC折起，使折起，使AB与与CD成成60角，求角，求B，D间的距离间的距离同步测评第同步测评第49页典例页典例3 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题：1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离或线段长度。3、证明线面垂直。4、求两直线所成角的余弦值等等。小结分析：要证明一条直
6、线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例2:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要
7、证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?共面向量定理共面向量定理,有了有了!ye!ye!lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 (,)x y例例2:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll n P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样.,al的方向向量的方向向量证明：如图取直线证明：如图取直线.,OAPO同时取向量同时取向量a0,PAaPAl.,POllPO 且且.0 POa.0)(POaAPaPOAPaAOa又又.AOl 例题例题1 1逆命题解答逆命题解答过程过程练习练习1 1
