1、丽水、湖州、衢州 2022 年 11 月三地市高三教学质量检测 数学试题卷 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2作答选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合3|01xAxx=，|2Bx x=，则AB=A|23xx B|12xx C|13xx D|12xx 2设复数11
2、iz=（其中i为虚数单位），z是z的共轭复数，则=+zz A1 B1 Ci D1i2+3已知点P是ABC所在平面上的一点，且13APABtAC=+（Rt），若点P在 ABC的内部，则实数t的取值范围是 A104t B103t C 102t D203t Bacb Ccab Dbca 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分.9（第 4 题图）（第 7 题图）为了增强学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的
3、情况进行普查.得到下表：性别 合计 男性 女性 喜欢 280 p 280+p 不喜欢 q 120 120+q 合计 280+q 120+p 400+p+q 附：()()()()()22n adbcKabcdacbd=+，nabcd=+()20P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.00l 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35，则下列说法正确的是 A列联表中q的值为120，p的值为180 B随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢该项
4、运动 C有99%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系 D没有99.9%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系 10已知函数()11,1ln,01,xexf xxx=，函数()g x恰有一个零点 C对于任意0a，存在Rb，函数()g x恰有二个零点 D存在,Ra b，函数()g x恰有三个零点 11已知点A，B分别为圆1C：2228160 xyxy+=与圆2C：22650 xyx+=上的两个动点，点P为直线l：20 xy+=上一点，则 A.PAPB的最大值为2 53+B.PAPB的最小值为2 53 C.PAPB+的最小值为3 103 D.PAPB+的最小值为13373+12定义
5、在()0,+上的函数()f x的导函数为()fx，且()()()20f xxx fx+恒成立，则 A()()4231ff B()()8293ff D()()153164ff 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.1361xx+的展开式中常数项是 14从数字1,2,3,4,5中任意取出两个数字，这两个数字不是连续的自然数的概率是 15已知函数()f x（Rx）满足()()22fxf x+=，若函数1xyx=与()yf x=的图象的交点为(),iix y（1,2,2022i=）,则()20221iiixy=+=16设F是椭圆22221xyab+=（0ab）的右焦点，O为坐标
6、原点，过F作斜率为15的 直线l交椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），过O作AB的垂线，垂足为H，且 HBHF=，则该椭圆的离心率是 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17（本题满分 10 分）在数列 na中，113a=，112nnnnaaaa+=（*Nn）（1）求数列 na的通项公式；（2）求满足不等式1223117kka aa aa a+（其中e2.71828是自然对数的底数）丽水、湖州、衢州 2022 年 11 月三地市地高三教学质量检测 数学参考答案 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，
7、只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B C C D C 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分.题号 9 10 11 12 答案 ACD ABD AC AD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.20 14.35 15.4044 16.()21517 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.(本题满分 10 分)在数列 na中，113a=，112
8、nnnnaaaa+=（*Nn）（1）求数列 na的通项公式；（2）求满足不等式1223117kka aa aa a+（*Nk）成立的k的最大值 解：（1）由条件得111112nnnnnnaaaaaa+=，-2 分 所以数列 na是以113a=为首项，公差2d=的等差数列 故()131221nnna=+=+，-4 分 即121nan=+-5 分（2）由（1）知()()1111121232 2123nna annnn+=+，-7 分 故122311111111235572123kka aa aa akk+=+1 112 323k=+-9 分 所以1 1112 3237k+，解得9k，结合*Nk 得
9、，k的最大值是8-10 分 18.(本题满分 12 分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ()sin22cosACB+=（1）求tanB的值；（2）若ABC的面积为2，求ABC周长L的最小值 解：（1）由()sin22cosACB+=得，()2sin2 1cos4sin2BBB=，-2 分 因为sin02B，解得1tan22B=-3 分 所以22tan42tan31tan2BBB=-5 分（2）由上可知4sin5B=，3cos5B=由ABC的面积为2，得12sin225ABCSacBac=，故5ac=-7 分 所以252acac+=，即2 5ac+（等号成立当且仅当ac
10、=）-9 分 又()2222226162cos55acacbacacBacac=+=+=+()()222161525acacac+=+（等号成立当且仅当ac=）所以()525bac+-11 分 故ABC周长()2 52Labcacb=+=+（等号成立当且仅当5ac=）因此ABC周长L的最小值为2 52+-12 分（注意：等号成立条件仅需说明一次）19(本题满分 12 分)如图，在三棱台111ABCA B C中，三棱锥111CA B C的体积为33，1AB C的面积为4，112ABA B=，且1A A 平面ABC（1）求点B到平面1AB C的距离；（2）若1BBBA=，平面1AB C 平面11A
11、BB A，求二面角11AB CA的余弦值 解：（1）设点B到平面1AB C的距离为h 因为112ABA B=，三棱锥111CA B C的体积为33，所以三棱锥1BABC的体积为4 33.-3 分 又由11BABCB AB CVV=，得1193AB ChS=，解得3h=.-5 分（2）由已知设11A Bx=,11ACy=，则12BBABx=,2ACy=，取1AB的中点M，连结BM，则1BMAB，由平面1AB C 平面11ABB A知1BMACB，故BMAC，B1 （第 19 题图）A1 C1 B C A 又1ACAA，从而AC平面11AA B B.-6 分 故ACAB，1ACAB，取AB中点N，
12、则11A BANx=,四边形11A B NA是平行四边形,1B NAB,从而1ABB为正三角形，故12ABx=，113B NAAx=，又111122422AB CSAC AByx=，1 1 11133323C A B CVx yx=得1,2xy=.-8 分 作11AGAB,则132AG=，在平面1AB C内，作1GHB C，连结1A H，则二面角11AB CA的平面角为1A HG.-10 分 在1Rt GHB中，15GH=，故1115tan2AGA HGGH=，12 19cos19A HG=.即所求二面角的余弦值为2 1919.-12 分 法二：取1AB的中点M，连结BM，则1BMAB，由平面
13、1AB C 平面11ABB A知1BMACB，故BMAC，又1ACAA，从而AC 平面11AA B B.-6 分 故ACAB，以A为原点，分别以1,AB AC AA所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，设11A Bx=,11ACy=，则12BBABx=,2ACy=，取AB中点N，则11A BANx=,四边形11A B NA是平行四边形,1B NAB,从而1ABB为正三角形，故12ABx=，113B NAAx=，又111122422AB CSAC AByx=，1 1 11133323C A B CVx yx=得1,2xy=，-8 分 则(0,0,0)A1(1,0,3)B，1(0,0,3)
14、A，(0,4,0)C，设面1AB C的法向量(,)nx y z=，由100n ABn AC=得(3,0,1)n=，设面11A B C的法向量(,)ma b c=，由11100m A Bm AC=得(0,3,4)m=，-10 分 故42 19cos,192 19m nm nmn=,即所求二面角的余弦值为2 1919.-12 分 20.(本题满分 12 分)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称
15、强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在各个专业的招生人数：年份 数学 物理 化学 总计 2018 4 7 6 17 2019 5 8 5 18 2020 6 9 5 20 2021 8 7 6 21 2022 9 8 6 23 请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记x为年份与2017的差，y为当年招生总人数，试用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并以此预测2023年的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从
16、20名学生中随机选取3位学生进行评审.记X为抽到是数学专业学生的人数，求随机变量X的数学期望()E X；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占0076，五年毕业的占0016，六年毕业的占008.现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取 1 名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率.附：ybxa=+为回归方程，()()()121niiiniixxybyxx=，aybx=解（1）由题意，x的取值集合为1,2,3,4,5，y的取值集合为17,18,20,21,23，直接根据公式求解：()()()121niiiniixxybyxx=，代入3
17、x=，19.8y=算得：1.5b=，15.3ayxb=，因此回归方程为1.515.3yx=+，当6x=时，可得24.3y=,因此预测 2023 年的招生总人数为24人.-5 分（2）由已知，314320(0)Cp XC=，21146320(1)CCp XC=，12146320(2)CCp XC=，36320(3)Cp XC=，故()E x=211463201CCC121463202CCC+363203CC+910=.-4 分（3）因为 2025 年毕业，则入学年份可能为 2021 年，2020 年，2019 年；由条件概率公式可知，在小 A 被数学系录取的条件下，其在第k年入学的概率为：()(
18、)()()pknkpkpn=第 年入学,数学系第 年入学,数学系第 年入学 数学系数学系)数学系，故 8(2021)32p=年入学 数学系，6(2020)32p=年入学 数学系，5(2019)32p=年入学 数学系，由全概率公式：86593(2025)0.760.160.08323232400p=+=年毕业 数学系.-3分 21.(本题满分12 分)已知点()3,2A在离心率为2 33的双曲线C上，过点()1,0M的直线l交曲线C 于D，E两点（D，E均在第四象限），直线AD，AE分别交直线1x=于P，Q两点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若APQ的面积为4 2，求直线l的方程.解（1）若
19、焦点在x轴上，设双曲线C方程为22221xyab=（0,0ab）.由题意得222 33921caab=，解得31ab=，所以双曲线C的标准方程为2213xy=.-2 分 若焦点在y轴上，设双曲线C方程为22221yxab=（0,0ab）.由题意得222 33921caab=，此时无解.综上所述双曲线C的标准方程为2213xy=.-4 分（2）设直线l方程为1xty=+，1111(,),(,)D x yE x y，联立221330 xtyxy=+=得()223220tyty+=，故()221221223012202323tttyytyyt=+=，-6 分 又因为直线()112:233yAD yx
20、x=，取1x=得()111112222232Ptyxyyxty=，同理()22222Qtyyty=，-8 分 由题意点A到直线l的距离是2d=，所以124 22APQSPQ=，解得4 2PQ=.又()()()()()()12122121222222 242 24222232PQtytytyytPQyytytytytyt=故22 244 232tt=，-10 分 化简可得2112 2260tt+=，得13211t=或2t=，易知0t，故13211t=，即直线l方程为132111xy=+.-12 分 方法二：1212121212(22)(22)22()(22)022(2)(2)PQtytyty y
21、yyyyttytytyty+=+=故MPMQ=，又4 2S=，得4 2PQ=，故2 2MPMQ=，由11(22)2Ptyyty=2 2=，22(22)2Qtyyty=2 2=得 14 23 22yt=，24 222yt=+，代入12223yyt=得13211t=或2t=，易知0t 解解（1）由题意得()lnxxfxxxe=+，2 得()()111xfxxex=+，-2 分 所以当01x，当1x 时，()0fx，因为()()111axfxaxex=+，-6 分 所以当0a 时，()0fx，()f x在()0,+单调递增，不满足题意；故0a，可知()f x在10,a单调递增.在1,a+单调递减.又
22、当0 x+时，()f x ；当x +时，()f x ，故11ln20faaae=，解得10ae，且1210 xxa.-10 分 所以要证明1212 lnxxea+，只要证明22 ln0eaa+.设()22 lnaeaa=+（10ae），则()2212220e aeeaaaa=+=.因此有1212 lnxxea+.-12 分 方法二：方法二：先证明122xxa+，因为()()111axfxaxex=+，-6 分 所以当0a 时，()0fx，()f x在()0,+单调递增，不满足题意；故0a，可知()f x在10,a单调递增.在1,a+单调递减.又当0 x+时，()f x ；当x +时，()f x ，故11ln20faaae=，解得10ae，且1210 xxa，只要证明212xxa.因为()f x在10,a单调递增.在1,a+单调递减，且1210 xxa，所以只要证明()212f xfxa，只要证明()112f xfxa，设()()2g xf xfxa=（10 xa=+=所以()g x在10,a递增，所以()10g xga成立.-10 分 所以要证明1212 lnxxea+，只要证明22 ln0eaa+.设()22 lnaeaa=+（10ae），则()2212220e aeeaaaa=+=.因此有1212 lnxxea+.-12 分
