1、 河北衡水中学河北衡水中学 20162016- -20172017 学年度学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科）高三下学期数学第三次摸底考试（理科） 必考部分必考部分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知集合 ，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,选 D. 2. ，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 ,则 ,选 A. 点
2、睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算， 要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为、 对应点为、共轭为 3. 数列为正项等比数列，若 ，且，则此数列的前 5 项和 等于 （ ） A. B. 41 C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以 ，选 A. 4. 已知、分别是双曲线 的左、右焦点，以线段为边作正三角形， 如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率 等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选 D. 5. 在中，“ ”是“”的（ ）
3、 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】时，所以必要性成立； 时， ，所以充分性不成立，选 B. 6. 已知二次函数的两个零点分别在区间 和内，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 学|科|网. 【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界， 其中三角形三顶点为 ） ： ，而 ，所以直线过 C 取最大值 ，过 B 点取最小值， 的取值范围是，选 A. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无 误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约
4、束条件中的直线的斜率进行比 较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则 其底面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面 为等腰直角三角形，直角边长为 2，周长为 ，选 C. 8. 20 世纪 30 年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半； 如果 是奇数，则将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1，这就是著
5、名的 “”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出 的值为 8，则输入正整数的所有 可能值的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定 【答案】B 【解析】由题意得 ； ，因此输入正整数的所有可能值 的个数为 4，选 B. 9. 的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 项的系数为（ ） A. B. C. 57 D. 33 【答案】A 【解析】由题意得 ,所以展开式中 项的系数为 ,选 A. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参
6、数项，再由通项写出第项，由 特定项得出 值，最后求出其参数. 10. 数列为非常数列，满足： ，且对 任何的正整数 都成立，则的值为（ ） A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275 【答案】B 【解析】因为，所以 ，即 ，所以,叠加得 ,，,即从第三项起成等差 数列，设公差为 ，因为，所以解得，即 ，所以 ，满足， ，选 B. 11. 已知向量 满足 ，若，的最大值和最小值分别 为，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】因为所以 ； 因为， 所 以 学|科|网. 的最大值与最小值之和为，选 C. 12. 已知偶函数满足，且当时， ，关于 的不等式
7、在上有且只有 200 个整数解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为偶函数满足，所以 ， 因为关于 的不等式在上有且只有 200 个整数解，所以关于 的不等式 在上有且只有 2 个整数解，因为 ，所以 在 上单调递增，且，在 上单调递减，且，因此，只需 在上有且只有 2 个整数解，因为 ，所以 ，选 C. 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草 图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性， 分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 二、填空题：
8、本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上 13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场 商品的售价 元和销售量 件之间的一组数据如下表所示： 价格 8.5 9 9.5 10 10.5 销售量 12 11 9 7 6 由散点图可知，销售量 与价格 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则 _ 【答案】39.4 【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的 关系，而相关关系是
9、非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方 程，回归直线方程恒过点. 14. 将函数的图象向右平移 个单位（） ，若所得图象对应的函数为偶函数， 则的最小值是_ 【答案】 【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以 ，因为，所以 学|科|网. 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题 目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函数；函数是偶函数 ；函数是奇函数；函数 是偶函数. 15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且 ，若异面直线 与所成角为 60，则四面体的体积为_ 【答案
10、】6 【解析】设平面 ABC 与平面 交线为 CE，取 ,则 16. 已知是过抛物线 焦点 的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足 ，则的值为_ 【答案】 【解析】因为，所以 因此，所以 因为 ，所以 ，因此 三、解答题三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长 边交于点 ，且， . （1）求边的长； （2）求的值. 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析： （1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出再由余弦定理求出 ，最后根据角平分线性质定理得边的长； （2）先由余弦定理求出，再根据三角
11、形内 角关系及两角和余弦公式求的值. 试题解析：解： （1）因为，所以，所以 因为， 所以， 所以，又，所以 （2）由（1）知， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 学|科|网. 18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合） ，圆锥的底面圆 半径为，为 圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且， . （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析： （1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有 ，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面； （2）求二面角，一 般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设
12、立各点坐标，利用方程组解出各面法向量， 利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解 试题解析：解： （1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为， 所以， 因为，所以， 连接，易知三点共线， 所以， 所以， 解得，又因为，圆的直径为 10，圆心在内， 所以易知，所以 因为平面，所以，因为，所以平面 又因为平面，所以平面平面 （2）如图，以 为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系 则 所以， 设平面的法向理为， 所以，令，则 可取平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的正弦值为 19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先
13、登上第 3 个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上 一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台阶， 当有任何一方登上第 3 个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为 （1）求游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率； （2）求 的分布列和数学期望 【答案】 （1）（2）学|科|网. 【解析】试题分析： （1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为 再分两种情况分别计数：一种是小 华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第 2 个台阶，并且小明 也在
14、第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法 公式求概率， （2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公 式求期望. 试题解析：解： （1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本 事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳 小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所以 因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况： 第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为， 第二种：小华在第
15、2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为 所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为 （2）依题可知 的可能取值为 2、3、4、5， ， ， ， 所以 的分布列为： 2 3 4 5 所以 的数学期望为： 20. 如图，已知为椭圆上的点，且 ，过点 的动直线与圆 相交于两点，过点 作直线的垂线与椭圆 相交于点 （1）求椭圆 的离心率； （2）若，求 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析： （1）根据题意列方程组：，解方程组可得， ，再根据离心率定义求椭圆 的离心率； （2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直 线距离公式求直线 AB 的斜率,根据垂直关
16、系可得直线 PQ 的斜率,最后联立直线 PQ 与椭圆方程,利用韦达定 理及弦长公式求 试题解析：解： （1）依题知， 解得，所以椭圆 的离心率； （2）依题知圆 的圆心为原点，半径为， 所以原点到直线的距离为， 因为点 坐标为，所以直线的斜率存在，设为 所以直线的方程为，即， 所以，解得或 当时，此时直线的方程为， 所以的值为点 纵坐标的两倍，即； 当时，直线的方程为， 将它代入椭圆 的方程，消去 并整理，得， 设 点坐标为，所以，解得， 所以 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与 系数关系、设而不求
17、法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题 往往利用点差法. 21. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数 （参考数据： ） （1）讨论函数的单调性； （2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明： 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析： （1）先求函数导数,根据参数 a 讨论：当时，是常数函 数，没有单调性当时，先减后增；当时，先增后减； （2）先化简方程，整体设元转化为一元 二次方程：其中，再利用导数研究函数的图像，根据图 像确定根的取值范围，进而可证不等式. 试题解析：解： （1）因为的定义域为实数 ， 所以 当时，是常数函数，没有单调性 当
18、时，由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增 当时，由得，； 由，得，学|科|网. 所以函数在上单调递减，在上单调递增 （2）因为， 所以，即 令，则有，即 设方程的根为，则， 所以是方程的根 由（1）知在单调递增，在上单调递减 且当时，当时， 如图，依据题意，不妨取，所以， 因为， 易知，要证，即证 所以，又函数在上单调递增， 所以，所以 选考部分选考部分 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中直线 的倾斜角为 ，且经
19、过点，以坐标系的原点为极点， 轴的非负 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，直线 与曲线 相交于两点，过点 的直线 与曲线 相交于两点，且 （1）平面直角坐标系中，求直线 的一般方程和曲线 的标准方程； （2）求证：为定值 【答案】 （1）,（2） 【解析】试题分析： （1）根据点斜式可得直线 的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方 程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得 ，类似可得，相加即得结论. 试题解析：解： （1）因为直线 的倾斜角为 ，且经过点， 当时，直线 垂
20、直于 轴，所以其一般方程为， 当时，直线 的斜率为，所以其方程为， 即一般方程为 因为 的极坐标方程为，所以， 因为，所以 所以曲线 的标准方程为 （2）设直线 的参数方程为（ 为参数） ，学|科|网. 代入曲线 的标准方程为， 可得，即， 则， 所以， 同理， 所以 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知实数满足 （1）求的取值范围； （2）若，求证： 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】试题分析： （1）因为，所以，又 ，即得的取值范围； （2）因为，而，即证. 试题解析：解： （1）因为，所以 当时，解得，即； 当时，解得 ，即， 所以，则， 而， 所以，即； （2）由（1）知， 因为 当且仅当时取等号， 所以
