1、人教2019A版必修 第二册8.6.1 直线与直线垂直 第八章 立体几何初步课程目标课程目标1.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角；2.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.数学学科素养数学学科素养1.逻辑推理：找两异面直线所成角，证明两直线垂直.2数学运算：求两异面直线所成角 一一.空间两直线的位置关系：空间两直线的位置关系：（1）从公共点的数目从公共点的数目来看可分为：来看可分为：有且只有一个公共点有且只有一个公共点两直线相交两直线相交1l2lAAll21作：记没有公共点没有公共点两直线平行两直线平行两直线为异面直线两直线为异面直线1l2l1
2、2/ll复习复习（2）从）从平面的性质平面的性质 来讲，可分为：来讲，可分为：两直线相交两直线相交在同一平面内在同一平面内 两直线平行两直线平行不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内两直线为异面直线。两直线为异面直线。异面直线所成的角 在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCDEFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO问题提出复习引入abb aO思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这
3、一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围(0,90 oo如果两条异面直线 a,b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a ba 学习新知异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点O作 直线 则把 与 所成的角叫做异面直线所成的角(或夹角)./,/aa bbab思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?aa,a a a a(基本事实4),解答：如图设a 与 b 相交所成的角为1,a 与 b 所成的角为2,同理 bb,1=2(等角定理)b aO1aab2 答:这个角的大小与O点的位置无关.学习新知（1）异面直线所成角的大小
4、只和两条异面直线的位置有关，而和点O的位置无关（2）异面直线所成的角的范围是：（090）（3）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，两条互相垂直的异面直线a，b，记作ab这个很这个很重要哦重要哦说明空间的垂直有相交垂直和异面垂直，区别在于一个是相交，一个是异面.学习新知求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的角。三计算：在一恰当的三角形中求出角三计算：在一恰当的三角形中求出角学习新知ABCDABCD例例1.1.已知正
5、方体已知正方体ABCD-ABCD（1 1）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？（2）求直线）求直线BA与与CC所成的角的大小所成的角的大小.（3）求直线）求直线BA与与AC 所成的角的大小所成的角的大小.解：(1)直线,AB BC CD DA A B B CC D D A 与直线 垂直.AA分别4545,/)2(的夹角为与，所以异面直线的夹角，与为异面直线可知由CCABABBCCABABBCCBBABCDABCD连接BC,已知 是等边三角形，所以ABC60BAC 解：（3）连接 AC,BA C 因为ABCD-ABCD是正方体，所以AA/CC且AA=CC，所以四边形
6、AACC是平行四边形，所以AC/AC，于是 为异面直线BA与AC所成的角.60从而异面直线BA与AC所成的角等于 在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)学习新知 变式训练：如图变式训练：如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGHABCD-EFGH中中,AB=AD,AB=AD=,AE=2=,AE=2(1)(1)求求BC BC 和和EG EG 所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)(2)求求AE AE 和和BG BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?32解：解：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得
7、EGF=45o(2)BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG=60oABGFHEDC32322BDAODCBAODCBAABCD1111111111.2求证的中心，为底面中，在正方体例ABCDA1B1C1D1o1BDAOBDAOBDAO111，即得若能证明这个角是直角所成的角，与，应先构造直线解题思路：要证明BDAODBAODBODCBAOADABADABBDAODBAOBDDBDDBBDDBBDDBBDCBAABCDDB1111111111111111111111111111111111,././的中点，为的中心，为底面又，易证连接所成的角与所成
8、的角即为直线与直线是平行四边形四边形且是正方体，证明：连接补形法补形法常见的平行关系:1.中位线原理2.平行四边形3.对应边成比例达标检测DB课堂小结1、异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点O作 直线 aa,b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作证求2、异面直线所成的角的范围(0,90 oo作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:直接平移法(可利用图中已有的平行线);中位线平移法;补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).这节课我们学习了异
9、面直线所成角的概念；1.1.异面直线所成的角异面直线所成的角(1)(1)定义定义:已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,a,b,经过空间任一点经过空间任一点O O作直线作直线aa,bb,aa,bb,则则aa与与bb所成的所成的 (或或 )叫做异面直线叫做异面直线a a与与b b所成的角所成的角(或夹角或夹角).).(2)(2)异面直线所成的角异面直线所成的角的取值范围的取值范围:0:09090.(3)(3)如果两条异面直线如果两条异面直线a,ba,b所成的角是直角所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直就说这两条直线互相垂直,记记作作ab.ab.锐角锐角直角直角知识清单知识清单1.1.在三棱锥
10、在三棱锥S S-ABCABC中中,与与ABAB异面的棱为异面的棱为()A.BC B.SA A.BC B.SA C.SC C.SC D.(D)SBD.(D)SB2.2.下列四个结论中假命题的个数是下列四个结论中假命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一直线的两条直线互相平行;平行于同一直线的两直线平行平行于同一直线的两直线平行;若直线若直线a,b,ca,b,c满足满足ab,bc,ab,bc,则则ac;ac;若直线若直线l l1 1,l,l2 2是异面直线是异面直线,则与则与l l1 1,l,l2 2都相交的两条直线是异面直线都相交的两条直线是异面直线.A.1 A.1 B.2B.
11、2 C.3C.3 D.4D.4小试牛刀小试牛刀答案答案 B答案答案 C3.3.正方体正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,异面直线异面直线BCBC1 1和和CDCD1 1所成的角是所成的角是()A.30 A.30B.45B.45 C.60 C.60D.90D.904.4.如图所示如图所示,G,H,M,N,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线则表示直线GHGH与与MNMN是异面直线的图有是异面直线的图有.(.(填序号填序号)答案答案 答案答案 C题型分析题型分析 举一反三举一反三解题技巧解题技巧(证明两直线垂直的常用方法证明两直线垂直的常用方法)(1)利用平面几何的结论,如矩形,等腰三角形的三线合一，勾股定理;(2)定义法:即证明两条直线夹角是90;(3)利用一些事实:两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线,则其平行线也垂直此直线.【跟踪训练1】求异面直线所成角的一般步骤:(1)找(或作出)异面直线所成的角用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论设(2)所求角大小为.若090,则即为所求;若90180,则180-即为所求.解题技巧解题技巧(求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤)【跟踪训练2】
