1、 . 河北衡水中学河北衡水中学 20162017 学年度学年度 高三下学期数学第三次调研高三下学期数学第三次调研（理理科）科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 已知复数z满足 i i iz 21 34 ，则复数z在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知集合0) 12(log| 3 xxA，23| 2 x
2、xyxB， 全集RU ， 则)(BCA U 等于 （ ） A 1 , 2 1 ( B) 3 2 , 0( C 1 , 3 2 ( D) 3 2 , 2 1 ( 3.若), 2 ( ,且) 4 sin(2cos3 ，则2sin的值为（ ） A 18 1 B 18 1 C 18 17 D 18 17 4. 已知 2 )(, 12 )( x xg x xf x ，则下列结论正确的是（ ） A)()()(xgxfxh是偶函数 B)()()(xgxfxh是奇函数 C. )()()(xgxfxh是奇函数 D)()()(xgxfxh是偶函数 5.已知双曲线E：)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y
3、a x ，若矩形ABCD的四个顶点在E上，CDAB,的中点为双曲 线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是 2，直线AC的斜率为k，则| k等于（ ） A2 B 2 3 C. 2 5 D3 6.在ABC中，NCAN 4 1 ，P是直线BN上的一点，若ACABmAP 5 2 ，则实数m的值为（ ） A4 B1 C. 1 D4 7.已知函数)0, 0)(sin()(AxAxf的图象与直线)0(Aaay的三个相邻交点的横坐标 分别是 2,4,8，则)(xf的单调递减区间是（ ） A)(36 ,6Zkkk B)(6 , 36Zkkk C. )(36 ,6Zkkk D)(6 , 36Zkkk . 8. 某旅
4、游景点统计了今年 5 月 1 号至 10 号每天的门票收入 （单位： 万元） ， 分别记为 1 a， 2 a， ， 10 a（如： 3 a表示 5 月 3 号的门票收入） ，下表是 5 月 1 号到 5 月 10 号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框 图输出的结果为（ ） A3 B4 C. 5 D6 9.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其 他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：甲是日本人，丁 不会说日语，但他俩都能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；甲、乙、 丙、丁交谈时，
5、找不到共同语言沟通；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译.针对他们懂的语 言，正确的推理是（ ） A甲日德、乙法德、丙英法、丁英德 B甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C. 甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 10.如图，已知正方体DCBAABCD的外接球的体积为 2 3 ，将正方体割去部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（ ） A 2 3 2 9 B33或 2 3 2 9 C. 32 D 2 3 2 9 或32 . 11.如图， 已知抛物线的方程为)0(2 2 ppyx， 过点) 1, 0( A作直线l与抛物线相交于QP,两点， 点B
6、的 坐标为) 1 , 0(， 连接BQBP,， 设BPQB,与x轴分别相交与NM,两点.如果QB的斜率与PB的斜率之积为 3，则MBN的大小等于（ ） A 2 B 4 C. 3 2 D 3 12.已知Rba,，且bxaex) 1(对Rx恒成立，则ab的最大值是（ ） A 3 2 1 e B 3 2 2 e C. 3 2 3 e D 3 e 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.在 9 2017) 1 1 ( x x 的展开式中，含 3 x项的系数为 14. 在公元前 3
7、 世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出： “球的体积（V）与它的直径（D）的立方 成正比” ，此即 3 kDV ，欧几里得未给出k的值.17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他 们将体积公式 3 kDV 中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形 的圆柱） 、正方体也可利用公式 3 kDV 求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表 示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a） 、等边圆柱（底面圆的直径为a） 、正方体（棱长为a） 的“玉积率”分别为 1 k， 2 k， 3 k，那么 321 :kkk 15.由约束条件 1 33 0
8、, kxy xy yx ，确定的可行域D能被半径为 2 2 的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围 是 16.如图，已知O为ABC的重心， 90BOC，若ACABBC 2 4，则A的大小为 . 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知数列 n a的前n项和为 n S，0 1 a，常数0，且 nn SSaa 11 对一切正整数n都成立. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设100, 0 1 a，当n为何值时，数列 1 lg n a 的前n项和最大？
9、 18.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所 示： x（月份） 1 2 3 4 5 y（万盒） 4 4 5 6 6 （1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程axby ，根据表中数据已经正确计算出6 . 0 b，试求 出a的值，并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒，小红同学从中随机购买 了 3 盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为X，求X的分布列和数学期望. 19
10、.已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，DAE为等腰等腰三角形，AEDA ，四边 形AEFB为梯形，且BFAE/， 90ABF，22AEBFAB. （1）若G为线段DF的中点，求证：/EG平面ABCD； （2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于 5 21 ？若存在，请指 出点N的位置；若不存在，请说明理由. . 20.如图，椭圆E：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左、右顶点为A、B，左、右焦点为 1 F、 2 F，4|AB， 32| 21 FF.直线mkxy（0k）交椭圆E于点DC,两点，与线段 21F F、椭圆短轴分别交于NM
11、, 两点（NM,不重合） ，且|DNCM . （1）求椭圆E的方程； （2）设直线AD，BC的斜率分别为 21,k k，求 2 1 k k 的取值范围. 21.设函数ax x bx xf ln )(，e为自然对数的底数. （1）若函数)(xf的图象在点)(,( 22 efe处的切线方程为043 2 eyx，求实数ba,的值； （2）当1b时，若存在, 2 21 eexx，使axfxf)( )( 21 成立，求实数a的最小值. 请考生在请考生在 2222、2323、2424 三题中任选一题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4
12、-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，斜率为 1 的直线l过定点)4, 2(.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系.已知曲线C的极坐标方程为0cos4sin 2 . （1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程； （2）两曲线相交于NM,两点，若)4, 2(P，求|PNPM 的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数|23|12|)(xxxf，且不等式5)(xf的解集为 5 3 5 4 | b x a x，Rba,. . （1）求ba,的值； （2）对任意实数x，都有53| 2 mmbxax成立，求实数m的最大值. 试卷答案试卷答案 . 一、选择题一、选择题 1
13、-5: CDCAB 6-10: BDAAB 11、12：DA 二、填空题二、填空题 13. 84 14. 1: 4 : 6 15. 3 1 ,( 16. 3 三、解答题三、解答题 17.解： （1）令1n，得0)2(,22 1111 2 1 aaaSa，因为0 1 a，所以 2 1 a，当2n时， nn Sa 2 2， 11 2 2 nn Sa ，两式相减得)2(22 1 naaa nnn ， 所以)2(2 1 naa nn ，从而数列 n a为等比数列， 所以 n n n aa 2 2 1 1 . （2）当0 1 a，100时，由（1）知，2lg22lg100lg 100 2 lg 1 lg
14、, 100 2 n a ba n n n n n n ， 所以数列 n b是单调递减的等差数列，公差为2lg，所以01lg 64 100 lg 2 100 lg 6 621 bbb 当7n时，01lg 2 100 lg 7 7 bbn，所以数列 1 lg n a 的前 6 项和最大. 18.解： （1）3)54321 ( 5 1 x，5)66544( 5 1 y，因线性回归方程axby 过点 ),(yx，2 . 366 . 05xbya 6 月份的生产胶囊的产量数：8 . 62 . 366 . 0y. （2）3 , 2 , 1 , 0X， 42 5 48 10 )0( 3 9 3 5 C C
15、XP， 21 10 84 40 ) 1( 3 9 2 5 1 4 C CC XP， 14 5 84 30 )2( 3 9 1 5 2 4 C CC XP， 21 1 84 4 ) 3( 3 9 3 4 C C XP，其分布列为 X 0 1 2 3 P 42 5 21 10 14 5 21 1 3 4 3 21 1 2 14 5 1 21 10 0 42 5 )(XE. 19.（1）因为AEDA ，ABDA ，AAEAB，故DA平面ABFE， . 故CB平面ABFE，以B为原点，BCBFBA,分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系，则)0 , 2 , 0(F，) 1 , 0
16、 , 2(D，) 2 1 , 1 , 1 (G，)0 , 1 , 2(E，) 1 , 0 , 0(C，所以) 2 1 , 0 , 1(EG，易知平面 ABCD的一个法向量)0 , 1 , 0(n，所以0)0 , 1 , 0() 2 1 , 0 , 1(nEG，所以nEG ，又EG平面 ABCD，所以/EG平面ABCD. （2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于 5 21 .理由如下： 直线BN与平面FCD所成角的余弦值为 5 21 ，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为 5 2 ，因为 )0 , 0 , 2(),1 , 2, 2(CDFD，设平面FCD的法向量为),(
17、 1111 zyxn ， 由 0 0 1 1 CDn FDn ，得 02 022 1 111 x zyx ，取1 1 y得平面FCD的一个法向量)2 , 1 , 0( 1 n 假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于 5 2 ， 设) 10(FDFN，则),2,2() 1 , 2, 2(FN，),22 ,2(FNBFBN， 所以 5 2 4895 2 )22()2(5 2 | | ,cossin 2222 1 1 1 nBN nBN nBN， 所以0189 2 ，解得1或 9 1 （舍去） 因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的
18、余弦值为 5 21 . 20.解： （1）因为322 , 42ca，所以1 222 cab，所以椭圆的方程为1 4 2 2 y x . （2）将直线mkxy代入椭圆1 4 2 2 y x ，得0448)41 ( 222 mmkxxk. 设),(),( 2211 yxCyxD，则 2 2 21 2 21 41 44 , 41 8 k m xx k km xx ， 又), 0(),0 ,(mN k m M ，由|DNCM 得 NM xxxx 21 ，即 k m k km 2 41 8 ，因为0, 0km，得 2 1 k，此时22,2 2 2121 mxxmxx， . 因为直线l与线段 21F F、
19、椭圆短轴分别交于不同两点， 所以323m且0m，即 2 3 2 3 m且0m. 因为 2 , 2 2 2 2 1 1 1 x y k x y k，所以 )2( )2( 12 21 2 1 xy xy k k ，两边平方得 2121 2121 12 12 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 )(24 )(24 )2)(2( )2)(2( )2)( 4 1 ( )2)( 4 1 ( )2( )2( )( 1 xxxx xxxx xx xx x x x x xy xy k k 2 2 2 2 ) 1( ) 1( 22)2(24 22)2(24 m m mm mm
20、，所以 1 2 1 1 1 2 1 mm m k k ，又因为 1 2 1 2 1 mk k 在 2 3 , 0(),0 , 2 3 上单调递增，所以347 2 3 1 2 3 1 1 1 2 3 1 2 3 1 347 m m ，且1 1 1 m m ，即 347347 2 1 k k ，且1 2 1 k k ，所以347 , 1 () 1 , 347 2 1 k k . 21.解： （1）由已知得1, 0xx，a x xb xf 2 )(ln ) 1(ln )( ，则 22 )( 2 2 2 2 e ae be ef，且 4 3 4 )( 2 a b ef，解之得1, 1ba. （2） 当
21、1b时，a x x xf 2 )(ln 1ln )( ， 又a x a xx a x x xf 4 1 ) 2 1 ln 1 ( ln 1 ) ln 1 ( )(ln 1ln )( 22 2 + 故当 2 1 ln 1 x 即 2 ex 时，axf 4 1 )( max . “存在, 2 21 eexx，使axfxf)( )( 21 成立”等价于“当, 2 eex时，有axfxf maxmin )( )(” 又当, 2 eex时，axf 4 1 )( max ， 4 1 )( max axf， 问题等价于“当, 2 eex时，有 4 1 )( min xf”. 当 4 1 a时，)(xf在,
22、2 ee上为减函数，则 4 1 2 )()( 2 2 min ax e efxf，故 2 4 1 2 1 e a； 当 4 1 a时，a x xf 4 1 ) 2 1 ln 1 ()( 2 在, 2 ee上的值域为 4 1 ,aa， . （i）当0a，即0a时，0)( xf在, 2 ee上恒成立，故)(xf在, 2 ee上为增函数，于是 4 1 )()( min eaeeefxf，不合题意； （ii）当0a，即 4 1 0 a时，由)( xf的单调性和值域知，存在唯一 0 x),( 2 ee，使0)( xf，且 满足当 0 x),( 0 xe时，0)( xf，)(xf为减函数；当 0 x),(
23、 2 0 ex时，0)( xf，)(xf为增函数. 所以),(, 4 1 ln )()( 2 00 0 0 0min eexax x x xfxf，所以 4 1 2 1 4 1 ln 1 4 1 ln 22 00 0 eexx x a，与 4 1 0 a矛盾. 综上，得a的最小值为 2 4 1 2 1 e . 22.解： （1）由0cos4sin 2 得0cos4sin 22 ，所以曲线C的直角坐标方程为 04 2 xy，即xy4 2 ，所以直线l的参数方程为是 ty tx 2 2 4 2 2 2 （t为参数）. （2）将直线l的参数方程代入xy4 2 中，得到048212 2 tt，设NM,
24、对应的参数分别为 21,t t， 则212 21 tt，048 21 t t，故212| 2121 ttttPNPM. 23.解： （1）若 2 1 x，原不等式可化为52312xx，解得 5 4 x，即 2 1 5 4 x； 若 3 2 2 1 x，原不等式可化为52312xx，解得2x，即 3 2 2 1 x； 若 3 2 x，原不等式可化为52312xx，解得 5 6 x，即 5 6 3 2 x； 综上所述，不等式5|23|12|xx的解集为 5 6 , 5 4 ，所以2, 1ba. （2）由（1）知2, 1ba，所以3|21|2| 1|xxxxbxax， 故353 2 mm，023 2 mm，所以21 m，即实数m的最大值为 2. . . . . . . . .
