1、四川省成都市青白江中学校 圆锥曲线离心率的常见求法圆锥曲线离心率的常见求法授课教师：刘美辉年级：高二年级 学科：数学 教材版本：人民教育出版社A版选修2-12MHMH未来教育集团之未来教育集团之圆锥曲线离心率的常见求法圆锥曲线离心率的常见求法项目攻关项目攻关 迁安中高三数学组迁安中高三数学组1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 为为 。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为形，则其离心率为 。3、若椭圆的、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其的两个焦点把长轴分成三等分，则其离
2、心率为离心率为 。4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率则其离心率e=_一、后勤保障（课前必备）：一、后勤保障（课前必备）：考情分析考情分析学习目标学习目标重点难点重点难点椭圆、双曲线的离心率求法椭圆、双曲线的离心率求法 在圆锥曲线的诸多性质中，在圆锥曲线的诸多性质中，离心率在椭圆、双离心率在椭圆、双曲线问题中有着重要应用，曲线问题中有着重要应用，离心率经常渗透在各类离心率经常渗透在各类题型中，是描述圆锥曲线题型中，是描述圆锥曲线“扁平程度扁平程度”或或“张口大张口大小小”的一个重要数据。的一个重要数据。它的变化会直接导致曲线类
3、它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，有关求解椭圆、双曲线离心率的型和形状的变化，有关求解椭圆、双曲线离心率的试题，在历年的高考中经常出现。试题，在历年的高考中经常出现。它常与它常与“定义定义”、“焦点三角形焦点三角形”等联系在一起等联系在一起,有很强的可考性有很强的可考性。其其中中求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个习的一个热热点点，也是难点。下面我们，也是难点。下面我们总结一下这类总结一下这类问题的几种常见问题的几种常见方方法。法。二、规划部二、规划部提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力体会等价转化、数形结合等重要的数学思想巩固
4、椭圆、双曲线的离心率基本求法椭圆、双曲线的离心率求法椭圆、双曲线的离心率求法考情分析考情分析学习目标学习目标重点难点重点难点重点：重点：椭圆、双曲线的离心率求法椭圆、双曲线的离心率求法。难点：难点：灵活选取不同的方法求灵活选取不同的方法求离心率离心率。椭圆、双曲线的离心率求法椭圆、双曲线的离心率求法考情分析考情分析学习目标学习目标重点难点重点难点1、椭圆的离心率ace 椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。（2）e的范围：的范围：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就越扁就越小，椭圆就越扁因为因为 a c
5、0，所以，所以0ea0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：也增大增大且时，当abeabe,),0(),1(的夹角增大增大时，渐近线与实轴e22222221ababaace探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：四、研发部（探究）四、研发部（探究）求椭圆离心率的值已知椭圆例,42 .122=+yx探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：。求双曲线的离心率的值变式：已知双曲线,3-3-22=xy试制部 P B A O y x2.利用已知条件建立利用已知条件建立a,c的等量关系的等量关系探究一探究一:求离心
6、率的值：求离心率的值：)0,0(12222babyax变式：变式：已知已知F1，F2分别是双曲线分别是双曲线的左、右焦点，过的左、右焦点，过F1且垂直于且垂直于x轴的直线与轴的直线与双曲线交于双曲线交于A，B两点，若两点，若ABF2是直角三角是直角三角形，求该双曲线离心率的值形，求该双曲线离心率的值。2.利用已知条件建立利用已知条件建立a,c的等量关系：的等量关系：探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：试制部211222222221212bAFFFcabaccaaceee 解：由有即：211222222221212bAFFFcabaccaaceee 解：由有即：21122222222121
7、2bAFFFcabaccaaceee 解：由有即：2212221210(),:,.xya bFabFFF 椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为以以为为边边作作正正三三角角形形若若椭椭圆圆正正好好平平分分正正三三角角形形的的两两边边求求椭椭例例圆圆的的离离心心率率3 3探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：1222233231|,|,|,:,:FFc BFcBFcccae 如如图图,由由椭椭圆圆的的定定义义得得解解1222233231|,|,|,:,:FFc BFcBFcccae 如如图图,由由椭椭圆圆的的定定义义得得解解221222210(),:.xyabFabFPOPFe 椭椭圆圆的的两两个
8、个焦焦点点为为点点 在在椭椭圆圆上上 且且使使为为正正三三角角形形变变求求式式1 1探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：中试部1201290121331|,:,OFOFOPcF PFcae 解解 如如图图,设设则则1201290121331|,:,OFOFOPcF PFcae 解解 如如图图,设设则则1201290121331|,:,OFOFOPcF PFcae 解解 如如图图,设设则则1201290121331|,:,OFOFOPcF PFcae 解解 如如图图,设设则则2212221210(),:.xyabFabF A BPPFxPFABe椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为是是椭椭圆圆
9、的的顶顶点点是是椭椭圆圆上上一一点点且且轴轴2 2求求变变式式探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：21122122112222222225445|,|,|,|,/,|,|:bPFFFcaOAb OBaPFABPFFAOBPFOAbbbcFFOBacabcacceQ:解解 如如图图,21122122112222222225445|,|,|,|,/,|,|:bPFFFcaOAb OBaPFABPFFAOBPFOAbbbcFFOBacabcacceQ:解解 如如图图,21122122112222222225445|,|,|,|,/,|,|:bPFFFcaOAb OBaPFABPFFAOBPFO
10、AbbbcFFOBacabcacceQ:解解 如如图图,21122122112222222225445|,|,|,|,/,|,|:bPFFFcaOAb OBaPFABPFFAOBPFOAbbbcFFOBacabcacceQ:解解 如如图图,其他做法？222201090(:),.xya bAFabBABFe 椭椭圆圆中中 是是左左顶顶点点是是右右焦焦点点 是是短短轴轴的的一一个个顶顶点点变变求求式式3 3探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：222222222220151522|,|,|,|,|:()():AOa OFcBFaABabAFacABBFAFabaacacacee 如如图图,由由
11、得得或或解解即即舍舍去去222222222220151522|,|,|,|,|:()():AOa OFcBFaABabAFacABBFAFabaacacacee 如如图图,由由得得或或解解即即舍舍去去222222222220151522|,|,|,|,|:()():AOa OFcBFaABabAFacABBFAFabaacacacee 如如图图,由由得得或或解解即即舍舍去去222222222220151522|,|,|,|,|:()():AOa OFcBFaABabAFacABBFAFabaacacacee 如如图图,由由得得或或解解即即舍舍去去222210(),.:xyabA BabC De
12、椭椭圆圆的的四四个个顶顶点点为为若若四四边边形形的的内内切切圆圆恰恰好好过过椭椭圆圆的的焦焦点点变变求求式式4 4探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：2222512,:cRt AOBabr abc abe如如图图内内切切圆圆的的圆圆心心为为原原点点半半径径为为且且等等于于斜斜边边上上的的高高由由面面积积关关系系可可得得解解法法2222512,:cRt AOBabr abc abe如如图图内内切切圆圆的的圆圆心心为为原原点点半半径径为为且且等等于于斜斜边边上上的的高高由由面面积积关关系系可可得得解解法法2222512,:cRt AOBabr abc abe如如图图内内切切圆圆的的圆圆心心为
13、为原原点点半半径径为为且且等等于于斜斜边边上上的的高高由由面面积积关关系系可可得得解解法法22122212121105(),.:,xyabPFFabPFFPF Fe 椭椭圆圆中中是是以以为为直直径径的的圆圆与与椭椭圆圆的的一一个个交交点点 且且变变求求式式5 5探究一探究一:求离心率的值：求离心率的值：12121212121212121212121212121200112000227515907515:|sinsinsin|sinsinsin|sin|sinsin,sinn:sisinFFF PF PF PFFF PPFFFFF PF PF PFFF PPFFFFF PFcF PF PFF P
14、PFFaPFFFF Pe Q如如图图,由由正正弦弦定定理理得得即即即即解解6312121212121212121212121212121200112000227515907515:|sinsinsin|sinsinsin|sin|sinsin,sinn:sisinFFF PF PF PFFF PPFFFFF PF PF PFFF PPFFFFF PFcF PF PFF PPFFaPFFFF Pe Q如如图图,由由正正弦弦定定理理得得即即即即解解6312121212121212121212121212121200112000227515907515:|sinsinsin|sinsinsin|si
15、n|sinsin,sinn:sisinFFF PF PF PFFF PPFFFFF PF PF PFFF PPFFFFF PFcF PF PFF PPFFaPFFFF Pe Q如如图图,由由正正弦弦定定理理得得即即即即解解6312121212121212121212121212121200112000227515907515:|sinsinsin|sinsinsin|sin|sinsin,sinn:sisinFFF PF PF PFFF PPFFFFF PF PF PFFF PPFFFFF PFcF PF PFF PPFFaPFFFF Pe Q如如图图,由由正正弦弦定定理理得得即即即即解解63
16、12121212121212121212121212121200112000227515907515:|sinsinsin|sinsinsin|sin|sinsin,sinn:sisinFFF PF PF PFFF PPFFFFF PF PF PFFF PPFFFFF PFcF PF PFF PPFFaPFFFF Pe Q如如图图,由由正正弦弦定定理理得得即即即即解解63探究二探究二:求离心率的取值范围：求离心率的取值范围：问题的关键是寻找问题的关键是寻找a、c的不等关系的不等关系2212221210.()xyabFabFPPFPF设设椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为，若若在在椭椭圆圆上上存存
17、在在一一点点，二二.求求使使，求求椭椭圆圆的的离离心心率率的的取取值值范范围围椭椭圆圆的的离离心心率率例例4 4的的取取值值范范围围。1、从等式中找不等式：先找、从等式中找不等式：先找a、c的等量关系，再的等量关系，再利用基本不等式（放缩）或椭圆的利用基本不等式（放缩）或椭圆的x、y的范围找的范围找到到a、c的不等式。的不等式。2、直接找、直接找a、c的不等关系，包括与的不等关系，包括与b的不等关系。的不等关系。FcFc1200（，），（，）思路思路1 1：向量法：向量法：设设P P（x x，y y），又知），又知 联立方程得：121212122222()()900()()0FPxcy F P
18、xcyFPFFPF PFP F Pxc xcyxyc，由，知，则，即得121212122222()()900()()0FPxcy F PxcyFPFFPF PFP F Pxc xcyxyc，由，知，则，即得121212122222()()900()()0FPxcy F PxcyFPFFPF PFP F Pxc xcyxyc，由，知，则，即得2222222122222222229000a ca bxFPFxaaba ca baab由椭圆范围及知即2222222122222222229000a ca bxFPFxaaba ca baab由椭圆范围及知即22222222221,12ccbcaccae
19、aceea可得，即，且从而得，且所以，）22222222221,12ccbcaccaeaceea可得，即，且从而得，且所以，）222222012caaee得，）思路思路2 2：利用焦半径：利用焦半径 关键：建立离心率与变量关键：建立离心率与变量X的等量关系的等量关系由焦半径公式得：由焦半径公式得：22212121222222222222222222|224220PFaexPFaexPFPFFFacxe xacxe xccaae xcxP xyexaxa，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即22212121222222222222222222|224220PFaexPFaexPFPF
20、FFacxe xacxe xccaae xcxP xyexaxa，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即22212121222222222222222222|224220PFaexPFaexPFPFFFacxe xacxe xccaae xcxP xyexaxa，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即22212121222222222222222222|224220PFaexPFaexPFPFFFacxe xacxe xccaae xcxP xyexaxa，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即|PFPFaPFPFPF PFa1212221222242222121
21、212221290|4|2()FPFPFPFFFcPF PFac又由，知则可得2222221248()022caaceea 因此，e)221思路思路3 3：利用二次方程有实根：利用二次方程有实根 由椭圆定义知：由椭圆定义知：22212|22()0PFPFuauac这样，与是方程的两个实根，因此思路思路4 4：利用三角函数有界性：利用三角函数有界性 PF FPF F1221，由正弦定理有设设|sin|sin|sin|sinsin|sinsinsincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122 又，则有|sin|sin|sin|sins
22、in|sinsinsincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122 又，则有而知从而可得09 0024 52221221|c o se而知从而可得09 0024 52221221|c o se而知从而可得09 0024 52221221|c o se而知从 而 可 得09 0024 52221221|c o se|sin|sin|sin|sinsin|sinsinsincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122 又，则有|sin|sin|sin|sinsin|sins
23、insincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122 又，则有2221212222212124|2|2(|)2|8aPFPFPFPFPFPFFFc得ca2212所以有，）e 221思路思路5 5：利用基本不等式：利用基本不等式 两边两边平方后得：平方后得：212aPFPF|由椭圆的定义有：由椭圆的定义有：思路思路6：巧用图形的几何特性：巧用图形的几何特性1290F PF12|2FFc2222cbcbac由此可得，）e 221 由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有 B2B1F1yxOF2P探究二探究二:求离心率的取值范围：求离心率的取值范围：变式变式试制部B2B1F1yxOF2P 五、规划部（课堂小结）：五、规划部（课堂小结）：六.预研部（挑战高考）（新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 +=1(ab0)的左、右焦点，P为直线 x=上一点，F2 P F1是底角为30的等腰三角形，求该椭圆的离心率。22ax22bya23F2(c,0)xoyF1(-c,0)x=3a/2P302c2cc2c=3a/2七.下一个项目（课后练习）已知曲线类型求圆锥曲线的轨迹方程
