1、 . 20152015- -20162016 年河北衡水中学同步原创月考卷年河北衡水中学同步原创月考卷 高三期末理数高三期末理数 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合iA, 1，i为虚数单位，则下列选项正确的是（ ） AA i 1 BA i i 1 1 CAi 5 DAi 2.设全集RU ，集合12 )2( xx xA，)1ln(xyxB，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A1x
2、x B1xx C10 xx D21 xx 3.设函数 )2( ) 1( 1 log )2(2 )( 2 3 1 x x xe xf x ，则)2( ff（ ） A 2 2 e B 2 2e Ce2 D2 4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标 轴单位长度相同） ，用回归直线 axby近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是 （ ） A线性相关关系较强， b的值为25. 1 B线性相关关系较强， b的值为83. 0 C线性相关关系较强， b的值为87. 0 D线性相关关系太弱，无研究价值 . 5.下列结论中，正确的是 命题0
3、23,: 0 2 00 xxRxp的否定是023,: 2 xxRxp. A B C D 6.已知三棱锥ABCO的顶点CBA,都在半径为2的球面上，O是球心， 120AOB，当AOC与 BOC的面积之和最大时，三棱锥ABCO的体积为（ ） A 2 3 B 3 32 C 3 2 D 3 1 7.阅读如图所示的程序框图，输出s的值为（ ） A0 B 2 3 C3 D 2 3 8.中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点， 90OPA，则该椭圆的 离心率e 的取值范围是（ ） . A) 1 , 2 1 B) 1 , 2 2 C) 3 6 , 2 1 D) 2 2 , 0( 9.
4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A5 B4 C2 D1 10.如图，在ABC中，N为线段AC上靠近A点的四等分点，若BCABmAP 9 2 ) 9 2 (，则实数m的 值为（ ） A 9 1 B 3 1 C1 D3 11.设数列 n a满足6, 1 421 aaa，且对任意 Nn，函数 xaxaxaaaxf nnnnn sincos)()( 2121 满足0) 2 ( f， 若 n a nn ac 2 1 ， 则数列 n c的前n项 和 n S等于（ ） A n nn 2 1 2 2 B 1 2 2 1 2 4 n nn C n nn 2 1 2 2 2 D n nn 2
5、1 2 4 2 12.已知定义在R上的函数)(xfy 对任意x都满足)()2(xfxf，当11x时，xxf 2 sin)( ， 若函数) 1, 0(log)()(aaxxfxg a 且至少有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A), 5( 5 1 , 0( B), 5) 5 1 , 0( . C)7 , 5( 5 1 , 7 1 ( D)7 , 5 5 1 , 7 1 ( 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.二项式 8 )3( x a 的展开式的系数和为256，则a的值为_
6、. 14.设等差数列 n a满足)(0, 1 1 Nnaa n ，其前n项和为 n S，若数列 n S也为等差数列，则 2 1 n n a S 的 最大值是_. 15.已知实数yx,满足条件 03 05 0 y yx yx ，若不等式 222 )()(yxyxm恒成立，则实数m的最大值是 _. 16.设函数 x xe xf 1 )( 22 ， x e xe xg 2 )(，对), 0(, 21 xx，不等式 1 )()( 21 k xf k xg 恒成立，则正数k 的取值范围是_. 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
7、骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） ABC中，内角CBA、的对边分别是cba、，已知cba、成等比数列，且 4 3 cosB. （1）求 BAtan 1 tan 1 的值； （2）设 2 3 BCBA，求ca的值. 18.（本小题满分 12 分） 同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为ba,. （1）求7ba的概率； （2）求点),(ba在函数 x y2的图象上的概率； （3）将4 ,ba的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，表示这三次抛掷中能围成等腰三角 形的次数，求的分布列和数学期望. 19.（本小题满分 12 分） . 已知ABC是边长
8、为3的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足 2 1 EA CE DB AD . 将ADE沿DE折起到DEA 1 的位置，并使得平面DEA1平面BCDE. （1）求证：ECDA 1 ； （2）设P为线段BC上的一点，试求直线 1 PA与平面BDA1所成角的正切的最大值. 20.（本小题满分 12 分） 已知F是抛物线)0(2: 2 ppxyC的焦点，点), 1 ( tP在抛物线C上，且 2 3 PF. （1）求tp,的值； （2）设O为坐标原点，抛物线C上是否存在点AA(与O点不重合） ，使得过点O作线段OA的垂线与抛物 线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D、E，且满足
9、ODEOAB SS 2 3 （ OAB S表示OAB的 面积， ODE S表示ODE的面积）？若存在，求点A的坐标；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数)0(ln) 1(2) 13( 2 1 )( 2 axaaxaxxf. （1）若函数)(xf在1x处的切线与直线023 yx平行，求a的值； （2）求函数)(xf的单调区间； （3）在（1）的条件下，若对kkxfex6)(, 1 2 恒成立，求实数k的取值范围. 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分的第一题记分. . 2
10、2.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD内接于圆O，BD是圆O的直径，CDAE 于点E，. （1）证明：AE是圆O的切线； （2）如果32AB，3AE，求线段CD的长. . 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线 ( ,cossin3 ,sincos3 : y x C为参数)，在以平面直角 坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线1) 6 sin(: l. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相
11、等，分别求这三个点的极坐标. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数kxxxf23)(. （1）若3)(xf恒成立，求实数k的取值范围； （2）当1k时，解不等式xxf3)(. 月考卷月考卷 . 一、选择题 1.C 【解析】Ai i i i 2 1 ，Ai ) i -1)(i1 ( i -1 i1 i -1 2 ）（ ，Aii5，故选 C. 2.D 【解析】12 )2( xx ，0)2(xx，20 x，2012 )2( xxxA xx . 又 1)1ln(xxxyxB，图中阴影部分表示的集合为21 xx. 5.C 【解析】由原命题和逆否命题的关系知正确；由caba，可
12、得cb 或向量a与cb垂直， 所以正确；中命题p是假命题，所以qp 是假命题，所以错误；特称命题的否定是全称命题，所以 正确. 6.B 【解析】)sin(sin 2 1 2 BOCAOCrSS BOCAOC ，当 90BOCAOC时， BOCAOC SS 取得最大值，此时OCOBOCOA,，OC平面AOB， 3 32 sin 2 1 3 1 AOBOBOAOCVV OABCABC . 7.A 【解析】由题意得， 3 sinsin 3 2 sin 3 sin n s ，周期6T，故 0 3 5 sin 3 4 sinsin 3 2 sin 3 sin 5432152015 aaaaass. 8.
13、B 【解析】设椭圆方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，),(yxP，则),(yxOP ，),(yaxAP.又由 于 90OPA，所以0APOP，即可得 222 ) 2 () 2 ( a y a x. 所以点P在以OA为直径的圆上，即椭圆于该圆有异于点A的公共点. 1 ) 2 () 2 ( 2 2 2 2 222 b y a x a y a x ，消去y，得0)( 223222 baxaxab， 2 2 0)2(0)(40 22222226 ecabaaba. 由于过点A，所以有一个根为a，另一个根为x，由韦达定理可得 2 3 22 3 c a ab a ax . . 又因
14、为ax0，解得1 2 2 e. 9.A 【解析】如下图所示，该几何体的直观图为四棱柱 1111 DCBAABCD截取三棱锥EBAA 11 和三棱 锥EDCD 11 . 由已知底面ABCD为直角梯形，, 2, 2,ADCDADABADCDaAB 1 AA底面ABCD， EAA, 2 1 为 11D A的中点，所以该几何体的体积 52)21 2 1 ( 3 1 2) 11 2 1 ( 3 1 2 2 2)21 ( V. 10.A 【解析】因为N为线段AC上靠近A点的四等分点，所以ACAN 4 1 ，设BNBP，则 ACABANABABANABBNABBPABAP 4 )1 ()1 ()( 又因为
15、ACABmBCABmAP 9 2 9 2 ) 9 2 (，所以有 m 1 9 2 4 ，即 9 1 , 9 8 m. 11.C 【解析】xaxaxaaaxf nnnnn cossin)( 2121 ,由0) 2 ( f，得 12 2 nnn aaa， 故数列 n a为等差数列，由6, 1 421 aaa，得nan，所以 n n nc 2 1 ， 所以 n n n nnnn S 2 1 2 2 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 )1 ( 2 . 12.A 【解析】当1a时，作函数)(xf与函数xy a log的图象如下： . 结合图象可知， 15log 15log a a ，故5a；
16、当10a时，作函数)(xf与函数xy a log的图象如下： 结合图象可知， 15log 15log a a ，故 5 1 0 a. 二、填空题 13.1 或 5 【解析】令1x，则有256) 3( 8 a，即23a，得1a或5. 14.121 【解析】 设数列 n a的公差为d， 依题意 312 2SSS， 即daada3322 111 ， 化简可得22 1 ad，121) 12 21 1 ( 4 1 12 2 21 ) 12( 2 1 ) 12 10 ( ) 12( )10( 222 2 2 2 1 nn n n n n n a S n n . 15. 13 25 【解析】由题意知可行域如
17、图： 222 )()(yxyxm在可行域内恒成立，即 x y x y x y x y yx xy yx yx m 1 2 1 )(1 2 1 2 1 )( 2 2222 2 ， 只需求 x y x y z 1 2 1的最大值即可， 设 x y k ， 由图象知)3 , 2(A， 则OA的斜率 2 3 k，BC的斜率1k， 由图像可知 2 3 1 k， k kz 1 在 2 3 1 k时为增函数，当 2 3 k时，z取得最大值，此时 6 13 3 2 2 3 z， 13 25 13 12 1 6 13 2 1 2 1 z ， 13 25 m，m的最大值为 13 25 . . 16.), 1 【解
18、析】当0x时，e x xe x xe x xe xf2 1 2 11 )( 22 22 ， 当且仅当 e x 1 时等号成立，), 0( 2 x时，函数)( 2 xf有最小值e2. x e xe xg 2 )(， xx xx e xe e xeee xg )1 ()( )( 2 2 2 . 当1x时，0)( x g， 则函数)(xg在区间), 1 上单调递减， 1x时， 函数)(xg有最大值，eg) 1 (， 则对), 0(, 21 xx，exgexf max1min2 )(2)(. 1 )()( 21 k xf k xg 恒成立，且0k， 1 2 k e k e ，解得1k. 正数k的取值范
19、围是), 1 . 三、解答题 17.解： （1）因为cba、成等比数列，所以acb 2 ， 由余弦定理可知) 1( 2 1 22 cos 22222 c a a c ac acca ac bca B， 又 4 3 cosB，所以 4 7 sinB. 且 4 3 ) 1( 2 1 c a a c ，解得 2 1 2或 a c . 于是 7 78 2 7 78 sinsinsin sin sin cos sin cos tan 1 tan 1 或 Ba c BA C B B A A BA . （2）因为 2 3 BCBA，所以 2 3 cosBca，所以2ca. 又2 a c 或 2 1 ，所以
20、2 , 1 c a 或 1 , 2 c a 于是3ac. 18.解： （1）所有的基本事件共有3666个，其中满足7ba的基本事件),(ba有 )3 , 4(),4 , 3(),5 , 2(),2 , 5(),6 , 1 (),1 , 6(共6个，故 6 1 36 6 )7(baP. （2）记“点),(ba在函数 x y2的图象上”为事件B，包含)4 , 2(),2 , 1 (两个基本事件， 所以 18 1 36 2 )(BP. . 故点),(ba在函数 x y2的图象上的概率为 18 1 . （3）记“以4 ,ba为边能围成等腰三角形”为事件C，共包括14个基本事件. 所以 18 7 36
21、14 )(CP. 的可能取值为3 , 2 , 1 , 0， 5832 1331 ) 18 11 ()0( 30 3 CP， 1944 847 18 7 ) 18 11 () 1( 21 3 CP， 1944 539 ) 18 7 ( 18 11 )2( 21 3 CP， 5832 343 ) 18 7 ()3( 33 3 CP， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 5832 1331 1944 847 1944 539 5832 343 6 7 5832 343 3 1944 539 2 1944 847 1 5832 1331 0)(E或 6 7 18 7 3)(E. 19.解： （1）因
22、为等边ABC的边长为3，且 2 1 EA CE DB AD ，所以2, 1AEAD， 在ADE中， 60DAE，由余弦定理，得360cos21221 222 DE. 因为 222 AEDEAD，所以DEAD . 折叠后有DEDA 1 ，因为平面DEA1平面BCDE，又平面DEA1平面DEBCDE ， DA1平面DEA1，DEDA 1 ，所以DA 1 平面BCDE，又EC平面BCDE，故ECDA 1 . （2）由（1）可知DEBD ，DA 1 平面BCDE， 如图，以D为坐标原点，以射线 1 ,DADEDB分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 xyzD，作BDPH 于点H，连接HA
23、 1 、PA 1 ， 设)320(2aaPB，则aDHaPHaBH2,3,，所以) 1 ,3, 2( 1 aaPA， . 因为DBDDABDEDDAED 11 ,， 所以ED平面BDA 1 ，所以平面BDA 1 的一个法向量为)0 , 3, 0(DE. 设直线PA与平面BDA 1 所成的角为，所以 544 3 sin 2 1 1 DEPA DEPA ， 若0，则0sin. 若0，则 54 4 3 544 3 sin 2 ， 令445), 3 2 ( 1 2 ttytt . 因为函数 3 2 445 2 ttty在时单调递增，所以 9 32 4 3 8 9 4 5 min y，即 32 27 )
24、(sin max 2 ， 所以 5 27 )(sin1 )(sin )(tan max 2 max 2 max 2 .故所求的最大值为 5 153 .（此时点P与C重合） 20.解： （1）由抛物线的定义，得 2 3 2 1 p PF，1p，xy2 2 . 将点), 1 ( tP代入C：xy2 2 ，得2 2 t，2t. （2）由题意知直线OA的斜率存在且不为0，根据抛物线的对称性，现考虑点A在第一象限，如图所示， 设直线OA的方程为)0( kkxy，OBOA，则直线OB的方程为x k y 1 . 由 kxy xy2 2 ，得xxk2 22 ，0x（舍去）或 2 2 k x ，点) 2 , 2
25、 ( 2 kk A， 由 x k y xy 1 2 2 ，得x k x 2 2 2 ，0x（舍去）或 2 2kx ，点)2,2( 2 kkB， 当1k时， BA xx ，yAB 轴，不符合题意， . 直线AB的方程为)2( 2 2 2 2 2 2 2 2 kx k k k k ky ，即)2( 1 2 2 2 kx k k ky ，) 1 2 , 0( 2 k k E . BAOAB yODyODS 2 1 2 1 ， ODEOABEODE SSyODS 2 3 , 2 1 ， EBABA yyyyy 2 3 ，即 2 1 2 2 3 2 2 k k k k ，2 2 1 2 或k，)22 ,
26、 4(A或)2, 1 (A. 又由抛物线的对称性，得点A的坐标为)22 , 4(或)2, 1 (. 21.解： （1） x aa axxf ) 1(2 ) 13()( . 函数)(xf在1x处的切线与直线023 yx平行，3) 1(2) 13(1) 1 (aaaf， 即032 2 aa，解得 2 3 a或1a（舍去） ， 2 3 a. （2）函数)(xf的定义域为), 0( ， x axax x aaxax x aa axxf )1()2() 1(2) 13() 1(2 ) 13()( 2 ， 当10a时，12aa， 当ax20或1ax时，0)( x f； 当12axa时，0)( x f， 函
27、数)(xf在区间)2 , 0(a和), 1(a上单调递增，在区间) 1,2(aa上单调递减. 当1a时，12aa，0)( x f， 函数)(xf在区间), 0( 上单调递增. 当1a时，12aa，当10ax或ax2时，0)( x f；当axa21时，0)( x f， 函数)(xf在区间) 1, 0(a和),2(a上单调递增，在区间)2 , 1(aa上单调递减. （3）当 2 3 a时，x xx xfln 2 15 2 11 2 )( 2 ， 由（2）知函数)(xf在区间) 2 5 , 0(上单调递增，在区间)3 , 2 5 (上单调递减， 函数)(xf在区间, 1 e上的最小值只能在) 1 (
28、f或)(ef中取得. 2 15 2 11 2 )(, 5) 1 ( 2 ee eff， 2 2511 ) 1 ()( 2 ee fef. . 设2511)( 2 xxxg，则)(xg在区间) 2 11 ,(上单调递减，且 2 11 3e， 01)3()( geg，0) 1 ()( fef， )(xf在区间, 1 e上的最小值是5) 1 (f. 若要满足对kkxfex6)(, 1 2 恒成立，只需kkxf6)( 2 min 恒成立， 即需kk65 2 恒成立，即056 2 kk，解得15k， 实数k的取值范围是 1, 5. 22.解： （1）连接OA，如图， 在ADE中，CDAE 于点E， 90
29、ADEDAE. DA平分BDE，BDAADE. ODOA，OADBDA，ADEOAD， 90OADDAE， 即AE是圆O的切线. （2）在ADE和BDA中，BD是圆O的直径， 30BAD， 由（1）得ABDDAE，又AEDBAD，AEDBAD， 2 1 32 3 AB AE BD AD . 60BDCADEBDA， 32AB，2, 4ADBD，进一步求得2CD. 23.解： （1）由题意得 ,sincos32cossin3 ,sincos32sincos3 222 222 y x 曲线C的普通方程为4 22 yx. 直线1cos 2 1 sin 2 3 ) 6 sin(: l， 直线l的直角坐
30、标方程为023yx. . （2）圆心)0 , 0(C，半径为2r，圆心C到直线l的距离1d， 这三个点分别在平行于直线l的两条直线 21,l l上，设 1 l与圆C相交于点FE,， 2 l与圆C相交于点G，如 图所示， 直线 21,l l与直线l的距离均为112dr，03: 1 yxl，043: 2 yxl. 由 , 03 , 4 22 yx yx 得 1 3 y x 或 1 3 y x ，即) 1 , 3(),1, 3(FE. 由 , 043 , 4 22 yx yx 得 3 1 y x ，即)3, 1 (G. GFE,这三个点的极坐标分别为) 3 , 2(), 6 5 , 2(), 6 11 , 2( . 24.解： （1）由题意得323kxx对任意Rx恒成立， 即kxx3)23( min ，又12323xxxx， 所以kxx31)23( min ，解得2k. 所以实数k的取值范围为), 2 . （2）当1k时，不等式可化为xxxxf3123)(， 当2x时，变形为65 x，解得 5 6 x，此时不等式的解集为2 5 6 x； 当32 x时，变形为23 x，解得 3 2 x，此时不等式的解集为32 x； 当3x时，不等式解得4x，此时不等式的解集为3x， 综上，不等式的解集为), 5 6 (. .
